Пропускная способность канала

Казанский Государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Кафедра Радиоуправления

Пояснительная записка к курсовой

работе по курсу

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ

на тему

Пропускная способность канала.

Выполнил студент гр.5313

Алмазов А.И.

Руководитель: _____________

Оценка _____________

Комиссия ________ ( _______ )

________ ( _________ )

________ ( _________ )

Казань 2002

Оглавление.

1. Задание…………………………………………………………………..3стр.

2. Введение…………………………………………...……………………4стр.

3. Теоретическая часть…………...……………………………………….5стр.

4. Практическая часть………………………………..…………………..11стр.

5. Заключение………………………………………………..…………...14стр.

6. Литература…………………………………………….……………… 15стр.

Задание.
В канале действует аддетивный белый гаусовский шум. Отношение сигнал/шум (P_c/P_ш) меняется с 25 до 15 дБ, с шагом 1дБ. F=1,5 кГц; V_к=8*10³ сим/с.

Рассчитать:

1) Изменение пропускной способности канала.

2) Изменение избыточности κ двоичного кода, необходимой для сведения ошибки декодирования к сколь угодно малой величине.

Построить графики зависимостей с=f(P_c/P_ш) и κ= f(P_c/P_ш).

Введение.

Поставленная задача интересна тем, что мы сможем проследить изменение пропускной способности канала с изменением отношения сигнал/шум . Можно определить пропускную способность С канала в расчете на один символ

С_символ=maxI(A,B),бит/символ
или в расчете на единицу времени (например, на секунду):

С=maxI’(A,B)=u С_символ , биит/с.

В данном случае мы будем рассчитывать относительно времени. Для этого мы воспользуемся формулой определяющей пропускную способность канала в расчете на единицу времени.

С=F_klog₂(1+Pc/Pш),

А для того чтобы определить избыточность передаваемой информации воспользуемся теоремой Шеннона. При условии если теорема Шеннона будет выполняться, то избыточность κ будет равняться 0, значит информация передаётся без потерь. Если нет, то κ будет больше нуля (κ>0). Т.е. чем меньше величина κ, тем меньше будет вероятность ошибки декодирования.

Теоретическая часть.

Пропускная способность канала связи.

В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:

I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А). (1)

Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами

Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.

Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации.

Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени u символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации

I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (2)

где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.

Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:

бит/символ,

где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).

Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:

бит/с, (3)

где v - количество символов, переданное в секунду.

В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода - p.

Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: С_сим=max(H(B)-H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:

.

Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения вероятности в ансамбле А, а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.

Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:

. (4)

Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:

. (5)

Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени

С=u[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (6)

Зависимость С/u от р согласно (6) показана на рис.3

рис.3 Зависимость пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала.

Пропускная способность непрерывного канала связи.

Вычисляется аналогично пропускной способности дискретного канала. Непрерывный сигнал дискретизируется во времени с помощью отсчетов согласно теореме Котельникова и информация, проходящая по каналу за время Т, равна сумме количества информации, переданной за один отсчет. Поэтому общая ПС канала равна сумме ПС на один такой отсчет:

, (7)

где U - переданный сигнал; Z - сигнал на выходе канала с наложенными на него шумами; N - шум; Z=U+N.

Пусть U и N - случайные величины с плотностью распределения вероятности w, распределенной по нормальному (гауссовскому) закону. Для таких сигнала и шума (см. вывод в [1, с. 114, 117-118]:

.

Отсюда следует:

.

ПС в расчете на секунду будет равна:

, (8)

поскольку при дискретизации сигнала по теореме Котельникова за одну секунду мы получим 2F отсчетов, где F - верхняя частота спектра сигнала.

Подчеркнем, что формула (8) имеет такой вид только при условии, что плотности распределения вероятностей w(U) и w(N) подчиняются нормальному закону.

Формула (8) имеет важное значение, т.к. указывает на зависимость ПС канала от его технических характеристик - ширины полосы пропускания и отношения мощности сигнала к мощности шума.

Чтобы выяснить как зависит пропускная способность от ширины полосы пропускания выразим мощность шума в канале через его одностороннюю спектральную мощность N₀. Имеем Р_ш=N₀F; поэтому

С=F*log(1+ Pc/N₀*F )=F*loge*ln(1+Pc/N₀*F) (9)

При увеличении F пропускная способность С, бит/с, сначала быстро возрастает, а затем асимптотически стремится к пределу:

C_∞=Lim(Pc/N₀)*loge (10)

Результат (10) получается очень просто, если учесть, что при |e|<<1 ln(1+e)»e. Зависимость С и F показана на рис.4.

F N₀/Pc

рис.4 Зависимость нормированной пропускной способности гауссовского канала от его полосы пропускания.

Теорема кодирования для канала с помехами.

Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:

Теорема. Если производительность источника сообщений H’(A) меньше пропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A^*) могут быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования и декодирования не существует.

Модель:

Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.

Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.

Н’(А)< Н’(В)

Н’(В)=V_kH

Декодер выдаёт на код каналов V_k символов в секунду. Если в канале потерь нет, то V_k=с.

При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.

Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H’(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу

Практическая часть.

Пропускная способность гауссовского канала определяется [1, стр.118]:

.

Отношение сигнал/шум падает по условию задания с 25 до 15 дБ. Поэтому С также будет уменьшаться. Необходимо уменьшать С/Ш с 25 до 15 дБ с шагом 1 дБ и вычислить по формуле 11 значений С. При этом надо учесть, что в формуле отношение С/Ш - P_c/P_ш - дано в разах, поэтому данные в дБ необходимо пересчитать в разы: ; отсюда .

С помощью программы MathCAD получили результаты подсчётов:

С₁=1,246*10⁴ бит/с

С₂=1,197*10⁴ бит/с

С₃=1,147*10⁴ бит/с

С₄=1,098*10⁴ бит/с

С₅=1,048*10⁴ бит/с

С₆=9,987*10³ бит/с

С₇=9,495*10³ бит/с

С₈=9,003*10³ бит/с

С₉=8,514*10³ бит/с

С₁₀=8,026*10³ бит/с

С₁₁=7,542*10³ бит/с

Производительность кодера H’(B)=v_к*H(B) должна быть меньше пропускной способности канала С, иначе неизбежны потери информации в канале. Максимальное значение энтропии двоичного кодера H_max=H(B)=log2=1 бит. Если С уменьшается, то для избежания потерь информации можно уменьшать H(B) так, чтобы H’(B) оставалась все время меньше С. Если же H(B)<1, это означает, что кодовые символы не равновероятны и зависимы друг от друга, т.е. используется избыточный (помехоустойчивый) код. Избыточность этого кода вычисляется по формуле:

. (11)

Итак, пропускная способность канала С определяет предельное значение производительности кодера H’(B): H’(B)<C. Отсюда находим предельное значение энтропии кодера:

По условию V_k=8*10³ сим/с

В численном виде это выглядит так:

С/V_k1=1,558 бит/сим

С/V_k 2=1,496 бит/сим

С/V_k 3=1,434 бит/сим

С/V_k 4=1,372 бит/сим

С/V_k 5=1,31 бит/сим

С/V_k 6=1,248 бит/сим

С/V_k 7=1,187 бит/сим

С/V_k 8=1,125 бит/сим

С/V_k 9=1,064 бит/сим

С/V_k 10=1,003 бит/сим

В этих случаях энтропию Н(В) можно брать любой, вплоть до максимальной (H_max=1 бит/сим).

С/V_k 11=0,943 бит/сим

Т.к. в 11-ом случае условие H’(B)<C не выполняется, то теорема Шеннона так же не выполняется. Для того чтобы избежать потерь информации, вводим избыточные символы.

Следующим шагом будет вычисление избыточности κ кода, по формуле (11):

κ=0,057

Чтобы было более наглядно, построим графики зависимостей с=f(P_c/P_ш) и κ= f(P_c/P_ш).

График зависимости с=f(P_c/P_ш) :

График зависимости κ= f(P_c/P_ш).

Заключение.

В результате проведённой работы, мы можем сделать вывод, что с уменьшением отношения сигнал/шум пропускная способность канала также уменьшается, что приводит к потери информации. Для того чтобы избежать возникновение ошибок, мы вводили избыточные символы. Избыточность этого кода κ=0,057.

Сделаем вывод, что в результате проведенного расчета поставленная задача была полностью решена.

Литература.

1. Зюко А.Г., Кловский Д.Д. и др. Теория передачи сигналов. -М.: Радио и Связь, 1986.

2. Кловский Д.Д., Шилкин В.А. Теория электрической связи. -М.: Радио и связь, 1990.

3. Методическое пособие по курсовой работе ТЭС.