Розрахунок двошарнірної арки методом сил

Міністерство освіти і науки України

Полтавський національний технічний університет

імені Юрія Кондратюка

Факультет будівельний

Кафедра будівельної механіки

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА

РОБОТА №2

Розрахунок двошарнірної арки методом сил

Виконав студент

Безрукавий В.В.

Полтава 2010

Зміст

1. Кінематичний аналіз заданої системи та визначення кількості невідомих методу сил

2. Вибір основної системи методу сил

3. Запис канонічного рівняння методу сил

4. Визначення коефіцієнта і вільного члена канонічного рівняння методу сил і їх перевірка

5. Розв’язання канонічного рівняння методу сил

6. Побудова епюр внутрішніх зусиль для заданої арки та перевірка

Література

Додаток А. Графічний матеріал роботи: Епюри внутрішніх зусиль для заданої арки

Вихідні дані

l= 12 м;= 0,20 = 2,4 м;E_aI_a = 34×10⁴ кПа×м⁴;

q₁ = 18 кН/м; q₂ = 18 кН/м; F₁= 180 кН.

Окреслення осі арки по квадратній параболі:

Розрахункова схема

1. Кінематичний аналіз.

а). Визначимо ступінь свободи системи:

,

де Д – кількість дисків;

Ш – кількість простих шарнірів;

В₀ – кількість опорних в’язей.

Ступінь статичної невизначеності системи .

Отже, дана арка є один раз статично невизначною (має 1 невідоме методу сил) і може бути геометрично незмінна.

б). Аналіз геометричної структури заданої рами.

Дана арка складається із одного криволінійного елементу, який опирається на нерухому основу за допомогою чотирьох опорних в’язей (на дві шарнірно-нерухомі опори) і є геометрично незмінна.

Двошарнірна арка є розпірною системою, оскільки при дії вертикального навантаження виникають горизонтальні складові опорних реакцій, які називають розпором і позначають – Н.

2. Вибираємо основну систему методу сил шляхом відкидання зайвої в’язі, навантаживши при цьому її зовнішніми силами та зусиллям відкинутої зайвої в’язі - Х_1.

Х₁ є основне невідоме методу сил.

3.Для основної системи методу сил канонічне рівняння матиме вигляд:

d₁₁×Х₁ + D_1F = 0;

де Х₁ – основне невідоме методу сил (величина розпору);

d₁₁ – переміщення перерізу, де прикладена Х₁ в напрямку Х₁, від Х₁ = 1;

D_1F – переміщення перерізу, де прикладена Х₁, у напрямку Х₁, від зовнішнього навантаження або інших впливів.

Зміст канонічного рівняння полягає в тому, що переміщення перерізу , де прикладена невідома Х₁, в напрямку невідомої Х₁, від зовнішнього навантаження дорівнює нулю. Тобто цим рівнянням ми заперечуємо взаємне зближення перерізів А і В.

4. Визначення коефіцієнта і вільного члена канонічного рівняння методу сил і їх перевірка.

4.1Значення d₁₁ обчислюється за формулою:

де - внутрішні зусилля в арці від Х₁ = 1;

m - коефіцієнт, що враховує форму поперечного перерізу арки;

- відповідні жорсткості арки та затяжки.

При розрахунку двошарнірних арок із постійними жорсткостями, осі яких окреслені за квадратною параболою, можна скористатися такими спрощеннями:

- при співвідношенні висоти перерізу арки до її прольоту , а також нехтують поперечними та поздовжніми силами при

обчисленні коефіцієнта і вільного члена канонічного рівняння методу сил;

- коли , тоді інтегрування за довжиною дуги арки , при обчисленні коефіцієнта і вільного члена канонічного рівняння методу сил, змінюється інтегруванням за горизонтальною проекцією арки (dSdx).

В цьому разі d₁₁ обчислюємо так:

Для арки без затяжки:

Отже , переміщення перерізу:

4.2.1 При розрахунку двошарнірних арок із постійними жорсткостями, осі яких окреслені за квадратною параболою, у випадку, коли можна скористатися спрощеннями, що вказані вище, значення D_1F обчислюється за формулою:

Побудуємо для заданої арки епюру внутрішніх зусиль від одиничного значення невідомого – .

Так, як вісь арки окреслюється по квадратній параболі, то значення визначимо, як:

Якщо використати принцип незалежності дії сил, можна записати:

D_1F = D_1F1 +D_1g1 +D_1g2;

Таким чином, визначимо переміщення, де прикладене невідоме зусилля Х₁ від кожного виду заданного навантаження.

Розглянемо Ділянку АО 0 ≤ х ≤ 4,8 Ділянка ВО 0 ≤ х ≤ 7,2

Розглянемо ділянку АО 0 ≤ х ≤ 7,2

Ділянка В0

0 ≤ х ≤ 4,8

Розглянемо ділянку АО

0 ≤ х ≤ 2,4

Ділянка ВО

0 ≤ х ≤ 9,6

Маємо:

D_1F = -0,011 – 0,004779 – 0,005 = (м).

5. Розв’язання канонічного рівняння методу сил

d₁₁×Х₁ + D_1F = 0;

Звідси:;

Після визначення з канонічного рівняння невідомого Х₁, його значення перевіряємо за допомогою рівняння лінії впливу Х₁ для двошарнірних арок з постійними жорсткостями, осі яких окреслені за квадратною параболою (у випадку коли можна скористатися спрощеннями, що вказані вище).

Для заданої арки без затяжки розпір Х₁ обчислюється з умови, що ЕА_зат = ∞.

В цьому разі:

Від дії рівномірно розподіленого по довжині навантаження - g₁.

46.742кН

Від дії – g₂.

13.003кН

Від дії зосередженої сили - F₁ (x = 5,6)

130.032кН

Значення X1 визначене вірно. Х1=191,68кН

Подальший розрахунок ведемо в табличній формі. Для цього розбиваємо арку на n = 20 кількість ділянок та визначаємо тригонометричні характеристики в кожному конкретному перерізі, згідно формул:

Далі проводимо аналогію – задаємось аркою такого самого прольоту, як і арка і з таким же навантаженням та визначаємо для неї внутрішні зусилля в кожному перерізі.

Маючи балочні внутрішні зусилля використовуємо формулу для визначення внутрішніх зусиль в перерізах двошарнірної арки.

Література

1. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика стержневых систем. – М.: Стройиздат, 1981.

2. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. – 8-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1986.

3. Киселев В.А. Строительная механика, общий курс – 4-е изд., исправленное и доп. – М.: Стройиздат, 1986.

4. Бутенко Ю.И., Канн С.Н., Пустовойтов В.П. и др. Строительная механика стержневых систем и оболочек. – К.: Вища школа, 1980.

5. Строительная механика. Руководство к практическим занятиям / Под ред. Ю.И. Бутенко. – К.: Вища школа, 1989.

6. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статически определимые и неопределимые системы) / Под ред. Г.К. Клейна. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1973.

7. Методичні вказівки та контрольні завдання з дисципліни „Будівельна механіка (спецкурс)” для студентів денної форми навчання. Частина 2 (статично невизначні системи) / Полтава: ПНТУ, 2003. Укладачі: О.А. Шкурупій, Б.П. Митрофанов, А.М. Пащенко.

Додаток А