Вычисление пределов

Санкт-Петербургское государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Согласовано:

Предметной (цикловой) комиссией Председатель

____________/_____________

(Подпись) (ФИО)

«_____» __________200__г.

Утверждено:

Заместителем директора по УР

__________/______________/

(Подпись) (ФИО)

«____»________200___г.

Указания по проведению

практической работы № ___1____

Задачи на вычисление пределов

_{(Название работы)}

По дисциплине «Математика»

Специальность __080110, 080112, 080501__

Разработал преподаватель

_____________(___................. __)

(Подпись) (ФИО)

«_______» _________________200___г.

Цель работы:

1. Формировать умения и навыки вычисления пределов

2. Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда

3. Прививать умения и навыки работы со справочным материалом

4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме

Перечень справочной литературы :

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004

2. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004

3. Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003

4. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001

Краткие теоретические сведения:

Предел последовательности

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительно го числа найдется такое натуральное число , что при всех > выполняется неравенство

Пишут:

Графически это выглядит так:

_n -

Т.е. элемент находится в - окрестности точки а. При этом последовательности называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Основные свойства сходящихся последовательностей

1)Сходящаяся последовательность ограничена.

2)Пусть , , тогда а) б) в)

3)Если и для всех выполняется неравенства , то .

4) Если и последовательность {у_n} - ограниченная, то

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если

Например: 1) при б. м. ф. т.к. 2) при б. м. ф. т. к

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если , или

Например, есть б. б. Ф при ; если б. б. ф. при действительно и

Теорема (о связи между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией). Если функция имеет придел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т.е. если

Теорема (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. (x), то число А является пределом функции, т.е если , то

Например, требуется вычислить . Представим числитель и знаменатель в виде суммы числа и б.м.ф.

Функции при есть б.м.ф. таким образом

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Теорема 2. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры:

1)== ==

===

2) =

=

3)

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

или

Примеры:

Вычислить:

1) .

2) .

3)

4) ===

№2. Найти пределы:

№3. Найти пределы:

Порядок проведения работы:

1. Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание

2. Соответствующим образом оформить работу

Оформление работы: