Высшая математика

Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

Решение:

1) Область определения ,функция общего вида, т.к.

y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2) =>x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции

4) Интервалы монотонности

возможные точки экстремума

не существует при

Функция возрастает при

.

Функция убывает при .

– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

при

не существует при

при кривая выпукла

при кривая вогнута

тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

, =>

– наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны С_П, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в С_Х. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов И_П(q), издержек хранения И_Х(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год N^о, период между поставками Т^о, издержки пополнения И_П^о, издержки хранения И_Х^о , суммарные издержки И^о);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов И_П можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки С_П.

И_П = N * С_П

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N =

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

И_П(q) = С_П *

Функцию годовых издержек хранения И_Х можно определить как произведение стоимости хранения единицы С_Х на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

И_Х(q) = C_X * = C_X *

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = И_П(q) + И_Х(q) = С_П * + C_X *

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (С_П * + C_X * )’= – +

Составим и решим уравнение:

– + = 0 ; = ; q² = ; q = .

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = = » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

N^о = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

Т^о = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

И_П^о = С_П * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

И_Х^о = C_X * = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

И^о = И_П^о + И_Х^о = 59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов И_П(q) = С_П * являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения И_Х(q) = C_X * являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Y_i) за 6 последних месяцев (X_i =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, X_j=7, 8).

Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a₀x + a₁;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках X_i = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a₀x + a₁

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a₁ и a₀ , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a₀ , a₁) = или F(a₀ , a₁) =

Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

=

=

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a₁ и a₀:

Решим данную систему методом Крамера:

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:

Построим расчетную таблицу

Таблица 3 – Расчетная таблица

Найдем значения параметров:

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

= 0,3714·X_i + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

Построим график аппроксимирующей функции

Рис.1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a₀x³+a₁x²+a₂x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x³–2x²–3x

Приращение функции

y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)³–2(x+Δx)²–3(x+Δx) – (4x³–2x²–3x)=

=4(x³+3x²Δx + 3xΔx² + Δx³)–2(x²+2 xΔx +Δx²)–3x–3Δx –4x³+2x²+3x=

=4x³+12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³ –2x²–4 xΔx –2Δx²–3Δx –4x³+2x²=

=12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³–4 xΔx –2Δx²–3Δx =

=(12x²–4 x–3)Δx+((12x–2)Δx² + 4Δx³)

Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x²–4 x–3)Δxили заменяя Δx на dx получим dy=(12x²–4 x–3)dx

Абсолютное отклонение:

Δy– dy = (12x²–4 x–3)Δx+((12x–2)Δx² + 4Δx³)– (12x²–4 x–3)Δx=(12x–2)Δx² + 4Δx³

Относительное отклонение:

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции , оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

Возьмем

=64

=>

Тогда

Относительная погрешность

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1)

2)

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) 2)

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1)

2)

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

=>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А₁(а₁,0), А₂(а₂,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

А₁В: =>

А₂В: =>

Тогда площадь треугольника равна:

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x²+y²=R²)

Решение:

Из уравнения окружности:

Тогда четверти круга равна:

Тогда площадь круга равна:

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>, тогда искомая площадь:

Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x². Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y= x² =3–2x=> x² +2x–3=0 =>, тогда искомая площадь:

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x² и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:

Вычислить приближенное значение интеграла по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

Тогда по формуле трапеций имеем:

Точное значение

Относительная погрешность

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

Для удобства вычислений составим таблицу:

Тогда по формуле трапеций имеем:

Относительная погрешность

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1)

Разделим переменные

2)

Разделим переменные

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида . Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1)

Разделим обе части на xy

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Преобразуем

=>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> => , ,

2)

Разделим обе части на x

или

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1)

Запишем характеристическое уравнение:

λ²–λ–6=0 => λ_1,2=3;-2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

y = C₁e^3x + C₂e^–2x

2)

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

запишем характеристическое уравнение

: λ²–6λ+9=0 => λ_1,2= 3 =>

y₀ = (C₁+ C₂x)e^3x

Запишем частное решение по виду правой части:

ŷ = C₃x²+ C₄x+ C₅

Найдем

ŷ ′ = 2C₃x–C₄

ŷ ′′ = 2C₃

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C₃ – 6(2C₃x–C₄)+9(C₃x²+ C₄x+ C₅) =9C₃x²+(9C₄–12C₃)x+(2C₃ + 6C₄+9C₅)= x²

=> C₃ = 1/9, => C₄ = 4/27, => C₅ = –10/81

y = y₀ + ŷ = (C₁+ C₂x)e^3x +