Средние величины 3

Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

5.1. Понятие о средней величине

Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.

Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.

Средняя арифметическая простая, рассматривается в случае, когда известны все значения признаков х₁, х₂, ¼, х_п и рассчитывается по формуле

где n – число вариант;

х – значение признака.

Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков и их частоты, по следующей формуле:

где х – значение признака;

f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной.

Средняя арифметическая имеет следующие свойства:

· произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;

· если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;

· если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

· если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;

· сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

где W = xf – вес средней гармонической.

Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:

· простая:

· взвешенная:

Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:

· простая: ,

где Π – знак перемножения.

· взвешенная: .

Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).

Таблица 9

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Так как известна площадь каждого магазина, то для вычисления средней площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую:

м².

Средняя площадь магазина составляет 80 м².

Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10).

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Если известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:

м².

Средняя площадь магазина составляет 80 м².

Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).

Таблица 11

Следует определить среднюю площадь магазина.

Решение

Известны отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:

.

Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).

Для первого интервала м² и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.

Таблица 12

Таким образом, м².

Средняя площадь магазина равна 72 м².

Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).

Таблица 13

Необходимо определить среднюю площадь магазина.

Решение

Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:

м².

Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м².

5.2. Вычисление средней из вариационного ряда
«способом моментов»

«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле

,

где i – размер интервала;

m₁ – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота);

А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).

Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.

Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).

Таблица 14

Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».

Решение

Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м²), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».

Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м² условно считаем, что интервал также равен 20 м², затем вычитаем 20 м² из 40 м² и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).

Расчеты следует проводить в табл. 15.

Таблица 15

Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70.

Определяем момент первого порядка: .

Среднее значение признака равно: + 70 =
= 68 м².

Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м².

5.3. Структурные средние

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.

Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы.

Мода рассчитывается по формуле

,

где х_Мо – нижнее значение модального интервала;

i_Мо – размер модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо–1 – частота, предшествующая модальной частоте;

f_Мо+1 – частота, последующая за модальной частотой.

Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле

,

где х_Ме – нижнее значение медианного интервала;

i_Ме – размер медианного интервала;

Sf – сумма частот;

S_Ме–1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте;

f_Ме – медианная частота.

Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.

Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.

Пример 6. В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16).

Таблица 16

Следует определить моду и медиану.

Решение

В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2.

Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (Sf = 100), затем рассчитаем полусумму .

Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 > 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана.

Пример 7. В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17).

Таблица 17

Необходимо определить моду и медиану.

Решение

В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам.

Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу:

лет.

Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50 . Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 > 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом.

Затем подставим данные в формулу

.

Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов
в возрасте 35,5 лет), медиана – 35,7 лет (50 % продавцов достигли возраста 35,7 лет).