Вычисление вероятности

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

= 0,278

– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.

,

где – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события - независимые совместные события.

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н₁, Н₂, Н₃.

– деталь изготовлена на первом станке;

– деталь изготовлена на втором станке;

– деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Н_i образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

– полная вероятность.

=; =;

=; =;

=0,45; =;

Тогда

. = 0,015.

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем – наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства:

;

– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию.

;

Так как – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение.

Таблица 1.

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание

= 4,25

Дисперсию определим по формуле: .

= 24,55.

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины.

.

Построим график этой функции

6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности

Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;]

Решение.

Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .

Вычислим определенный интеграл:

.

Следовательно, , .

Математическое ожидание найдем по формуле:

.

Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то

= =

= = .

Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.

Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке

[0, ], то .

=.

Найдем .

Воспользуемся формулой =.

=

Найдем функцию распределения СВ Х.

При

.

При

.

При

.

7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .

Решение.

Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала .

Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:

;

;

Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .

На интервале одна обратная функция , следовательно

На интервале две обратных функции и , следовательно .

Найдем производные обратных функций

; .

Учитывая, что , получим

; .

В результате получим:

.

Таким образом, плотность вероятности величины равна:

8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .

Решение.

Построим область

Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции

Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим

= .

Следовательно, . Значит,

Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле

Корреляционный момент вычислим по формуле

.

.

.

.

Определим корреляционный момент

Ответ:

9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины

1. Получить вариационный ряд;

2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;

3. Построить гистограмму равновероятностным способом;

4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;

5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ()

Решение.

Найдем размах вариации . 0,03; 4,70;

4,70–0,03 = 4,67.

Вариационный ряд распределения имеет вид:

Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле

.

Полученные значения запишем в таблицу

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

Построим гистограмму равновероятностным способом.

Равновероятностная гистограмма имеет вид:

Оценку математического ожидания вычислим по формуле

1,00.

Оценку дисперсии вычислим по формуле:

, 0,82,

Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:

В нашем случае

1,00, 0,82, , , .

;

Доверительный интервал для математического ожидания .

Доверительный интервал для дисперсии

, =1,96 ().

По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:

H₀ :

H1 :

Определим оценку неизвестного параметра

Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов

Теоретические частоты найдем по формуле

Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F₀(x) показательного закона равна

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.

; .

То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .

Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины

1. Вычислить оценку коэффициента корреляции;

2. Вычислить параметры линии регрессии и ;

3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;

Решение

Найдем числовые характеристики величин и .

0,88; 0,10.

1,59; .

1,76; .

Корреляционный момент равен:

–0,23

Найдем уравнения регрессии

где ;

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Коэффициент корреляции равен:

.

Найдем интервальную оценку.

.

,

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .

Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. .

Так как – нулевую гипотезу принимаем.