по Экономическому моделированию

Задача 1.

1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Пусть X₁ – кол-во акций «Дикси-Е»,

X₂ – кол-во акций «Дикси-В».

Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:

Для получения решения графическим методом строим прямые:

Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи.

Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели maxзначение.

Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0).

Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.

Точка С (3500;2500)

Если решать задачу на minто надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения.

Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$

При покупке акций Дикси-Е (Х₁)=3500 (шт.), Дикси-В (Х₂)=2500 (шт.).

Задача 2.

2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;

- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

Решение

1) Пусть необходимо изготовить х₁ единиц продукции A, х₂единиц продукции Б и х₃единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:

Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MSExcel. Сначала занесем исходные данные:

Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:

В результате будет получена следующая таблица:

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.

2) Строим двойственную задачу в виде:

Запишем двойственную задачу:

Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у₃= 0

Так как х₂ ≠ 0 и х₃≠ 0, то получаем систему уравнений:

Решение системы: y₁=2/9, y₂=5/3, y₃=0.

3) В прямой задаче Х₁=0, так как придостаточно высоких затратах производство продукции Iприносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у₂ = 5/3) является наибольшей.

б) При увеличении запасов сырья Iвида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:

2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.

И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед.

Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:

То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:

X₁=0 X₂=11 X₃=20 maxf(x) = 395 (ден.ед)

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.

Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.

Задача 4.

Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀ +a₁ k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение

1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда.

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

Построим следующий ряд:

y(t)2=B2^2

λ(y) =D3/$B$13

σy=((9*E11-B11^2)/72)^0,5

Анамальных наблюдений во временном ряду нет.

2)Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t

Параметры а₀и а₁можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

А также с использованием настройки MSExcel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных»

Средствами MSExcel получена следующая линейная модель: Y_p(t) = 1,85 t+ 10,30

Построим график эмпирического и смоделированного рядов:

3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза:

используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

а) Примем а = 0,4, тогда В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6; а₁= 1,4.

Расчет проведем с помощью MSExcel в результате получим следующую таблицу:

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

б) Примем а = 0,7, тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6; а₁= 1,4. Получим следующую таблицу:

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:

Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.

4) Оценим адекватность построенной модели также используя MSExcel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

Et=B2-G2

Е(т)^2=H2^2

E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2

E(t)-E(t-1) =H3-H2

мод Е(т) =ABS(H2)

Е(т)/у=L2/B2

Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.

· Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:

Так как для данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено.

· Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (d- статистику) по формулам:

d=2,03383658

d'=4–2,03383658=1,96616342

Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и d_2kp=1,36;

dи d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

· Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:

S_e=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685

=(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04

(2,7;3,7), т.е. 3,04(2,7;3,7), значит модель адекватна.

5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

6) Строим прогноз по построенным моделям:

точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на kшагов вперед имеет вид:

Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1=10,30+1,85(9+1)=28,806

Y_n+2=10,30+1,85(9+2)= 30,656

Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу: