Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.

Генерацияслучайных чиселс заданнымзаконом распределенияс помощью случайныхчисел, равномернораспределенныхна интервале(0,1):

1. используяцентральнуюпредельнуютеорему, с помощьюсумм 6 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0,1) случайныхчисел получить25 случайныхчисла со стандартнымнормальнымзаконом распределения;найти выборочноесреднее и выборочнуюдисперсию;

2. получить 11случайныхчисел с закономраспределенияСтьюдента с10 степенямисвободы; найтивыборочноесреднее и выборочнуюдисперсию.

Решение:

С помощью сумм6 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0,1) случайныхчисел получим24 случайныхчисла со стандартнымнормальнымзаконом распределенияпо формуле

,где z_i -равномернораспределенныена интервале(0,1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

Найдем выборочноесреднее поформуле

Найдем выборочнуюдисперсию поформуле

Получим 11 случайныхчисел с закономраспределенияСтьюдента с10 степенямисвободы:

С
лучайныечисла, распределенныепо закону «хиквадрат» с 10степенямисвободы:

, где x_i– нормальныенезависимыеслучайныевеличины.

Случайныечисла, распределенныепо закону Стьюдентас 10 степенямисвободы:

,
где x – нормальнаяслучайнаявеличина, а ²– независимаяот x величина,которая распределенапо закону «хиквадрат» с 10степенямисвободы.

Получены следующиечисла:

Найдем выборочноесреднее поформуле

Найдем выборочнуюдисперсию поформуле

Задача 2.

Проверкастатистическойгипотезы:

1. получить 100случайныхчисел {x₁,…,x₁₀₀},распределенныхпо показательномузакону с параметром = 1/6, найтитакое наименьшеецелое числоN, что N x_k для всех k =1,…,100;

2. разделитьотрезок [0, N] на10 равных отрезков;получитьгруппированнуювыборку {n₁,…,n₁₀},где n_i – числочисел, попавшихв i-ый интервал;построитьгистограммуотносительныхчастот; погруппированнойвыборке найтиоценку _Впараметра ;

3. проверить спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_В приуровне значимости0.05.

Решение:

Получим 100 случайныхчисел {x₁,…,x₁₀₀},распределенныхпо показательномузакону с параметром = 1/6:

Находим такоенаименьшеецелое числоN, что N x_k для всех k =1,…,100:

N = 31

Разделяемотрезок [0, 31]на 10 равных отрезкови получимгруппированнуювыборку {n₁,…,n₁₀},где n_i – числочисел, попавшихв i-ый интервал:

Гистограммаотносительныхчастот:

Находим выборочноесреднее поформуле

По группированнойвыборке находимоценку _Впараметра по формуле

Проверяем спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_В приуровне значимости0.05:

Находим вероятностипопадания X вчастичныеинтервалы (x_i,x_i+1) по формуле

Вычисляемтеоретическиечастоты поформуле

Находим наблюдаемоезначение критерияпо формуле

По таблицекритическихточек распределения«хи квадрат»,по заданномууровню значимости0.05 и числустепеней свободы8 находим критическуюточку

Гипотезу осоответствиигруппированнойвыборки показательномураспределениюс параметром_В неотвергаем.

Задача 3.

Проверка гипотезыо равенстведисперсий:

1. получить 2 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 5 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел: аналогично,получить 9 случайныхчисел, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 9 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел;

2. проверитьгипотезу оравенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1.

Решение:

Получим 2 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 5 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел по формуле

,где z_i- равномернораспределенныена интервале(0, 1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

Получим 9 случайныхчисла, распределенныхпо стандартномунормальномузакону с помощьюсумм 9 независимыхравномернораспределенныхна интервале(0, 1) случайныхчисел по формуле

,где z_i- равномернораспределенныена интервале(0, 1) случайныечисла.

Получены следующиечисла:

Проверим гипотезуо равенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1:

Найдем выборочноесреднее первойсовокупностипо формуле

Найдем выборочноесреднее второйсовокупностипо формуле

Найдем исправленнуюдисперсиюпервой совокупностипо формуле

Найдем исправленнуюдисперсиювторой совокупностипо формуле

Вычислим наблюдаемоезначение критерия(отношениебольшей исправленнойдисперсии кменьшей) поформуле

По таблицекритическихточек распределенияФишера-Снедекора,по заданномууровню значимости0.1 и числам степенейсвободы 1 и 9 найдемкритическуюточку

Гипотезу оравенствегенеральныхдисперсийполученныхсовокупностейпри уровнезначимости0.1 не отвергается.

Задача 4.

Уравнение линиирегрессии:

1. получить 50случайныхнезависимыхзначений {x₁,…,x₅₀}случайнойвеличины X,равномернораспределеннойна интервале(0, 9); получить 50случайныхнезависимыхзначений {y₁,…,y₅₀}случайнойвеличины Y следующимобразом: y_i –случайноечисло, распределенноепо показательномузакону с параметром

2. найти уравнениепрямой линиирегрессии Y наX по этим данным;

3. проверить спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05; при этом рассмотретьгруппированнуювыборку, разделивотрезок [-_max,_max] на5 равных частей,где _max– наибольшеепо абсолютнойвеличине отклонениеy_i от линиирегрессии.

Решение:

Получим 50 случайныхнезависимыхзначений {x₁,…,x₅₀}случайнойвеличины X,равномернораспределеннойна интервале(0, 9):

Получим 50 случайныхнезависимыхзначений {y₁,…,y₅₀}случайнойвеличины Y следующимобразом: yi –случайноечисло, распределенноепо показательномузакону с параметром:

Найдем уравнениепрямой линиирегрессии Y наX по этим даннымпо формулам

Уравнениепрямой линиирегрессии Y наX:

Получены следующиезначения отклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии:

Проверим спомощью критерия«хи квадрат»гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05:

Найдем наибольшеепо абсолютнойвеличине отклонениеy_i от линиирегрессии:

Рассмотримгруппированнуювыборку, разделивотрезок [-_max,_max] на5 равных частей:

Вычислим шаг:

Вычислим выборочноесреднее поформуле

Вычислим выборочноесреднее квадратическоеотклонениепо формуле

Вычислимтеоретическиевероятностипопадания винтервалы (z_i,z_i+1)по формуле

_{Вычислимтеоретическиечастоты поформуле}

По таблицекритическихточек распределения«хи квадрат»,по заданномууровню значимости0.05 и числу степенейсвободы 3 находимкритическуюточку:

Гипотезу онормальномраспределениис нулевымматематическиможиданиемотклоненийимеющихсяданных от прямойрегрессии приуровне значимости0.05 не отвергаем.