Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння

Курсова робота з математики

«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»

Введення

У зв'язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.

Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.

1. Гіпергеометричне рівняння

1.1 Визначення гіпергеометричного ряду

Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду

де z – комплексна змінна, , , - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення ( 0,-1,-2,…),і символ позначає величину

==1

Якщо й – нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи

z^k

маємо

= ,

коли k , тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.

Сума ряду

F( , , ,z) = , <1 (1.1)

називається гіпергеометричною функцією.

Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) яка при <1 збігається з F( , , ,z). Ця функція є аналітичним продовженням F( , , ,z) у розрізану площину й позначається тим же символом.

Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R( )>R( )>0 і скористаємося інтегральним поданням

(1.2)

k=0,1,2,..

Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо

F( , , ,z) = = =

причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.

Дійсно, при R( )>R( ) >0 і <1

=

= F( , R( ),R( ), )

На підставі відомого біноминального розкладання

=(1-tz)^-a(1.3)

0 t 1, <1

тому для F( , , ,z) виходить подання

F( , , ,z)= (1.4)

R( )>R( ) >0 і <1

Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1, ).

Для z приналежні області , (R – довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t ; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки

(М – верхня границя модуля функції (1-tz)^-a, безперервної в замкнутій області

, , 0 t 1)

що показує, збіжність інтеграла буде при R( )>R( ) >0 інтеграл

сходиться

Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою

F( , , ,z)= (1.5)

R( )>R( ) >0;

У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F( , , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.

Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)

F( , , ,z) = +

справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при z^k у правій частині (1.6) буде

+ - = = { - - }= = (

Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F( , , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді суми

F( , , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7)

де р – ціле позитивне число ( , , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.

Гіпергеометрична функція F( , , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.

Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F( , , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.

1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції

У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).

1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії

F( , , ,z)= F( , , ,z), (2.1)

2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо

F( , , ,z)= = =

= = F( +1, +1, +1,z)

Таким чином, F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2)

3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей

F( , , ,z)= F( +m, +m, +m,z) (2.3)

m=1,2,...

Покладемо надалі для скорочення запису

F( , , ,z)= F,

F( 1, , ,z)= F( 1),

F( , 1, ,z)= F( 1),

F( , , 1,z)= F( 1).

Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,

( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,

(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.

Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=

=( - - ) + (1-z) -( -

) =

= {( - - ) + -( - ) -

}z^k=

= {( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)

( -k-1)k} z^k=0,

тому що

z

= =

= ( +1)...( +k-1)

=( +1)...( +k-1)( +k)

=( -1) ( +1)...( +k-2)

= ( +1)…(+k-2)

=( +1)…(+k-2)(+k-1)

=(-1)(+1).......( +k-3)

Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:

( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)=

= { ( - -1) +-( - 1) =

= { - -1 + + k-( +k-1)}z^k=0,

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=

= { - - +( - ) }z^k

= { ( + k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1)

+( - ) k}z^k=0,

З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7)

( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8)

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9)

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=

= {( - - ) + - -( -

) } z^k =

= {( - - )( +k-1)+ ( + k -1)( +k)- ( +k-1)k -( - )( -

1)}z^k=0,

( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=

= {( - -1) +-( - 1) } z^k =

= { - -1+ ( + k )- ( +k-1)}z^k=0,

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=

= { --+( - ) } z^k

= { ( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)- ( +k-1)( -1)+k

( - )}z^k=0.

Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо

( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10)

( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11)

і так далі

( - )F- F ( +1)+ F( +1)=

= {( - ) + + } z^k=

= { - - ( +k)+ ( +k)} z^k =0.

( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=

= {( - ) -( - ) +( - ) -( -

) } z^k=

= {( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-

( - )( +k-1)( -1)}z^k=0.

Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є

F( , , ,z)-F( , , -1,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.12)

F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.13)

F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= F( +1, +1, +2,z)(2.14)

F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= F( , +1, +1,z) (2.15)

До даного класу ставляться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.

1.3 Гіпергеометричне рівняння

Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння

z(1-z) +[ -( + +1)] - u=0 (2.16)

регулярним в околиці крапки z=0.

Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.

Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .

Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду

u=z^s z^k (2.17)

де s – належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1

u= z^k+s

= (k+s)z^k+s-1

= (k+s)(k+s-1)z^k+s-2

Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо

z(1-z) ( z^k+s +[ -( + +1)z] ( z^k+s - z^k+s=0,

z(1-z) ( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( z^k+s-1(k+s))-

z^k+s=

= ( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))- ( z^k+s(k+s)(k+s-1))+ ( z^k+s-1 (k+s))-

- z^k+s( + +1)(k+s))- z^k+s =

= z^k+s-1(k+s)(k+s-1+ )- z^k+s(s+k+ )(s+k+ )=0,

звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,

k=1,2,...,

перше з яких дає s=0 або s=1-

Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0

Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення

= k=1,2,…,

звідки, якщо прийняти =1, треба

= k=0,1,2,…,

де для скорочення запису уведене позначення

= ( +1)…(+k-1),

=1,k=1,2,…,

У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде

u= = F( , , ,z)= z^k, <1 (2.18)

Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…

= k=1,2,…,

звідки, якщо взяти =1 знаходимо

=

k=0,1,2,...,

Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення

u= = = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)

<1,

Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі

u=A F( , , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)

де А и В довільні постійні <1,

2. Подання різних функцій через гіпергеометричну

Гіпергеометрична функція F( , , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,

F( , 0, ,z)= z^k= =1,

тому що

=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.

F( , -2, ,z)= z^k= z⁰+ z+ z² =

=1-2 z+ z²,

тому що

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

і так далі.

Перетворення

F( , , ,z)=(1-z F( - , - , ,z)

- =0 =

показує, що гіпергеометрична функція при - =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,

F( , , ,z)= (1-z , (3.1)

Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо

(1-z)^v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z = F( , 1, 1,z (3.2)

(1-z)ⁿ= F(-n, , ,z)

n=0,1,2,...

Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням

ln(1-z)= - =-z<1

звідки треба

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) (3.3)

Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:

arctg z=zF( ,1, ,-z²) (3.4)

arcsin z=zF( , , ,z²)

arctg z= (-1)^k =z =z =

=z =z =z =zF( ,1, ,-z²),

тому що =1*2*…*k=k!

arcsinz=z+ =z[1+ ]=

=z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]=

=z[1+ ]=z[1+ =zF( , , ,z²)...

3. Вироджена гіпергеометрична функція

Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).

Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд

де z – комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину

==1

сходиться при будь-яких кінцевих z.

Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те

= 0, коли k .

Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума розглянутого ряду

F( , ,z)= , 0,-1,-2,…,< (4.1)

З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти

f( , ,z)= F( , ,z)= , (4.2)

те f( , ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.

Думаючи

, маємо для досить більших k

=

Звідси треба, що при заданому z функція F( , ,z)

представляє цілуюфункцію й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…

Функція F( , ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв'язок функції F( , ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням

F( , ,z)=lim F( , , , ) (4.3)

З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності

F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4)

F( , ,z)= F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)

і рекурентні співвідношення

( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)

F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)

( -1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)

( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)

( - )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)

( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)

єднальну функцію F F( , ,z) із двома будь-якими суміжними функціями

F( 1) F( 1, ,z) і F(1) F( , 1,z)

Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.

( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=

= {( - -1) + -( -1) }z^k=

= { - -1+ ( +k)- ( +k-1)} z^k=

= { - -1+ +k- -k+1)} z^k=0

F- F( -1)-zF( +1)=

= { - - } z^k=

= { ( +k-1)- ( -1)-k } z^k=

= { + k- - - -k } z^k=0.

Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F( , ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:

F( , ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12)

F( , ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)

4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду

Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння

z +( -z) - u=0 (5.1)

де 0,-1,-2,…

u=F( , ,z)= z^k

= z^k-1

= z^k-2

Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= = F( , ,z), маємо

l( ) = z^k-2+( -z) z^k-1- z^k=

=[ - ]+[k + -k- ] 0.

Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що , і виконаємо підстановку .

Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду

z +( -z) - =0

с новими значеннями параметрів =1+ , =2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення ( ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді

u= F( , ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду

G , ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z)(5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) визначає функцію G , ,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)

G , ,z)= [ - ]=

= ( )

Ми маємо

= =

n=0,1,2,…

= = =

= ,

тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо

G( , ,z)= G , ,z)= (-1)ⁿ⁺¹[ ] (5.5)

n=0,1,2,…

Виконавши обчислення, знаходимо:

= [ ],

= [ ]+

+ ,

звідки для G( ,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)

G( ,n+1,z)= [ ]+

+ ,

n=0,1,2,…,0,-1,-2,…,

Тут - логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.

Якщо =-m (m=0,1,2,…),те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження

G(-m,n+1,z)= F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,... , n=0,1,2,...

З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню

G( , ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)

На підставі цієї формули можна визначити функцію G( , ,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності

G( ,1-n,z)= G( , ,z)= zⁿ G( +n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,…,

Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G( , ,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (- ,0) і ціла функція й .

Покажемо, що функція G( , ,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).

При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.

Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.

З (5.1) треба W{F,G}=C e^z. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо

C=

W{ F( , ,z),G( , ,z)}= - e^z (5.10)

0, -1, -2,…,

Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі

u = AF( , ,z)+BG( , ,z) (5.11)

, 0, -1, -2,…,

Функція G( , ,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:

G( , ,z)= - G( +1, +1,z)

G( , ,z)= (-1)^m G( +m, +m,z) (5.12)

m=1,2,...

рекурентні співвідношення:

G- G( +1)-G( -1)=0, (5.13)

( - )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)

( -1+z)G - G( -1)+( - +1)G( -1)=0, (5.15)

( +z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)

G( -1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)

( - -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)

G G( , ,z), G( 1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z)

і так далі.

Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.

5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції

Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F( , ,z).

Ми маємо, наприклад,

1) F( , ,z)= =

тому що

F(1,2,z)= = ,

тому що

3) F(-2,1,z)=

Висновок

Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:

Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.

За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.

У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.

Література

1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000

2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004

3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003

4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000

5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999

6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005

7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000

8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000