Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Преобразование Лапласа

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
331
Размер файла
266 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Преобразование Лапласа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра 21

Реферат на тему:

«Преобразование Лапласа»

Выполнила

студентка гр.0850

Киселева Ю.В.

Проверил:

доцент

Данейкин Ю.В.

Томск, 2008г.


Введение

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.


1. Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной , называется функция комплексной переменной , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

2. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция действительного переменного, такая что:

где — некоторое вещественное число. Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

3. Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения x < 0

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

4. Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают -преобразование и -преобразование.

· -преобразование

Пусть

решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

· -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим Z-преобразование:

5. Свойства и теоремы

· Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ0, то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и F(s) — аналитическая функция при ( — действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σa множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

· Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл

2. Случай σ > σa: преобразование Лапласа существует, если интеграл


существует для каждого конечного

x1 > 0 и для

3. Случай σ > 0 или σ > σa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для σ > σa.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s) — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём

для

2. Пусть

,

так что

аналитична относительно каждого zk и равна нулю для

, и

тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

· Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

· Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

· Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

В более общем случае (производная n-го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.


· Дифференцирование и интегрирование изображения. Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

· Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

Примечание: u(x) — Функция Хэвисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

Все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

· Другие свойства

Линейность

Умножение на число

6. Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.


ФункцияВременная область
Частотная областьОбласть сходимости для причинных систем
1идеальное запаздывание
единичный импульс
2запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом
степенная n-го порядка
2а.1степенная q-го порядка
2а.2единичная функция
2bединичная функция с запаздыванием
2c«ступенька скорости»
2dn-го порядка с частотным сдвигом
2d.1экспоненциальное затухание
3экспоненциальное приближение
4синус
5косинус
6гиперболический синус
7гиперболический косинус
8экспоненциально затухающий синус
9экспоненциально затухающий косинус
10корень n-го порядка
11натуральный логарифм
12функция Бесселя первого рода порядка n
13модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n
14функция Бесселя второго рода нулевого порядка
15модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка
16функция ошибок

Примечания к таблице:

· — функция Хэвисайда.

· — дельта-функция.

· — гамма-функция.

· — постоянная Эйлера — Маскерони.

· , — вещественная переменная.

· — комплексная переменная.

· , , и — вещественные числа.

· — целое число.

Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция h(t) равна нулю для любого момента времени .

7. Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

· Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

· Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

· Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

· Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

· Решение нестационарных задач математической физики.

8. Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = iω:

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель

который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектрсигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим θ = e − x, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где — период дискретизации, а — частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

9. Преобразование Лапласа по энергии

Запишем уравнение

для моноэнергетического источника S(E)=d(E-E0) с интегральным членом в форме:

и, не пренебрегая для простоты зависимостью сечений Σ(E) и

от E, перейдем от E к новой переменной

D=:

Ф(D)=Ф(E)(1)

Решение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Лапласа по энергии:

(2)

(3)

Его можно рассматривать как разложение дифференциальной плотности потока по системе биортогональной функции и .

Подействуем на все члены уравнения (1) оператором

В соответствии с (3) первый член преобразования к виде

Во втором члене необходимо изменить порядок интегрирования и в интеграле по D сделать замену переменных

Тогда он приведется к виду

,

где (4)

-трансформанта Лапласа от дифференциального сечения рассеяния.

Правая часть уравнения (1) легко преобразуется, после чего получаем

Откуда

. (5)

Подставляя (5) в (2), находим интересующую нас функцию Ф(D):

Если сечение

быстро убывает с ростом Q экспоненту в (4) можно разложить в ряд.


Тогда

где -середина потери энергии на единице длины пути. Подставим это разложение в (6) и сделаем замену переменных

Тогда (6) перейдет в:

Вычисляя, интеграл с помощью вычетов и возвращаясь от переменной к переменной E, получаем:

(7)

Экспонента в формуле (7) есть вероятность того, что частица избежит поглощения на пути, где энергия меняется от Е0 до Е. Если сечение поглощения равно нулю, то

(8)

Формула (8) имеет простой физический смысл. По определению Ф(E)=dE есть средний путь, пройденный частицей за время, пока ее энергия меняется от E+dE до E.

В приближении непрерывного замедления dE/dl=b, откуда dl/dE=1/b, что совпадает с (8).

10. Преобразование Лапласа по координатам

Запишем кинетическое уравнение в приближении «прямо-вперед» (т.е. без учета отклонения частиц при рассеянии), для частиц, испускаемых моноэнергетическим источником, который находится в начале координат:

(208)

(209)

Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси Оz, в области z<0 плотность потока равна 0 и область изменения z в уравнении (208) следует считать полубесконечный интервал (0,¥). Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (208) преобразование Лапласа по координатам:

(210)

где трансформанта Лапласа Ф(l,E) выражается через плотность потока следующим образом:

(211)

Умножим обе части уравнения (208) на и проинтегрируем по z от 0 до ¥. Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (209) и, использовав обозначение (211), получим:

После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:

(212)

которое в отличие от (208) не содержит производных и является интегральным уравнением типа уравнения деградации энергии. Введя обозначение

(213)

Перепишем уравнение (312) в виде

(214)

При действительных уравнение (214) по форме совпадает с уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением столкновений и дифференциальным сечением рассеяния


Из (213) видно, что по мере уменьшения lобращается в нуль, а потом становится отрицательной. Отсюда следует, что решение уравнения (214) существует лишь в области

Если выполняется условие

то для трансформанты рассеянной компоненты плотности потока получим

(215)

Если и C не зависят от энергии, формула (215) упрощается:

(216)

Перейдем к восстановлению энергетического спектра рассеянных частиц:

(217)

гдеRel=C>-


Введем обозначения

Тогда формула (217) примет вид:

(218)

Функция , представляющая собой обратное преобразование Лапласа функции s-2exp(a/s),равна

'

где I1- модифицированная функция Бесселя первого порядка. Таким образом

(219)

В частности, при малых значениях аргумента I1(x), поэтому

(220)

При больших значениях аргумента , следовательно,


(221)

Из (219)-(221) видно, что с увеличением z отношение рассеянного излучения к нерассеянному возрастет сначала линейно (когда главную роль играет однократное рассеяние), затем более сложным образом, причем низкоэнергетическая часть спектра, обусловленная многократным рассеянием, растет быстрее высокоэнергетической.


Список литературы

1. А.М. Кольчужкин, В.В. Учайкин «Введение в теорию прохождения частиц через вещество». М., Атомиздат,1978, 256с.

2. В.Н.Русак «Математическая физика», Минск, 1998

3. Деч Густав «Руководство к практическому применению Лапласа и Z-преобразования».М.:Наука,1971

4. Л.Г. Смышляева «Преобразования Лапласа функций многих переменных» Изд-во ЛГУ, 1981


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
138293
рейтинг
icon
3048
работ сдано
icon
1327
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
137726
рейтинг
icon
5836
работ сдано
icon
2641
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
92268
рейтинг
icon
2003
работ сдано
icon
1260
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
51 725 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
ДВГУПС
Отличный исполнитель!!! Рекомендую!!! Работа без замечаний!!! Преподаватель принял к защит...
star star star star star
кбк
Прекрасный человек, с которым приятно иметь дело. Все мои уточнения он выполнил и сделал н...
star star star star star
ИГУ
Оперативно, чётко, понятно. Огромное спасибо. Замечание было исправлено в течение 10-15 ми...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Пути повышения экономической эффективности производства и...

Курсовая, Экономика организации

Срок сдачи к 17 мая

только что

Анализ рекламной деятельности организации

Курсовая, Теория и практика рекламы, реклама

Срок сдачи к 25 апр.

4 минуты назад

Отчеты по психодиагностическим методикам

Лабораторная, психология

Срок сдачи к 25 апр.

6 минут назад
7 минут назад

Помочь исправить ошибки

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 25 апр.

9 минут назад
9 минут назад

теоретические вопросы + задачи

Контрольная, экономика предприятий

Срок сдачи к 5 мая

9 минут назад

программа AusEvol

Курсовая, Физическое и математическое моделирование процессов

Срок сдачи к 30 апр.

10 минут назад

Разработка игрового приложения для Android платформы (Создать игру для Андройд)

Другое, КНИР, информатика, программирование

Срок сдачи к 4 мая

12 минут назад

Расчет плоских и пространственных конструкций

Курсовая, теоретическая механика

Срок сдачи к 22 мая

12 минут назад

Тест по аналитической систематике

Тест дистанционно, Аналитическая систематика, аналитика, экономическая безопасность

Срок сдачи к 26 апр.

12 минут назад

Все требования и критерии оценивания эссе приложил в...

Эссе, Право и туризм

Срок сдачи к 29 апр.

12 минут назад

Решить задачи, начиная с 7 (исключая 8)

Решение задач, Физика

Срок сдачи к 26 апр.

12 минут назад

решение теста с вариантами ответов

Онлайн-помощь, Психолого-педагогическая диагностика в образовании

Срок сдачи к 25 апр.

12 минут назад

Написать курсовую работу на тему "Институт президентства"

Курсовая, Теория государства и права

Срок сдачи к 5 мая

12 минут назад

Нужно справиться чертежи

Чертеж, Технический обслуживания, инженерная графика

Срок сдачи к 28 апр.

12 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно