Что такое стохастический резонанс?

И.П.Иванов

Стохастический резонанс - что значит это словосочетание? "Стохастический" - это относящийся к области хаоса, к беспорядочному поведению, к процессу, динамика которого случайна и непредсказуема. Известным примером такого процесса является броуновское движение. Слово "резонанс" в самом общем смысле означает сильный отклик какой-либо системы на небольшое внешнее воздействие (знаменитый пример из военной истории: разрушение моста из-за того, что по нему в ногу прошла рота солдат). Важно то, что такой сильный отклик - избирателен, то есть он возникает только при определенных параметрах внешнего воздействия. Например, при вынужденном колебании маятника резонанс возникает, если частота внешнего воздействия сравнивается с собственной частотой колебаний системы.

Вместе же эти два слова означают очень интересное и, на первый взгляд, противоречащее здравому смыслу явление, которое имеет место во многих совершенно различных системах и даже, как оказывается, уже давно используется Природой. Удивительно еще и то, что хотя это явление достаточно простое (для его понимания хватит школьного курса механики), оно было открыто и осознано совсем недавно, в 80-х годах.

Суть явления стохастического резонанса заключается в том, что добавление в систему шума, т.е. хаотического движения, не уменьшает, а наоборот усиливает отклик системы на слабенькое периодическое воздействие. Другими словами, шум не подавляет сигнал, а помогает ему проявиться! И что интересно - наиболее сильный эффект возникает при некоторой вполне определенной, оптимальной интенсивности шума.

Как такое может быть? Попытаемся объяснить это как можно более подробно.

Бистабильная система под действием внешней силы.

Давайте рассмотрим сначала какую-либо бистабильную систему. Слова "бистабильная система" говорят сами за себя - это система с двумя положениями устойчивого равновесия. Простой механический пример - это движение материальной точки в потенциале с двумя минимумами (см. рис.1а). Если на частицу действует еще и сила трения, то ясно, что какие бы мы ни выбрали начальные условия, колебания, в конце концов, затухнут, частица "свалится" в одну из потенциальных ям и будет находиться там неограниченно долго.

Для того, чтобы частица все-таки попала в другую потенциальную яму, надо приложить внешнюю силу. Если эта сила достаточно велика, то она "вытащит" частицу из первой ямы и перекинет ее во вторую. Легко понять, насколько велика должна быть эта сила. На языке потенциала (в данном тексте потенциал используется как синоним потенциальной энергии) "приложить внешнюю силу" означает добавить линейно растущий потенциал, как это показано на рис.1б. Если V(x) - бистабильный потенциал, то внешняя сила должна превосходить величину F₀ = |V''(x)|, взятой в точке перегиба, т.е. там, где возвращающая сила, создаваемая потенциалом, самая большая. Тогда суммарный потенциал модифицируется так, как показано на рисунке, и частица скатится во вторую яму.

Если теперь внешняя сила будет периодична по времени, то в результате наша частица будет "скакать" из одной ямы в другую и обратно. Итак, что мы получили: наша бистабильная система откликается на сильное внешнее воздействие. При этом частота, с которой система перескакивает из одного устойчивого состояния в другое, совпадает с частотой внешнего воздействия.

Пока здесь нет ничего удивительного. Если внешнее воздействие очень сильное, то система будет послушно повторять все изменения и колебания этой силы.

Посмотрим, что будет, если внешнее воздействие окажется не столь сильным, т.е. F < F₀. Тогда частица не сможет покинуть яму и так и останется в ней, несмотря на внешнее воздействие. В результате мы получили, что наша система обладает неким порогом чувствительности: при внешней силе F > F₀ система начинает перескакивать из одного состояния в другое с частотой внешней силы, а при F < F₀ система не чувствует внешнее воздействие вовсе. (В принципе можно возразить, что в этом случае частица будет колебаться под действием внешней силы внутри одной ямы. Однако чаще всего, наблюдая реальную бистабильную систему, мы можем сказать только одно - в каком из двух состояний она находится. В этом случае, при F < F₀ мы будем просто видеть, что система "застыла" в одном из своих положений и все. Именно такой случай мы имеем в виду.)

Итак, вывод: у бистабильной системы существует некий порог чувствительности к внешним воздействиям. Слишком слабые, т.е. подпороговые воздействия остаются для системы незамеченными.

Возникает вопрос: неужели никак нельзя заставить систему чувствовать подпороговый сигнал? Оказывается, можно! И возможность эту предоставляет именно стохастический резонанс.

Отступление: немного о случайных функциях.

Поскольку сейчас речь пойдет о случайной (хаотической) внешней силе, полезно предварительно обсудить этот термин детально.

Итак, что такое случайная величина, а точнее, применительно к нашей задаче - хаотично меняющаяся во времени функция? К примеру, являются ли функции, изображенные на рис.2а, случайными? Что является настоящим шумом, а что - смесью периодического сигнала с шумом? Математика, а точнее, ее ветвь под условным названием "Теория сигнала", предоставляет четкие ответы на эти вопросы. Здесь мы опишем лишь один из подходов, а именно, как с помощью преобразования Фурье отделить периодический сигнал от шума.

Пусть у нас есть функция y(t), которая как-то колеблется относительно нуля. Примеры таких функций как раз и представлены на рис.2а. Поскольку y(t) колеблется около нуля, то ее среднее значение

T

< y(t)> = тy(t)dt ~ 0.

0

Здесь T - полное время наблюдения сигнала; мы будем считать, что T гораздо больше, чем характерные периоды колебаний. Символ "~ 0" означает "много меньше произведения амплитуды на T". В дальнейшем, величины, взятые в такие угловые скобки, будут означать усреднение по времени в виде представленного здесь интеграла.

Давайте теперь усредним y(t), домноженную на cos(wt) с некоторой частотой w. Для разных w мы будем при интегрировании получать разные значения. Другими словами, мы получим некую функцию, зависящую от w:

f(w) = <y(t)cos(wt)>.

Эта функция называется фурье-образом исходного сигнала y(t), а переход от переменной t к переменной w и есть преобразование Фурье.

Глядя на фурье-образ функции, можно определить, присутствует ли в сигнале какая-либо периодическая составляющая, или же это чистый шум. Действительно, пусть наш сигнал - это чистый косинус с частотой w₀: y(t) = acos(w₀t).

Тогда, при вычислении мы получим f(w) ~ 0 для любых w, не равных w₀, и большую величину aT/2 при w=w₀. Фурье-образ f(w) в этом случае будет выглядеть, как показано на рис.2 в верхнем ряду.

Если же наш сигнал есть чистый шум, то интеграл будет давать некую, приблизительно постоянную величину для любых значений w. Это и есть признак того, что перед нами так называемый "белый шум", т.е. шум, в котором равноправно присутствуют все частоты (рис.2, средний ряд). (На самом деле, надо, конечно, работать аккуратнее, а именно, усреднять и с косинусом, и с синусом, и выделять амплитуду и фазу фурье-образа, но для наших целей это непринципиально.)

Если же теперь смешать шум с периодическим сигналом, то фурье-образ будет выглядеть, как в нижнем ряду рис.2. Мы увидим, что над ровным фурье-образом белого шума будет возвышаться некая "горка". Ее положение и высота позволят определить частоту и амплитуду периодической компоненты сигнала, спрятанной в шуме. Важно еще и то, что благодаря фурье-преобразованию можно детектировать периодический сигнал, даже если его амплитуда гораздо меньше амплитуды шума.

Бистабильная система под действием случайной силы.

Итак, рассмотрим вновь нашу бистабильную систему в отсутствии внешних сил. Система замерла в одном из положений равновесия. Пусть теперь на частицу действует случайная сила, то есть давайте наложим на систему случайное внешнее воздействие, попросту говоря, шум. Под действием этой силы частица будет случайно колебаться. При этом может оказаться и так, что частица, блуждая по одной потенциальной яме, вдруг перескочит и во вторую. Среднее время между такими перескоками равно:

t = exp(DV / D).

Здесь DV - высота барьера, разделяющего две потенциальные ямы, а D - интенсивность шума. Видно, что чем сильнее шум, тем меньше это время, т.е. тем чаще частица перескакивает из одной ямы в другую. Если изобразить зависимость координаты частицы от времени, то получится приблизительно такая картина, как на рис.3.

Суть и свойства стохастического резонанса.

Теперь - заключительный аккорд. Что произойдет, если к внешнему шуму добавить и слабенький, подпороговый периодический сигнал? Заметьте, подпороговый, т.е. который сам по себе, без шума, не смог бы вызвать переход системы из одного состояния в другое!

В этом случае частица будет по-прежнему скакать из одной ямы в другую, но характер этого процесса изменится: в нем появится периодическая компонента с периодом, равным периоду внешнего слабого сигнала. То есть, перескоки осуществляются за счет случайной силы, а периодическая добавка лишь "модулирует" эффект (т.е. добавляет свою собственную периодичность). Именно так это подпороговое возмущение и проявляется: шум как бы устраняет непреодолимый ранее потенциальный барьер и заставляет систему откликаться на подпороговый сигнал. Это и есть явление стохастического резонанса.

Самая интересная особенность стохастического резонанса - это то, что существует некая оптимальная интенсивность шума, при которой отклик системы на периодический сигнал самый сильный. Как определить, насколько велик этот отклик, мы уже знаем. Для этого надо построить зависимость координаты частицы от времени и с помощью преобразования Фурье выделить периодическую составляющую сигнала. Тогда амплитуда дополнительного "горба" фурье-образа (рис.2) будет служить количественной характеристикой чувствительности системы. Действительно, чем выше горб, тем сильнее проявляется внешний периодический сигнал в движении частицы.

Проиллюстрировать эту особенность стохастического резонанса поможет рис.4. На нем показана зависимость координаты частицы от времени при одном и том же слабом периодическом сигнале, но при разных интенсивностях шума. Значения координаты +1 и -1 соответствуют дну первой и второй потенциальной ямы. Видно, что когда интенсивность шума мала, частица долго находится в одной потенциальной яме, прежде чем перепрыгнуть в другую (рис. 4, нижний график). Внешний периодический сигнал здесь никак не проявляется. Когда мы увеличиваем интенсивность шума до оптимальной, частица под суммарным воздействием шума и периодической силы будет синхронно прыгать из одной ямы в другую (рис.4, средний график). Явно видна периодическая составляющая отклика системы, период которой совпадает с периодом внешней силы. Наконец, при дальнейшем усилении шума движение частицы станет все более и более хаотичным; периодическая компонента в отклике будет уменьшаться (рис.4, верхний график). Типичная зависимость отклика системы от интенсивности внешнего шума показана на рис.5. Ясно видно, что при некоторой интенсивности отклик максимален.

Осталось теперь понять, почему вообще существует оптимальная интенсивность шума и чему она должна равняться. Как мы видели выше, заданной интенсивности шума отвечает вполне конкретное среднее время перескока t из одной ямы в другую. Так вот, условие на оптимальную интенсивность шума таково: надо, чтобы вызываемое этим шумом время перескока равнялось половине периода слабого периодического возмущения:

t = T/2.

Как можно понять это требование? Можно условно сказать, что, подождав время t, частица "созрела" для того, чтобы прыгнуть во вторую яму. С другой стороны, мы знаем, что когда мы прикладываем внешнюю силу, мы слегка "наклоняем" потенциал так, как это показано на рис.6. То есть, мы помогаем частице перепрыгнуть в другую яму, и потому вероятность прыжка в момент наибольшей внешней силы очень велика. Через полпериода T/2, когда частица уже "созрела" для перескока обратно в первую яму, потенциал уже наклонился в другую сторону, опять же способствуя перескоку. Поэтому именно в этот момент частица наиболее охотно совершает прыжок.

Итак, благодаря тому, что "созревание" и период внешней силы синхронизированы, возникает наиболее сильный отклик системы на внешнее периодическое возмущение. Если эти два процесса не синхронизированы, чувствительность к слабой периодической силе уменьшается. Перед нами - типичный пример избирательного воздействия, т.е. резонанса.

Приложения: ледниковые периоды на земле.

Исторически, проблема, связанная с периодичностью наступления ледниковых периодов, была первой задачей, для разрешения которой было привлечено явление стохастического резонанса. Поскольку она представляет собой очень интересный пример того, как упрощенная механическая модель применяется в очень далекой от механики области, мы остановимся на ней подробнее.

Суть проблемы заключается в следующем. Из геологических данных известно, что ледниковые периоды на Земле наступают приблизительно каждые 40 тыс. лет. Это происходит из-за того, что угол наклона оси собственного вращения Земли к плоскости эклиптики (равный в настоящее время 23,5°) колеблется от 0° до 90° с периодом 41000 лет (рис.7а). В этих двух крайних положениях Солнце облучает полярные области по-разному, что приводит к образованию или к исчезновению значительных континентальных оледенений в полярных областях.

Однако это еще не вся правда. Как показал статистический анализ, в последовательности оледенений явно видна и дополнительная периодичность с характерным периодом ~ 100 тыс. лет. Наблюдение очень интригующее, поскольку единственный известный процесс в динамике Земли с таким временным масштабом - это колебание эксцентриситета земной орбиты, вызванное гравитационным возмущением других планет (рис.7б). Эксцентриситет - это числовой параметр, характеризующий вытянутость эллипса; он равен отношению расстоянию между двумя фокусами эллипса, деленному на его большую ось. С точки зрения глобального климата, эксцентриситет показывает, насколько зима (усредненная по всей планете) холоднее лета.

Так вот, проблема заключается в том, что эти колебания эксцентриситета очень малы (в настоящее время эксцентриситет равен 0,0167). Возникающие при этом колебания потока солнечной энергии, попадающей на Землю за год, и того меньше, ~ 0,1%. Неужели такие слабые колебания могут приводить к ощутимым изменениям климата?

Именно для объяснения этого и была впервые привлечена модель стохастического резонанса. Роль бистабильной системы здесь играет Земля. Два ее устойчивых положения равновесия - это Земля, покрытая континентальным льдом, и Земля, свободная от него. Действительно, Земля, покрытая льдом, будет отражать значительный процент солнечного света, что приведет к уменьшению глобальной температуры, а значит, будет предохранять ледники от таяния. Если все-таки что-то заставит их растаять, то Земля станет поглощать гораздо больший процент солнечного света, ее температура повысится, и это будет препятствовать случайному образованию новых ледников.

Внешний подпороговый сигнал - это колебания мощности попадающего на Землю излучения, вызванные изменением эксцентриситета. То, что это подпороговый сигнал, значит, что сами по себе эти колебания не способны изменить глобальный климат на Земле. Наконец, шум в данном случае - это любые сильные кратковременные воздействия, например, сезонные колебания температуры.

Построив эту модель и просчитав ее, ученые, в самом деле, обнаружили, что из-за стохастического резонанса такой сигнал может привести к наблюдаемым эффектам.

Приложения: от оптических систем до нейронных сетей.

Стохастический резонанс наблюдался и в лаборатории, причем в самых разнообразных системах. Кроме того, оказывается, что принцип стохастического резонанса используется и в функционировании живых организмов. Здесь упомянем только два примера - стохастический резонанс применительно к оптическим системам и к возникновению нервных импульсов.

Примером оптической системы, в которой наблюдался стохастический резонанс, служит так называемый кольцевой лазер (рис.8), в котором лазерный свет накачивается в резонаторе с тремя или более зеркалами. В этой системе существует два стабильных режима накачки лазерного света, когда свет движется по или против часовой стрелки. Экспериментаторы модулировали параметры накачки в этих двух режимах и наблюдали стохастический резонанс в выходящем лазерном свете. Это был один из первых экспериментов (1988 год), когда стохастический резонанс наблюдался в лаборатории.

В начале 90-х годов было осознано, что стохастический резонанс может играть ключевую роль в нейрофизиологических процессах, а именно, в функционировании нейронных сетей, в передаче импульсов от одной группы нейронов другой.

Например, в экспериментах 1991-1993 годов было выяснено, что возникновение нервного импульса в механорецепторных клетках речного рака как раз основано на явлении стохастического резонанса. Благодаря этому, рак может усиками улавливать слабое синхронное колебание воды вокруг себя, несмотря на присутствие разного рода "шумов", и таким образом заранее узнавать о приближении опасности.

После этих классических экспериментов хлынул целый поток работ, посвященных роли стохастического резонанса в возникновении и распространении нервных импульсов. Сейчас это уже широко принятая парадигма в биологических и нейрофизиологических науках.

Открытые вопросы в физике стохастического резонанса.

Квантовый стохастический резонанс. Совсем недавно, во второй половине 90-х годов, возник вопрос о возможности существования стохастического резонанса на квантовом уровне. Ожидается, что квантовое "дрожание частиц", которое существует всегда, даже при абсолютном нуле температуры, и которое играет здесь роль шума, будет способствовать детектированию квантового сигнала, распространению информации и т.д.

Стохастический резонанс в иных системах. До этого речь шла исключительно о бистабильных системах. Однако недавно было осознано, что это явление - совершенно общего плана, и оно может возникать и в системах, отличных от бистабильных. Главное требование - это наличие какого-либо порога. Примером такой системы может служить потенциал, изображенный на рис.9. В этом случае перескоки происходят не между двумя устойчивыми положениями равновесия, а между "основным" и "возбужденным" состояниями системы.

Совсем недавно было описано явление, названное "двойным стохастическим резонансом". Здесь на свободную частицу действуют сразу два типа шумов: первый создает нечто наподобие бистабильного потенциала, а второй заставляет частицу в этом псевдопотенциале скакать. Явление очень интересное, поскольку оно служит прекрасной иллюстрацией того, что шум может не только разрушать тонкие, скоррелированные процессы, но и наоборот - давать им жизнь.

Список литературы

[1] Rev.Mod.Phys. 70 (1998) 223 - солидный обзор по стохастическому резонансу

[2] http://hpcweb.nosc.mil/sr/parallelSR.html - некоторые вопросы стохастического резонанса.