Наращение и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты

Факультет дистанционного обучения

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра АСУ

Лабораторная работа № 1

по дисциплине «Математическая экономика»

выполнена по учебному пособию А.А.Мицель «Математическая экономика»

Выполнил:

Новицкий Александр Витальевич

гр.: з-446-а

специальности 80801

г. Сургут

2010г

Лабораторная работа №1. Наращение и дисконтирование. Потоки платежей. Ренты.

Вариант №27

Вопрос 1. Современная величина обычной ренты

Современная величина ренты является важнейшей характеристикой потока платежей, которая определяет стоимость будущего денежного потока на настоящий момент времени. Эта характеристика служит осно­вой для многих методов финансового анализа. По определению, совре­менная величина – это сумма всех дисконтированных членов потока платежей на начальный или предшествующий ему момент времени. Ино­гда вместо термина современная величина используют термины приве­денная или капитализированная сумма платежей. При определении со­временной величины потока платежей важно правильно установить период времени от начала потока (момента времени, на который произ­водится оценка) до момента поступления платежа (в годах). После этого можно применять формулы дисконтирования.

.

коэффициент приведения ренты равен

Вопрос 2. Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Этот принцип гарантирует безубыточность изменений финансовых отношений для каждой из сторон. Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведёнными по заданной процентной ставке к одному моменту времени, оказываются равными.

Вопрос 3. Каким образом учитывается инфляция при вычислении наращенной суммы?

Существует множество различных способов учета инфляции при на­ращении сложных процентов. Рассмотрим один из них, основанный на применении формулы Фишера. Пусть – ожидаемый годовой темп инфляции в виде ставки сложных процентов (мы не касаемся здесь методики определения этого показателя), – ставка процентов без учета инфляции, – реальная ставка с учетом инфляции. Тогда реальная ставка определяется из урав­нения, которое называется уравнением Фишера:

.

Решая это уравнение относительно , получим

.

Ставка без учета инфляции (которую называют также номинальной ставкой) . При малых значениях используют приближен­ную формулу , а для реальной ставки: .

Вопрос 4. Как определяется эффективная ставка?

Для сравнения различных условий начисления процентов (при различных номинальных ставках и различном количестве начислений) используют понятие эффективной ставки. Эффективная ставка – это годовая ставка процентов, начисляемых один раз в год, которая дает тот же финансовый результат, что и - разовое начисление в год с использованием номинальной ставки . Таким образом, по определению, должно выполнятся равенство множителей наращения

,

где – эффективная ставка. Отсюда получаем

.

Задача 1. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась равной 6%?

Пусть – ожидаемый годовой темп инфляции в виде ставки сложных процентов (мы не касаемся здесь методики определения этого показателя), – ставка процентов без учета инфляции, – реальная ставка с учетом инфляции. Тогда реальная ставка определяется из урав­нения, которое называется уравнением Фишера:

.

Решая это уравнение относительно , получим

i=r+h+r*h

h=12%, r=6%, i-?

i=r+h+r*h=6+12+6*12=18,72%

Задача 2. Вы заключили депозитный контракт на сумму 90 000 на 4 года при 11% ставке. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

наращенная сумма – это первоначальная сумма с начисленными на эту сумму процентами. Введем следующие обозначения. Пусть

– сумма процентов за весь срок;

– общее количество периодов начисления (обычно в годах);

– первоначальная сумма;

– наращенная сумма;

– ставка процентов в виде десятичной дроби.

Тогда имеем

.

При начислении простых процентов за базу принимается первоначальная сумма. Проценты начисляются раз, поэтому и формула простых процентов запишется в виде

.

Величина называется множителем наращения по простым процентам.

P=90000

n=4

i=0,11

S=90000*(1+4*0,11)=129600

Задача 3. После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию 30 000 в год. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 11% годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

В долгосрочных финансовых операциях для наращения первоначальной суммы применяют сложные проценты. При начислении сложных процентов за базу принимают не первоначальную сумму, а сумму, получившуюся после начисления процентов и присоединения их к сумме долга в предыдущих периодах.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, называют капитализацией процентов. Процесс капитализации происходит по следующей схеме:

В общем виде формула наращения по сложным процентам запишется так:

.

P=30000

n=5

i=0,11

S=30000(1+0,11)⁵ =50551,74465

Задача 4. Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом = 90 000 . и переменной процентной ставкой: 5% во 2-м году, 8% — в 3-м, 10% — в 4-м году. Определить современную величину этой ренты?

R=90000

i2=5%

i3=8%

i4=10%

Сначала определим приведенную величину платежей первого промежутка на начальный момент:

.

i1=0% (по условию за 1-й год)

следовательно А1=90000

Приведённая величина платежей второго промежутка на его начало (то есть на момент ):

.

a_n2,i2=0,95238

A₂=90000*0,95238=85714,28571

Эта же величина, приведенная на начало всего срока (на нулевой момент):

*v₁ⁿ¹

v₁ⁿ¹=1

следовательно A₂=85714,28571

Вычисляем приведённая величину платежей третьего, четвертого промежутка

приведённая величина платежей третьего промежутка

v₁ⁿ¹=1

v₂ⁿ²=0,95238

a_n3,i3=0,9259259

A₃=90000*0,9259259*1*0,95238=79364,99

приведённая величина платежей четвертого промежутка

v₁ⁿ¹=1

v₂ⁿ²=0,95238

v₃ⁿ³=0,92592

a_n4,i4=0,909090

A₄=90000*0,909090*1*0,95238*0,92592=72149,5382

A=90000+85714,28571+79364,99+72149,5382=327228,8

Задача 5. Вычислить - годичную ссуду покупки квартиры за A рублей с годовой ставкой процентов и начальным взносом процентов. Сделать расчет для ежемесячных и ежегодных выплат. =

Расчет провести для следующих данных: ; руб.;

Если задана современная величина ренты, то

.

Интервал между платежами у ренты равен , размер платежа .

Обозначим – коэффициент приведения -срочной ренты.

a_n=15,i=0,11=(1-(1+0,11)¹⁵)/(12((1+0,11)^0,0833-1))=7,546579303

R(год) =600000/7,546579303=79506,22075

К(месяц) =79506,22075/12=6625,518396