Математика бесконечности

Юрий Лебедев

Аш-функция Хевисайда

Все происходит по ступеням,

Как жизнь сама.

Я чувствую, что постепенно

Схожу с ума.

Н. Глазков, 1943 г.

Однажды вечером Серафим Серафимович Аралов, директор музея истории МХТИ им. Д.И. Менделеева, позвонил мне и сказал, что в связи с реконструкцией дома у метро «Смоленская» под угрозой находятся остатки архива известного химика Петра Петровича Будникова. Нужно было попытаться спасти документы. Следующий день у меня был занят, и мы договорились поехать за бумагами послезавтра. Увы! Мы опоздали. Именно назавтра весь «хлам» из будниковской квартиры был выброшен строителями на помойку. С тех пор я не могу проходить спокойно мимо куч строительного мусора – мне все кажется, что среди этих палок, битого кирпича и клочков бумаги могут валяться чьи-то рукописи, потеря которых приведет в отчаяние будущих историков науки.

И, представьте себе, эти опасения оказались не напрасными! Спустя некоторое – довольно продолжительное – время случай снова поманил меня к архивным изысканиям. В заброшенной деревне Копьево Костромской области, где я проводил лето, рухнул от ветхости дом, и я, глядя не еще пылящую кучу старых бревен, соломы, ободранных обоев, вспомнил историю будниковского архива. А вдруг?!

Когда у меня в руках оказалась старая картонная папка, я был уже уверен, что в ней не вырезки из газет о «царице полей» кукурузе. И совершенно не удивился тому, что моя уверенность оправдалась. В папке находились рукописи или, точнее, черновики двух статей – «Принципы семиотической термодинамики», «Отказ от исключения» – и целая пачка других, для прочтения которых потребуется еще много усилий. Ни имени автора, ни даты написания на листках не было. Вероятнее всего, папку забыл кто-то из «дикарей» прошлых лет. Не имея возможности объясниться с автором, я решил предложить вашему вниманию свой вариант расшифровки одной из этих до крайности небрежно написанных неудобочитаемым почерком статей.

Я долго не мог понять, к какому жанру относится найденная мною рукопись, чего хотел неизвестный автор? Теперь, как мне кажется, я нашел ответ. Папка хранила научные фантазии! Этот жанр, широко известный благодаря трудам С. Лема, не следует путать с научной фантастикой, в которой столь же плодотворно работал Лем. «Солярис» – это научная фантастика, а «История битической литературы» – это научная фантазия. И поскольку любой жанр, кроме скучного, имеет право претендовать на внимание читателя, найденные мною тексты попытаются реализовать это свое право. Насколько оно законно, судите сами.

Отказ от исключения

...одни сотрудники все время занимались делением нуля

на нуль на настольных «мерседесах», а другие отпрашивались

в командировки на бесконечность...

А. и Б. Стругацкие. Понедельник начинается в субботу

Листок первый

Весь предшествующий опыт утверждает нас

в вере, что природа представляет собой реализацию

простейших математически мыслимых элементов.

А. Эйнштейн. О методе теоретической физики.

Спенсеровская лекция, 10 июля 1939 г.

Что значит «простейших»? когда летом 1966 г. я задумался над удивительным запретом арифметики – запретом деления на нуль, мне казалось, что простейшим элементом, альфой и омегой всей теории чисел является нуль. Теперь ясно, что и он также сложен, как и все в мире. Как точно сказал об этом Леонардо да Винчи: «Среди великих вещей, который находятся меж нас, существование Ничто – вещь величайшая!»

Сейчас не важно, откуда взялась уверенность в том, что нуль – полноправное число, да и не важно строго математическое понимание термина «число». Все дальнейшее – не более чем интуитивная догадка, из которой профессионалы (если захотят!) могут извлечь «научную компоненту», а остальные, смею надеяться, порадуются тем ассоциациям, которые возникнут при чтении.

Кстати, скажу для профессионалов, что и о работах индийского математика и астронома VI...VII вв. Брахмагупты, который рассматривал употребление нуля во всех арифметических действиях, я тогда, летом 1966 г., абсолютно ничего не знал.

Главное, по-моему, все-таки то, что идея возникла. Прав Эйнштейн, «открытие не является делом логического мышления, даже если конечный продукт связан с логической формой».

Итак, утверждение: нуль есть число.

Следствие: 1/0 – тоже число! Но 1/0 > M, где M – сколь угодно велико! И это очень важно – существует число, качественно отличающееся от любого до сих пор известного. Качественно новое число... k-число. Пусть так и обозначается в дальнейшем. Любопытно отметить, что среди «бесконечных» чисел оно не единственное, оно только начало ряда: k, 2k, 3k и т.д. Числовая ось перешагнула порог бесконечности.

Листок второй

Дорогу осилит идущий...

Ригведа. Гимн щедрости, X век до н.э.

Еще раз. Для ясности, k-число так же конкретно и единственно, как и любое другое число. Просто раньше бесконечность являлась той мусорной кучей, куда валили обломки всех функций, разбившихся при делении на нуль.

(Хм... Опять мотив мусорной кучи, в которой и была найдена эта рукопись... Но не в этом дело. Фраза у автора получилась выразительной, но по сути она неправильна, ибо с натяжкой может быть отнесена лишь к потенциальной бесконечности, к актуальной же и вовсе неприменима. Кроме того, в ней подразумевается, что нуль – это предел функции, и бесконечность – функциональная. В тексте же рассматривается числовая бесконечность. Но не будем придираться, как всякая образная фраза, интуитивно она может быть и глубока. – Ю.Л.)

Более того, k-числа – продолжение оси действительных чисел:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - ... - k - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k- ...

А что такое ∞·k? Может быть, это – k²? В таком случае – опять качественный скачок в направлении возрастания чисел и числовая ось принимает вид:

0 - 1 - 2 - ... - k - 2k - 3k - ... - k² - 2k² - 3k² - ... - k³ - 2k³ - 3k³ - ... - kⁿ -

Эти отрезки числовой оси имеют качественные границы k, k², ..., kⁿ. Но они не изолированы друг от друга. Все тот же нуль связывает их. Действительно,

k²·0 = k·k·0 = k·1/0·0 = k,

ибо нуль – число, и его можно сокращать как обычные числа. Отсюда правило: при умножении на нуль в области чисел вида kⁿ происходит переход в область чисел вида k^n–1. При делении на нуль, что равносильно умножению на k, происходит переход в область kⁿ⁺¹.

Листок третий

Разбросанным в пыли по магазинам

(Где их никто не брал и не берет!)

Моим стихам, как драгоценным винам,

Настанет свой черед.

М.И. Цветаева, май 1913 г., Коктебель

Увы!.. Все новое – это хорошо забытое старое. Цитирую из «Оснований алгебры Леонарда Эйлера части первой первыя три отделения, переведенныя с французского языка на Российской, со многими присовокуплениями, Василием Висковатовым, Академии Наук Экстраординарным Академиком». Издано в 1812 г. в Санкт-Петербурге:

Ǥ83

...Поелику дробь 1/∞ показывает частное, происходящее от деления 1 на ∞, и мы знаем также, что когда делимое 1 на частное число 1/∞ или 0, как прежде мы видели, разделится, то выйдет делитель ∞, и из сего получаем мы новое понятие о бесконечности, а именно, что оная происходит от разделения 1 на 0; чего ради по справедливости сказать можно, что 1, разделенная на 0, означает бесконечно великое число, или ∞...»

Итак, о том, что 1/0 есть именно число, а не предел функции, сказано еще в XVIII в. Эйлером! Однако здорово же пропылилась на книжных полках эта «новость»...

(Может быть, именно эта пропыленность и мешает современным математикам воспринимать ее серьезно? Ведь k-числа не только не вошли в школьные учебники, но и среди преподавателей математики мало кто о них знает. – Ю.Л.)

Но хватит эмоций. Продолжу цитату:

Ǥ84

Здесь надлежит еще опровергнуть довольно обыкновенное заблуждение: многие утверждают, что бесконечно великое количество увеличено уже быть не может; но сие мнение не согласуется с вышеупомянутыми твердыми основаниями. Ибо когда 1/0 бесконечно великое число означает, и 2/0 неоспоримо в два раза больше 1/0, то из сего явствует, что бесконечно великое число сделаться может еще вдвое, или даже в несколько раз больше».

И чему это я так бурно радовался? Мои «прозрения» – это только несколько элементарных утверждений из области чисел, больших бесконечности, о которых еще в XVIII в. говорил Эйлер.

(Да, Эйлер говорил вполне внятно. Но слушали его почему-то впол-уха. – Ю.Л.)

Листок четвертый

Если же существуют математические предметы, то необходимо,

чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом...

либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого...

а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо

вообще не существуют, либо существуют иным способом.

Аристотель, Метафизика, кн. 13, гл. 1

Итак, числовая ось включает качественно однородные отрезки, разделенные особыми точками. Назовем их точками связи. Удобно рассматривать математику целых k-чисел. Обобщение может быть получено при умножении целых k-чисел на некое неравное целому a. Рассмотрим отрезки между точками связи. Начнем с отрезка от 1 до k. Далее – от k до k², еще далее – от k² до k³. В этой серии отрезков обобщенной числовой оси точками связи являются числа вида kⁿ, где n – целое положительное. Продвигаясь в том же направлении далее, мы встретимся с точками связи нового вида: при n = k точка связи имеет вид k^k. Точки связи в первой серии можно назвать точками связи первого рода (символ k входит в них один раз), во второй – точками связи второго рода (символ k входит в них два раза). Например, k^k, k^2k, k^{k^2}, k^k+1 и т.д. Но и они не замыкают последовательность! Возникают точки связи третьего рода: k^{k^k}! А там и четвертого, пятого... Качественное разнообразие числовой оси безгранично. И безгранично велико разнообразие качественно различных бесконечных чисел.

(А почему, собственно, нужно тут удивляться? Бесконечность – это элемент некоего непустого множества, и было бы более удивительно, если бы оно вдруг оказалось единичным. – Ю.Л.)

Листок пятый

Рассказали страшное,

Дали точный адрес.

Б. Пастернак. Звезды летом.

Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае:

k^–2 = 1/k² = 1/(1/0)² = 0²!

Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных...

Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:

- –1 - 0 - +1 - или - –k⁰ - k^–1 - +k⁰ -

Глубже:

- –0 - 0² - +0 - или - –k^–1 - k^–2 - +k^–1 -

И наконец, поняв идею сложного строения нуля:

- –0^n–1 - 0ⁿ - +0^n–1 - или - –k^–(n–1) – k^–n - +k^–(n–1) -

Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.

Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так...

Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития.

Листок шестой

В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,

когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?

М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»

Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:

Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры...» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:

1/(1 – a) = 1 + a + a² + a³ + ... + aⁿ + aⁿ⁺¹/(1 – a)

и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;

а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение

1/(1 – a) = 1 + a + a² + a³ + ... + aⁿ + aⁿ⁺¹/(1 – a).

Когдаположима = 1, товыйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + ... + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо...

Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет

1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение

1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое».

Весьма обстоятельно, но... неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы

n + 1 + 1/0.

В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k⁰, т.е. сумма k и k⁰, каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.

(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)

Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «...так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде

1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + ...

можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна ¹/₂, ¹/₃ и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)

Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом:

1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.

Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k^–1, что совсем не то же самое, что k^–1.

Любопытно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в других работах. Например, в работе «О дифференциале» он совершенно четко разделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совершенно различные самостоятельные понятия.