Теория вероятности и математическая статистика

Московский авиационный институт

/государственный университет/

Филиал «Взлет»

Курсовая работа

Теория вероятности и математическая статистика

Содержание

Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электросхемы

Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Задание №3: Проверка критерием Х²: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Список используемой литературы

Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электросхемы

Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.

План проверки: Составить электросхему из последовательно и параллельно соединенных 7 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi< 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в TurboPascal, при помощи которой мы будем проводить опыты, учитывая, что надежность каждого из элементов в пределах от 0.6 до 0.9. Высчитывать частоту безотказной работы схемы. Для этого мы вводим надежность каждого из элементов. Программа будет увеличивать число опытов от 1000 до 20000 через 1000 проверяя сколько из этих опытов окажутся успешными, т.е. схема работает, для этого проверяется условие когда x[i]<P[i] то присваиваем этому элементу логическую 1 т.е. элемент работает, а если условие не выполняется то элемент не работает, всё это проделывается для каждого из 7 элементов для этого данное условие задаётся при помощи цикла. Далее получаем количество успешных опытов и делим на количество проведённых получая при этом частоту безотказной работы данной схемы.

Схема:

Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли

Расчет:

Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.

Математическое моделирование с помощью TurboPascal.

Program TVMS_kursov_1;

Uses CRT;

Var i,b,k,d,op,n:Integer;

ch:Real;

P,x:Array[1..10] of Real;

a:Array[1..30] of Integer;

Begin

ClrScr;

Randomize;

For i:=1 to 7 do

begin

Write(' Введите надёжности элементов P[',i,']=');

ReadLn(P[i]);

End;

WriteLn;

WriteLn('Число опытов ','Число благоприятных исходов ','Частота');

For op:=1 to 20 do

begin

n:=op*1000;

d:=0;

For k:=1 to n do

begin

For i:=1 to 7 do

begin

x[i]:=Random;

If x[i]<P[i] then a[i]:=1 else a[i]:=0;

End;

b:=((a[3]+a[4]+a[5]*a[6]*a[7])*a[1]*a[2]);

if b>=1 then d:=d+1;

End;

ch:=d/n;

WriteLn;

Write(' ':3,n:5,' ':20,d:5,' ':15,ch:5:4);

End;

WriteLn;

ReadLn;

End.

Результат работы программы.

Введите надёжности элементов P[1]=0.7

Введите надёжности элементов P[2]=0.9

Введите надёжности элементов P[3]=0.8

Введите надёжности элементов P[4]=0.6

Введите надёжности элементов P[5]=0.9

Введите надёжности элементов P[6]=0.7

Введите надёжности элементов P[7]=0.8

Таблица

Теоретический расчёт вероятности работы цепи:

I способ:

II способ:

Из математического моделирования с помощью TurboPascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события .

Распределение модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Пусть СВ Y подчиняется закону нормального распределения. Пусть по тем или иным причинам представляет интерес величина отклонения Y от нуля независимо от знака этого отклонения, т. е. СВ

X=|Y|

которая образует распределение модуля СВ, подчиненной нормальному закону.

Математическое выражение. Распределение модуля СВ определяется теми же двумя параметрами, которые характеризуют исходное нормальное распределение.

Плотность вероятности равна

где x₀, σ_н — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение исходного нормального распределения;

φ(t) — функция, определяемая равенством (5.12).

Функция распределения равна

где Ф₀(t) — функция, определяемая равенством (5.19).

График плотности вероятности приведен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение СВ Х определяются равенствами:

Вид распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону, зависит от соотношения между x₀ и σ_н (рис. 5.2).

Для определения медианы нужно решить уравнение

а для определения моды — уравнение

Второе уравнение при x₀> σ_н, а первое при любых x₀ и σ_н решаются численными или графическими методами. При x₀<σ_н мода равна нулю.

Формулы (5.33) и (5.34) можно выразить через срединное отклонение Е_н исходного нормального распределения, заменив в них σ_н на Е_н, φ(t) на φ^{^}(t), Ф₀(t) на Ф^{^}₀(t). Функции φ^{^}(t) и Ф^{^}₀(t) определяются равенствами (5.13) и (5.21).

Вычисление: Расчеты по формулам (5.33) — (5.37) производятся с помощью табл. II и III. Если расчетчик предпочитает выражение исходного нормального распределения через срединное отклонение, то используются табл. IV и V.

Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Программав Turbo Pascal:

PROGRAM Kursov_2;

Uses Graph,Crt;

Var mi:array[1..100] of integer;

hi,pix,hn,hr,xi:array[1..200] of real;

m,i,l,j,n,a,b:integer;

mx,Dx,Gx,Sk,Ex,fx,xl,Dxs,Gxs,Sks,Exs:real;

xmin,xmax,pod,c,c1,c2,x,v:real;

st:string;

{---------------Генерирование числовых последовательностей-----------}

BEGIN

Randomize;

ClrScr;

Write(' Введите количество элементов последовательности: ' );

ReadLn(n);

a:=-3; b:=6;

WriteLn;

WriteLn(' Исходная последовательность с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения на интервале [-3;6]:');

mx:=(a+b)/2;

Dx:=30/12;

for i:=1 to n do

begin

v:=0;

for j:=1 to 30 do

begin

x:=Random;

v:=v+x;

end;

v:=(v-15)/Sqrt(Dx)*1.5+mx;

hn[i]:=v;

Write(hn[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значения диапазона----------}

xmin:=hn[1]; xmax:=hn[1];

for i:=1 to n do

begin

if hn[i]>xmax then

xmax:=hn[i];

if hn[i]<xmin then

xmin:=hn[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{--Генерирование модyля CB с нормальным законом распределения--}

a:=0; b:=6;

WriteLn(' последовательность модyля CB с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения:');

WriteLn;

for i:=1 to n do

begin

hr[i]:=abs(hn[i]);

Write(hr[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значения диапазона----------}

xmin:=hr[1]; xmax:=hr[1];

for i:=1 to n do

begin

if hr[i]>xmax then

xmax:=hr[i];

if hr[i]<xmin then

xmin:=hr[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{------------------------Разбивка на интервалы-----------------------}

m:=b-a;

c:=(xmax-xmin)/m;

c1:=xmin; c2:=c+xmin;

for i:=1 to m do

begin

xi[i]:=(c1+c2)/2;

mi[i]:=0; l:=1;

repeat

if (hn[l]<=c2) and (hn[l]>=c1) then

mi[i]:=mi[i]+1;

l:=l+1;

until l=n+1;

c1:=c2;

c2:=c2+c;

end;

GotoXY(1,8);

WriteLn('KоличествочиселЧacтoтa пoпaдaния Bыcoтa cтoлбикa гиcтoгpaммы');

WriteLn;

for i:=1 to m do

begin

pix[i]:=mi[i]/n;

hi[i]:=pix[i]/c;

WriteLn(i,': ',mi[i]:6,pix[i]:20:3,hi[i]:22:3);

end;

ReadLn; ClrScr;

{----------------------Числовые характеристики-----------------------}

xl:=0;

for i:=1 to m do

xl:=xl+xi[i]*pix[i];

Dxs:=0;

for i:=1 to m do

Dxs:=Dxs+sqr(xi[i]-xl)*pix[i];

Gxs:=sqrt(Dxs); Sks:=0; Exs:=0;

for i:=1 to m do

begin

pod:=xi[i]-xl;

Sks:=Sks+pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs);

Exs:=Exs+pod*pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs*Gxs);

end;

Exs:=Exs-3;

GotoXY(10,1);

WriteLn(' Числовые характеристики:');

GotoXY(10,5);

WriteLn('Среднестатистическое значение xl= ',xl:6:3);

GotoXY(10,8);

WriteLn('Статистическая дисперсия Dxs= ',Dxs:6:3);

GotoXY(10,11);

WriteLn('Среднестатистическое отклонение Gxs= ',Gxs:6:3);

GotoXY(10,14);

WriteLn('Скошенность Sks= ',Sks:6:3);

GotoXY(10,17);

WriteLn('Островершинность Exs= ',Exs:6:3);

ReadLn;

END.

Результат работы программы:

Введите количество элементов последовательности: 300

Исходная последовательность с нормальным

законом распределения на интервале [-3;6]:

2.79 1.48 -0.18 2.84 -0.51 1.90 0.83 0.84

-1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 -1.24 -0.49

2.14 -0.16 -2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

-0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

-1.14 0.77 1.68 -0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 -0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 -0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 -0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

-0.53 -0.03 0.78 -0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 -0.49 2.06 0.64 2.29

-0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 -0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 -0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 -1.28 -0.98

-1.84 -0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 -0.07 1.14 1.99 -0.52 4.42 -0.34

1.43 -0.90 1.96 -1.30 -0.26 1.04 3.47 3.58

-0.95 1.68 -0.60 4.30 -0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

-0.67 0.06 -0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 -0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

1.10 0.03 1.67 3.50 -1.51 3.16 0.18 -1.62

0.81 3.05 3.31 3.25 4.32 0.02 -2.65 0.79

0.07 1.51 1.30 2.49 -1.45 2.18 -0.03 3.27

1.21 -1.62 2.49 0.72 3.60 0.83 -0.67 2.11

3.15 1.83 3.02 0.27 0.61 6.20 -1.20 0.76

-1.34 0.68 -0.22 1.73 0.67 1.17 0.69 0.51

2.01 3.43 0.05 0.25 1.35 2.10 -0.29 -0.35

-0.22 2.33 1.67 2.72 3.85 0.15 1.16 2.09

2.14 1.93 -1.11 2.30 -1.10 1.21 2.00 -0.48

0.34 0.25 2.35 1.31 0.11 3.29 3.36 2.78

1.91 4.10 2.28 0.89 3.27 3.25 3.06 0.25

3.25 -0.28 0.80 0.17 0.69 2.63 2.36 3.52

Максимальное значение: 6.20

Минимальное значение: -2.65

Последовательность модуля CB с нормальным

законом распределения

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 1.28 0.98

1.84 0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 0.07 1.14 1.99 0.52 4.42 0.34

1.43 0.90 1.96 1.30 0.26 1.04 3.47 3.58

0.95 1.68 0.60 4.30 0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

0.67 0.06 0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13

Максимальное значение: 5.84

Минимальное значение: 0.02

Числовые характеристики:

Среднестатистическое значение xl=1.664

Статистическая дисперсия Dxs=1.291

СреднестатистическоеотклонениеGxs=1.136

СкошенностьSks=1.193

Островершинность Exs= 0.449

Задание №3: Проверка критерием Х²: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Гистограмма и сглаживающая функция

r=k-3=6-3=3,

Вывод: Нет оснований принять гипотезу о распределении модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону, так как

Список используемой литературы

1. «Теория вероятностей» В.С. Вентцель

2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л.А. Овчаров

3. «Справочник по вероятностным расчётам»

4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В.Е. Гмурман

5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В.Е. Гмурман