Целая и дробная части действительного числа

.

Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ

В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.

В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.

Определение 1

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.

Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый.

Пример.

Вычислить [x], если х принимает значения:

1,5; 3; -1.3; -4.

Решение

Из определения [x] следует:

[1,5] = 1, т.к. 1Z, 1 1,5

[ 3 ] = 3, т.к. 3Z, 3 3

[-1,3]=-2, т.к. –2Z, -2 -1,3

[-4] =-4, т.к. -4Z, -4-4.

Свойства целой части действительного числа.

1°. [ x ] = x , если хZ

2°. [ x ] x  [ x ] + 1

3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m Z

Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.

Пример 1

Решить уравнения:

1.1[ x ] = 3

[ x + 1,3 ] = - 5

[ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5

1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0

Решение

1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 х  4

Ответ : [ 3 ; 4 )

[ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2° :

- 5 х + 1,3  - 4 - 6,3 х  - 5,3

Ответ : [ -6,3 ; -5,3 )

[ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°:

[ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5

[ x ] = 9 9 x  10 (по 2° )

Ответ : [ 9 ; 10 )

1.4 [ x ]- 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t - 7 t + 10 = 0 , т.е.

Ответ : [ 2 ; 3 ) [ 5 ; 6)

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 [ x ] 2

[ x ] > 2

[ x ] 2

[ x ] < 2

[ x ] - 8 [ x ] + 15 0

Решение

2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют х

Ответ : [ 2 ; ).

2.2 Решение этого неравенства: х.

Ответ : [ 3 ; ).

2.3 x < 3

2.4 x < 2

2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе

3

Ответ : [ 3; 6 ).

2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим .

Ответ : (-.

Пример 4.

Постройте график функции y = [ x ]

Решение

1). ООФ: х R

2). МЗФ: y Z

3). Т.к. при х О [ m ; m + 1), где m О Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1 ; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = - 1 ; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0.

Примечание.

1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.

2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Определение 2.

Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }.

Пример.

Вычислить { x }, если х принимает значение : 2,37 ; -4 ; 3,14 . . .; 5 .

Решение

{ 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37.

, т.к.

{ 3,14…} = 0,14… , т.к. { 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14…

{ 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0.

Свойства дробной части действительного числа.

1°. { x } = x – [ x ]

2°. 0 { x } < 1

3°. { x + m } = { x }, где m О Z

4°. { x } = x , если х О [ 0 ; 1)

5° Если { x } = а , a О [ 0 ; 1), то х =а +m, где m О Z

6°. { x } = 0 , если х О Z.

Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях.

Пример 1.

Решить уравнения:

1.1 { x } = 0,1

1.2 { x } = -0,7

{ x } = 2,5

{ x + 3 } = 3,2

{ x } - { x } +

Решение

По 5° решением будет множество

х = 0,1 + m , m О Z

1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ

По 3° уравнение равносильно уравнению

{ x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m , m О Z

1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ: х=

х=

Пример 2.

Решить неравенства:

2.1 { x } 0,4

2.2 { x } 0

{ x + 4 } < 4,7

{ x }-0,7 { x } + 0,2 > 0

Решение

2.1 По 5° : 0,4 + m x < 1 + m, где m О Z

2.2 По 1° : х О R

По 3° : {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7.

По 5° : m < x < 0,7 + m , m О Z

2.4 Так как { x } 0, то { x } - 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 < ЮЮ { x } < 1 Ю x О R

2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение:

{ x }- 0,7 { x } + 0,2 = 0 Ю Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

Ответ : ( 0,5 + m ; 1 + m ) ( k ; 0,2 + k ),

m О Z , k О Z

Пример 3.

Построить график функции y = { x }

Построение.

1). ООФ : x О R

2). МЗФ : y О [ 0 ; 1 )

3). Функция y = { x } периодическая и ее период

T = m , m О Z, т.к. если х О R, то (x+m) О R

и (x-m) О R, где m О Z и по 3° { x + m } =

{ x – m } = { x }.

Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3, . . . и наименьшее положительное значение m = 1.

4). Так как y = { x } – периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же.

а). Пусть х О [ 0 ; 1 ), тогда { x } = x и y = x . Получим , что на промежутке [ 0 ; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.

б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45° , из которых исключен правый конец.

Примечание.

Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.

Пример 4.

Решить уравнение 17 [ x ] = 95 {x }

Решение

Т.к. { x } О [ 0 ; 1 ), то 95 { x }О [ 0 ; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ). Из соотношения

17 [ x ]О [ 0 ; 95 ) следует [ x ]О, т.е. [ x ] может равняться 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , и 5.

Из данного уравнения следует, что { x } = , т.е. с учетом полученного множества значений для

[ x ] делаем вывод : { x }, соответственно, может равняться 0 ;

Т. к. требуется найти х, а х = [ x ] + { x }, то получаем, что х может равняться

0 ;

Ответ :

Примечание.

Аналогичное уравнение предлагалось в 1 туре краевой математической олимпиады для десятиклассников в 1996 году.

Пример 5.

Построить график функции y = [ { x } ].

Решение

ООФ : х О R, т.к. { x }О [ 0 ; 1 ) , а целая часть чисел из промежутка [ 0 ; 1) равна нулю, то данная функция равносильна y = 0

y

0 x

Пример 6.

Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению { x } =

Решение

Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х = , m О Z по 5°, то на координатной плоскости следует построить множество вертикальных прямых х = + m, m О Z

y

0 x

Список литературы

Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., по ред. Н. Я. Виленкина.- М. Просвещение, 1995 г.

В. Н. Березин, И. Л. Никольская, Л. Ю. Березина Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике - М. 1985

А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 г.

Журнал “Квант”, 1976, № 5

Журнал “Математика в школе”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3.