Функционально-графический подход к решению задач с параметрами

(Слайд 1 -2)

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Задачи с параметрами вызывают большие затруднения. Это связано с тем, что решение таких задач требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

(Слайд 3)

Математическое понятие параметра

Параметром называются коэффициенты при неизвестных или свободные члены, заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами.

Решить задачу с параметром – этозначит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

(к 4 слайду)

Выделяют несколько типов задач с параметрами..

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2.Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

(к 5 слайду)

Основные методы решения задач:

-аналитический, т е с помощью алгебраических выражений

-графический, т е с помощью построения графиков функций

-решение относительно параметра, т е в случае, когда параметр считается еще одной переменной..

Наш доклад посвящен второму способу решения задач с параметрами.

(к 6 слайду) построение графиков функций.

При этом важно знать основные правила построения функций, которые можно рассмотреть на примере графика функции у = |х|.

График функции у = |х- а| получается из графика функции у = |х| с помощью параллельного переноса вправо если а больше 0 на а единиц, и влево если а меньше 0 на –а единиц.

График функции у = |х| + b получается из графика функции у = |х| при параллельном переносе вверх на b единиц если b больше 0, и вниз на – b единиц если b меньше 0.

Задача1

Задана функция у = f(х). Нужно указать количество корней уравнения f(х) =а при всех значениях параметра.

Данная задача относится ко 2му типу задач с параметрами. Здесь возможно несколько случаев: при а < - 5 уравнение имеет 1 корень, при а =- 5 - 2 корня, при - 5<a<- 2- три корня, при а = - 2- четыре корня, при - 2<a<1- пять корней, при а = 1 – четыре корня, при 1<a<3 – три корня, при а =3 – два корня и при а>3 – один корень.

Задача 2

Следующая задача относится к 4 типу задач с параметрами.

Нам необходимо найти значения параметра, при которых множество точек, заданное неравенством (1) является подмножеством множества точек, заданного неравенством (2).

Графиком второго неравенства является область, ограниченная ромбом.

Наша задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра а, при которых множество точек сжимается до таких размеров, чтобы поместиться в этот ромб.

Неравенство (1) равносильно системе (3).

Очевидно, что при а ≤ 0 эта система задает неограниченное множество точек (рис 2), которое не может поместиться внутри ромба.

Если а > 0, то система задает фигуру, изображенную на рис 3.

Из соображений симметрии для поиска значений параметра потребуем, чтобы уравнение 1 - ах² = 5/4 – 2х при а > 0 имело не более одного корня. Отсюда а ≥ 4.

Задача 3

Данную задачу можно отнести к смешанному типу (3, 4)

В ней нужно указать положительные значения параметра, при которых площадь фигуры, ограниченная параболами (1) и (2) равна а? и найти значения а, при которых задача имеет смысл.

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения этих парабол, для этого решим квадратное уравнение (). Его корнями являются числа x1 и x2. Затем вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами. Площадь находим с помощью определенного интеграла с пределами интегрирования от x1 до x2.

По условию площадь фигуры = а, тогда выразим значение параметра b. Из условия, а и b больше 0 следует, что решение задачи существует при а принадлежащем интервалу (о;4/3)

Задача 5

Найти значение параметра к, при котором площадь фигуры ограниченной линиями будет наименьшей?

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим уравнение (3) или (4). Так как дискриминант > 0 то уравнение при все значениях параметра будет иметь 2 корня x1 и x2. Вычислим площадь фигуры ограниченную линиями 1) и 2). Ее так же вычисляем с помощью определенного интеграла с пределами интегрирования x1 и x2.

Согласно т. Виета для корней x1 и x2. уравнения (2): сумма корней равна к-2, а их произведение -4.

Min площадь достигается при к=2 и

Эту задачу можно отнести к 4 типу.

При каком значении а площадь фигуры, ограниченной линиями x=2, равна

Заключение

Итак, мы рассмотрели часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделали вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами.

Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание некоторых их особенностей нужны всем специалистам, в любой области научной и практической деятельности