Решение уравнений с параметрами

Городская открытая научно – практическая конференция

1. Введение

2. Решение уравнений с параметрами

3. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями

4. Заключение

Введение

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2) показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;

3) показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

Решение уравнений с параметрами

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.

Решить уравнение - значит:

найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.

При решении таких уравнений надо:

1) найти множество всех доступных значений параметров;

2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

3) привести подобные слагаемые;

4) решать уравнение ax = b.

Возможно три случая.

1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = .

2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все хR.

3. а = 0, b0. Уравнение 0х = b

решений не имеет.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.

Ответ:

х = при а 0, b – любое действительное число;

х – любое число при а = 0, b = 0;

решений нет при а = 0, b ≠ 0.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями

1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1} не имеет корней?

Решение: преобразуем заданное уравнение: 15·10 ^х – 20 = n – n · 10^{х + 1}; 15·10 ^х + n· 10^{х + 1} = n + 20; 10 ^х ·(15 + 10n) = n + 20; 10 ^х = .

Уравнение не будет иметь решений при ≤ 0, поскольку 10 ^х всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.

Ответ: .

2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg² (1 + х²) + (3а – 2)· lg(1 + х²) + а² = 0 не имеет решений.

Решение: обозначим lg(1 + х²) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z² + (3а – 2) · z + а² = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)² – 4а² = 5а² – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а² – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.

Ответ: (0,4; 2).

3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.

Решение: преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin²х – asinx = 2a – 7; sin²х - asinx + a – 4 = 0;

(sinх – 2) · = 0.

Решение уравнения (sinх – 2) · = 0 дает:

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.

sinх - = 0; х = (-1)ⁿarcsin + πn, nZ при ≤ 1. Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х² - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).

Решение: корни заданного уравнения равны: х₁ =(1+ )

х₂ =, при этом а ≤ .

По условию -1 < (1+ ) < 1 < < 3,

- 1 < < 1 > > - 3.

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 < < 3.

Неравенство - 3 < выполняется при всех а ≤ , неравенство < 3 – при - 2 < а ≤ . Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; .

Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.

Ответ: 0.

5. При каких значениях параметра а число корней уравнения

² -х = 0 равно а?

Решение: построим эскиз графика функции, у = ² -х при этом учтем, что функция у – четная и ее график – симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х² - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум, равный – 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола

у = х² - 8х + 7 с минимумом у_мин равным - 9 при х _мин = 4, и корнями х₁ = 1 и х₂ = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = ² – 8х + (1 < х < 7), полученная зеркальным отражением относительно оси 0х части параболы

х² - 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).

Проводя горизонтали у = а, аN, получаем kточек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:

Таким образом, а = k при а = 7.

Ответ: 7.

6. Указать значение параметра а, при котором уравнение

х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 4 = 0 имеет три различных корня.

Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х =

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 > , имеем: (2а – 1) = (2а – 1)² = 17 – 4а

4а² – 4а +1 = 17 – 4а а = 2.

Ответ: 2.

7. Указать целое значение параметра p, при котором уравнение

cosx – 2sinx = + имеет решение.

Решение: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0 р ≤ 2; объединяя допустимые значения параметра р, имеем:

0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид – 2sinх = 2х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса).

При р = 1 исходное уравнение принимает вид:

cosx-2sinx = +1.

Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет

= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx=

sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , что меньше +1.

Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.

При р = 2 исходное уравнение принимает вид

.

Максимальное значение разности составляет при х = arctg(-) (при этом sinx = , cosx = ). Поскольку > +1, то уравнение = будет иметь решение.

Ответ: 2.

8. Определить число натуральных n, при которых уравнение не имеет решения.

Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.

Уравнение х² – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10) < 0 n² -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.

Ответ: 6.

9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение (0 < х < ) имеет решение.

Решение: по условию 1 > sinx> 0 1 < < + ,

1 > cosx> 01 < < + ,

Следовательно, 2 < а < + .

Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

= а² = а²

= а².

Введем переменную z = . Тогда исходное уравнение примет вид:

z² + 2z – а² = 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его дискриминант

D = 1 + а²положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + , заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ: 3.

Заключение

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Используемая литература.

1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.

2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.

3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.

4. В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г.

5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.

7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.

8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.

9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.

10. А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г.

11. В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.