От кинематики тоски к критическим оборотам двигателя

Доклад по теоретической механике

ГМА им. адм. Макарова

2006

Введение

Кривошипно-шатунный механизм служит для преобразования поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала. Он состоит из неподвижного звена - остова двигателя; движущегося вдоль оси цилиндра поршня (или крейцкопфа со штоком и поршнем); вращающегося кривошипа (мотыля) коленчатого и шатуна, совершающего сложное движение в плоскости вращения вала. Кривошипно-шатунный механизм во время работы двигателя подвергается действию сил:

- давления газов в цилиндре;

- инерции поступательно-движущихся масс механизма;

- массы шатунно-поршневой группы;

- атмосферного давления на поршень со стороны картера или силы давления наддувочного воздуха в подпоршневой полости цилиндра;

- трения в звеньях механизма;

Последние три силы относительно невелики и их влиянием можно пренебречь. Сила давления газов в цилиндре действует как на поршень, так и на крышку. Сила, действующая на поршень, передается кривошипно-шатунному механизму, нагружая его звенья, а сила давления на крышку воспринимается элементами остова двигателя. Сила инерции поступательно-движущихся масс определяется как произведение поступательно-движущейся массы на ускорение поршня, взятое с обратным знаком (так как направление сил обратно направлению ускорений). Она остается свободной и может оказывать внешнее воздействие на фундамент и корпус судна, вызывая их вибрацию.

Фундамент двигателя испытывает действие периодически меняющейся силы инерции поступательно движущихся масс, воспринимает переменный опрокидывающий момент и нагружается массой двигателя. Непостоянство моментов таких сил действующих на поршень, периодический характер их действия обусловливают появление в вале, как свободных так и вынужденных колебаний, происходящих с различными частотами. Оба вида колебаний вызывают скручивание отдельных участков валов, но, как правило, углы скручивания (амплитуды колебаний) относительно невелики и поэтому возникающие в валу напряжения кручения неопасны, пока не произойдет явление резонанса. Резонанс возникает при совпадении частоты или периода свободных колебаний вала с частотой или периодом вынужденных колебаний. При резонансах амплитудный размах крутильных колебаний может возрасти до бесконечности. Однако из-за наличия ряда сопротивлений (междучастичного трения, демпфирования гребного винта, внешнего трения) этого не происходит, но угол скручивания отдельных участков вала, а с ним и пропорциональные ему дополнительные напряжения кручения вала при некоторых значениях критических оборотов могут оказаться достаточно высокими и опасными для прочности вала.

Для того, чтобы понять природу появления резонанса при работе двигателя, следует рассмотреть кривошипно-шатунный механизм, начиная с кинематики поршня и заканчивая вынужденными колебаниями корпуса.

Кинематика

Схема кривошипно-шатунного механизма

AB – шатун

OA – кривошип

B – центр поршня

ω = (πn)/30 – скорость вращения кривошипа

α = ωt – угол поворота кривошипа

1, 2 – опоры фундамента двигателя

Возьмем кривошипно-шатунный механизм (рис.1) и запишем уравнение движения поршня КШМ (точка В). Во время работы механизма точка В движется по прямолинейной траектории вдоль вертикальной оси ОX.

XB = f(α) = f(ωt) – уравнение движения точки В.

Теперь выразим XB через параметры КШМ. Обозначим длину шатуна АВ буквой L, а длину кривошипа OA буквой R. Из рисунка очевидно

XB = Rcosα + Lcosβ (1)

где α – угол между вертикальной осью OX и кривошипом, а β – угол между OX и шатуном.

Rsinα = Lsinβ

обозначим R/L = λ

sinβ = R/L sinα = λsinα

используя основное тригонометрическое тождество (sin2β + cos2β = 1), получим

cosβ = √(1 – λ2sin2α)

а используя биноминальный ряд ((1 + x)2 = 1 + αx + ((α(α -1))/2)x2 + …) и ограничиваясь первыми двумя членами ряда получим

cosβ ≈ 1 – λ2/2 sinα

тогда уравнение (1) примет вид

XB = Rcosα + L(1 – λ2/2 sin2α) = Rcosα + L – (Lλ2/2)sin2α = R(cosα – (L/R)(λ2/2)sin2α) + L

из тригонометрических формул sin2 = ½ (1 – cos2α), тогда

XB = R(cosα – (L/R)(R2/L2)1/2(1/2(1 – cos2α)) + L = R(cosα – R/L ½(½ - ½cos2α)) + L = Rcosα – R2/L ¼ + ¼ R2/L cos2α + L = L(1 + λ2/4 + λcosα + λ2/4 cos2α)

XB = L(1 + λ2/4 + λcosα + λ2/4 cos2α (2)

заменим α = ωt

XB = L(1 + λ2/4 + λcosωt + λ2/4 cos2ωt)

VB = X’B = - Rω(sinωt + λ/2 sin2ωt)

aB = X’’B = - Rω2(cosωt + λcos2ωt)

Таким образом, мы вычислили скорость и ускорение поршня в кривошипно-шатунном механизме. И соответственно в заданном положении КШМ скорость точки B равна

VB = - Rω(sinα + λ/2 sin2α)

а ускорение точки B

aB = - Rω2(cosα + λcos2α)

Колебательное движение

Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм как возбудитель вынужденных колебаний корпуса двигателя.

Представим, что корпус имеет абсолютную жесткость, а его настоящую жесткость представим в виде пружины как изображено на рисунке 2. Остальные обозначения примем таковыми:

P – вес поступательно движущихся частей

P = Pпоршня + ⅓ Pшатуна

Q – вес фундамента

F – сила упругости корпуса в месте крепления фундамента

Используя принцип Даламбера ∑Fy(Fa, R, Ф)=0

запишем

∑Fy=P + Q – F – ФQ – ФP=0(3)

К активным силам Fa отнесем P и Q

К силам инерции – ФQ и ФP

Силу упругости корпуса можно расписать как

F = c(Δ + y)

Силы инерции ФQ и ФP можно представить в виде

ФQ = Q/g y”

ФP = P/g aB = P/g(y” + aBR)

где aB – абсолютное ускорение

aBR – относительное ускорение

y” – переносное ускорение

Теперь подставим все вышеперечисленное в формулу (3)

P + Q – c(Δ + y) – Q/g y” – P/g(y” + aBR) = 0

-cy – y”(Q/g + P/g) – P/g aBR

y”(Q/g + P/g) + cy = -P/g aBR

заменим aBR значением полученным ранее в разделе кинематика, а Q/g и P/g массами соответствующих звеньев

y”(mQ + mP) + cy = -mPrω2(cosωt + λcos2ωt)

обозначим mPrω2 как Fa и разделим все выражение на массу системы (mQ + mP)

y” + c/( mQ + mP) y = -Fa/( mQ + mP) (cosωt + λcos2ωt)

обозначим

ωo2 = c/( mQ + mP); h = Fa/( mQ + mP);

получим

y” + ωo2y = -h(cosωt + λcosωt) (4)– данная формула является дифференциальным уравнением движения фундамента

решение данного уравнения состоит из общего и частного решений

y = yобщ + yчаст

yобщ = С1cosωot + C2sinωot

yчаст = Acosωt + Bcos2ωt,

теперь подставим yчаст в уравнение (4)

(ωo2 – ω2)Acosωt + (ωo2 – 4ω2)Bcos2ωt = -h(cosωt + λcos2ωt)

A = -h/(ωo2 – ω2); B = -hλ/(ωo2 – 4ω2)

yчаст = yвын. кол. = -h/(ωo2 – ω2) cosωt – λh/(ωo2 – 4ω2) cos2ωt

yчаст = h/(ωo2 – ω2) sin(ωt – π/2) + hλ/(ωo2 – 4ω2) sin(2ωt – π/2)

Из этого выражения ясно видно, что резонанс в данной системе будет возникать при двух значениях частоты вынуждающего фактора, т.е. тогда когда собственная частота колебаний корпуса двигателя совпадет с частотой вращения кривошипа.

ωo = ω

ωo = 2ω

Значит, критическими оборотами для двигателя будут две частоты, одна – равная частоте собственных колебаний корпуса, другая равная половине частоты собственных колебаний.

Для наиболее ясной картины построим график колебаний

4. Заключение

Диапазон оборотов вблизи критической частоты недопустимый для длительной работы, называется запретной зоной. Для предупреждения обслуживающего персонала о недопустимости длительной работы в пределах этой зоны и необходимости по возможности быстрее ее переходить, на тахометрах ее закрашивают красной краской. Для предупреждения обслуживающего персонала о недопустимости длительной работы в пределах этой зоны и необходимости по возможности быстрее ее переходить, на тахометрах ее закрашивают красной краской.

Внешними признаками работы двигателя в зоне критических оборотов являются:

- усиление стуков и вибрации двигателя и его фундамента увеличение или уменьшение частоты вращения должно повлечь за собой ослабление этих явлений; если же с ростом п (об/мин) вибрация усиливается, то причина заключается не в резонансных крутильных колебаниях, а в неуравновешенности, двигателя;

- нагрев коленчатого или гребного вала, объясняемый значительным увеличением при резонансе работы сил внутреннего трения в металле; характерно, что нагрев гребного вала часто происходит на свободных участках между опорными подшипниками, где никакого внешнего трения нет.

В случае если запретные зоны оборотов попадают в область рабочих режимов двигателя, возникает необходимость сместить n за пределы этой области. Для этого изменяют частоту собственных колебаний системы вала, изменив момент инерции сечения отдельных участков вала или величину маховых масс. Увеличение момента инерции вала (что может быть достигнуто при увеличении диаметра вала) вызовет повышение частоты собственных колебаний системы и зона критических оборотов будет смещена вверх. Увеличение же моментов инерции навешенных на вал масс приведет к снижению критических оборотов, так как частота собственных колебаний уменьшится.

Уменьшения амплитуды крутильных колебаний и вызываемых ими в валу дополнительных напряжений можно достигнуть изменением чередования вспышек в цилиндрах двигателя,

Простым и действенным средством является установка на свободном носовом конце вала специального динамического гасителя колебаний (антивибратора) или демпфера.

Антивибратор представляет собой упруго присоединенный к валу маховик, оказывающий при определенной частоте колебаний такое динамическое воздействие на систему, что вал в месте его установки прекращает колебательное движение, а маховик, работая в резонансном режиме, продолжает колебаться с некоторой постоянной амплитудой. Если требуется гасить колебания одной или нескольких гармоник в нескольких резонансных зонах, то применяют маятниковый антивибратор. Грузы подвешены к ступице гасителя так, что их собственная частота колебаний меняется при изменении числа оборотов вала, т. е. маятниковый антивибратор автоматически изменяет свои динамические свойства, настраиваясь каждый раз при изменении скоростного режима на гашение новых колебаний.

В отличие от антивибратора демпфер частично поглощает энергию колебаний в определенном диапазоне чисел оборотов. Его действие основано на использовании трения, возникающего при появлении крутильных колебаний между ступицей и ободом демпфера. Энергия колебаний расходуется на создание трения; образующееся при этом тепло отводится с охлаждающим демпфер маслом или рассеивается в окружающую среду, а амплитуда колебаний естественно уменьшается.

Существует большое разнообразие конструкций демпферов. Общим для них является наличие между маховой массой и ступицей элемента с трением, поглощающего часть колебательной энергии системы. Связь между маховиком и ступицей осуществляется или только за счет трения (чисто фрикционный демпфер), или посредством трения и упругих элементов (упруго-фрикционный демпфер).