Спектральная теория операторов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Спектральная теория операторов

Саранск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………..………………………………………………..4

1 Линейный оператор…………………………………………………………...4

1.1 Понятие линейного оператора………………………………………...4

1.2 Линейные преобразования………………………………………….....4

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор………………………..5

2 Спектральная теория компактных операторов……………………………...7

2.1 Спектр оператора……………………………………………………...7

2.2 Понятие об ограниченном операторе………………………………­­­...8

2.3 Понятие о компактном операторе…………………………………...13

3 Спектральная теория компактных операторов……………………………….16

3.1 Множество значений компактного оператора……………………........16

3.2 Собственное значение компактного оператора……………………..18

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованных источников……………………………………..…...26

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена спектральной теории операторов. В отдельной главе более подробно рассматривается спектральная теория компактных операторов. Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о свойствах спектра и собственных значениях.

Цель данной курсовой работы – познакомить тех, кто интересуется математикой со спектральной теорией операторов, в частности, со спектральной теорией для компактных операторов.

Данная курсовая работа состоит из трёх глав:

1) Линейный оператор;

2) Спектральная теория операторов;

3) Спектральная теория компактных операторов.

В первой главе рассматривается понятия линейного оператора, линейные преобразования, сопряжённый и самосопряжённыйоператор.

Во второй главе рассматривается понятие спектра оператора, теорема для замкнутого линейного оператора, спектральный радиус,понятие об ограниченном операторе и компактных операторах, а также теорема, являющаяся важным характеристическим свойством компактных операторов.

В третьей главе рассматриваются множество значений компактного оператора, собственные значения компактного оператора. В каждой главе приводятся решённые примеры.

1 Линейный оператор

1.1 Понятие линейного оператора

Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, называют функционалом.

Вообще функция может быть определена не на всем гиль­бертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отображает свою область определения. Для удобства условимся обозна­чать область определения через D, гильбертово пространство ее содержащее, — через Н₁ множество значений — через R а со­держащее его пространство — через Н₂.

Определение 1.1 Оператор (преобразование) L назы­вается линейным, если его область определения D является ли­нейным подпространством (плотным или нет) и он линеен на D

L(x + y)=Lx + Ly (1.1). [9]

Множество линейного оператора также является линейным подпространством.

1.2 Линейные преобразования

Определение 1.2 Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произведении подпространств Н₁ Н₂, образованное по правилу

G(T) = (1.2).

Определение 1.3 Линейное преобразование Т называется замкнутым, если его график функции замкнут в Н₃. Иначе замкнутость оператора Т можно определить так: пусть x_n D(T), x_n x, Tх_nу. Тогда x D(Т) и Тх = у.

Отметим, что, как правило, дифференциальные операторы замкнуты. Этот факт и определяет необходимость рассмотрения класса замкнутых операторов.

Определение 1.4 Линейное преобразование Т назы­вается ограниченным, если D = Н₁ и

sup=M< (1.3).

Определение 1.5 Нормой линейного ограниченного преобразования T называется число

sup (1.4)

Линейное преобразование ограничено, если оно непрерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

Пусть Т₁, Т₂ — линейные ограниченные операторы, отобра­жающие пространство Н₁ в Н₂. Тогда ясно, что сумма T₁ +Т₂ также является линейным ограниченным оператором. Кроме того,

(1.5)

В силу определения (T)x= Тх, где элемент поля скаля­ров, следовательно, оператор Т ограничен, если T ограничен. Следовательно, множество всех линейных ограниченных опера­торов образует линейное пространство, а норма оператора яв­ляется нормой на этом пространстве. Полученное таким обра­зом линейное нормированное пространство операторов обозна­чается через L(H₁,H₂). Нетрудно показать, что пространство L(H₁,H₂) полно. Действительно, если {Tn} — последователь­ность Коши этого пространства, то для любого элемента х про­странства H₁ имеем

(1.6).

Следовательно, {T_nx} является последовательностью Коши про­странства H₂, ее предел обозначим через Тх. Очевидно, что оператор Т линеен и огра­ничен. Если n>N(e) и , то

+(1.7).

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор

Определение 1.6 Пусть T — линейный ограниченный оператор из H₁ в Н₂ сопряженный оператор T* (определенный на Н₂ и принимающий значения в Н.) определяется условием у = Т*х в том и только том случае, если существует вектор у такой, что [y,z] = [x,Tz] для любого z H₁.

Определение 1.7 Пусть H₁=H₂=H. Оператор L c плотной областью определения, называется самосопряжённым, если L=L* [9].

2 Спектральная теория операторов

2.1 Спектр оператора

В приложениях часто возникает следующая задача: задан оператор Т, найти элемент х такой, что Тх=у, где элемент у задан. В общем случае множество решений может оказаться либо пустым, либо содержать слишком много элементов. Можно рассмотреть несколько более общую задачу: найти элемент х такой, что х—Тх=у, где — скаляр. Важность рассмотрения этой задачи обусловлена тем, что последняя тесно связана со структурой самого оператора. Возможно, что читатель имеет представление о собственных значениях и собственных векторах матрицы. Спектральная теория операторов рассматривает во­просы, связанные с этими понятиями, но уже для более широ­кого класса операторов. В дальнейшем гильбертовы простран­ства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Определение2.1 Пусть Т — замкнутый линейный опе­ратор, отображающий пространство Н в себя. Комплексное чис­ло называется собственным значениемоператора Т, если су­ществует элемент х. из Н такой, что Тх = х; при этом элемент х (предполагается, что его норма равна 1) называется собствен­ным вектором, соответствующим . Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр [4].

Если комплексное число Xне принадлежит точечному спект­ру оператора Т, то, безусловно, можно определить оператор (I– T)^-1 (здесь I — тождественный оператор): х= (I— Т)yв том и только том случае, если у=–Тх.

Обратный оператор (I—Т)очевидно, линеен. Однако для наших целей весьма важно знать условия, при выполнении ко­торых обратный оператор (I–Т)кроме того и непрерывен. Для этого необходимо, чтобы множество значений оператора (I—Т) совпадало со всем пространством H. Но самое заме­чательное при этом заключается в том, что для замкнутых опе­раторов это условие оказывается и достаточным, и этим в зна­чительной степени объясняется наш интерес к замкнутым опера­торам.

Теорема 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор и число не принадлежит его точечному спектру. Пусть, далее, множество значений оператора (I— Т) совпадает со всем про­странством Н. Тогда оператор (I—T)^-1 ограничен, т. е. для любого элемента х из Н и некоторого числа М (зависящего от ) справедлива оценка

(2.1).

Доказательство. Оператор (I—T) замкнут и его область определения есть все пространство Н. Следовательно, по теореме о замкнутом графике он должен быть непрерывным.

Определение2.2 Множество комплексных чисел , не являющихся собственными значениями оператора Т, таких, что множество значений оператора I— Т совпадает со всем про­странством Н, называется резольвентным множествомопера­тора Т и обозначается через p(Т).Для р(T) оператор (I— Т)-¹обозначается через R(,T)и называется резольвен­той Т.Дополнение резольвентного множества называют спект­ромоператора. Таким образом, точечный спектр оператора яв­ляется подмножеством его спектра [5].

Пример 2.1. Пусть H =L₂(0, 1),aD— класс функций, производные которых тоже принадлежат L₂(0, 1). Для функций fDположим Tf=. Тогда оператор Т замкнут и его область определения плотна. Рассмотрим его резольвентное множество. Уравнение f— = 0 означает, что f(t)=f(0)eи eL₂(0, 1). Таким образом, все числапринадлежат спектру оператора T, и потому его резольвентное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

2.2 Понятие об ограниченном операторе

Теорема 2.2 Пусть Т — ограниченный оператор, отобра­жающий пространство Н в себя. Тогда р(T), если ||>r, где r = lim. Число г>0 называется спектральным ра­диусом оператора Т [5]

Доказательство.Основной шаг заключается в доказа­тельстве сходимости ряда

(2.2)

для всех ||>г. Это непосредственно следует из того факта, что мажорирующий ряд

(2.3)

абсолютно сходится при |z|>lim. Следовательно, ряд сходится по норме пространства L(H,H). Более того, имеем так что

(I – T)()=()(– T)=() (2.4)

Следствие 2.1 Спектр произвольного замкнутого опе­ратора является замкнутым множеством. Спектр ограниченного оператора не пуст.

Доказательство. Сначала докажем, что резольвентное множество произвольного замкнутого оператора открыто. В слу­чае, если резольвентное множество замкнутого оператора пусто, то доказывать нечего. Предположим, что резольвентное множе­ство не пусто и содержит число ₀. Покажем, что все , удов­летворяющие условию |–₀|/||R(₀; T)\ < 1, принадлежат ре­зольвентному множеству. Прежде всего, отметим, что для таких ряд (–₀)^пR(₀; Т)^псходится и

(I+ (–₀) R(₀; T)) = (₀–)R(₀; Т)^п(2.5).

Докажем, что

(2.6)

Пусть xH. Имеем

(I – T)()x=x(2.7).

Если xD(T), то

(2.8).

Таким образом, оператор R(λ;T) — резольвента. Следовательно, резольвентное множество открыто. Более того, имеем

R()=(2.9)

при ||λR(λ₀;T)||< 1.

Таким образом, если L(∙) — линейный непрерывный функ­ционал на L(H,H), то функция L(R(K;T))оказывается анали­тической на резольвентном множестве оператора Т. Рассмотрим теперь случай, когда оператор Т ограничен. Предположим, что его спектр — пустое множество. Тогда для любого линейного непрерывного функционала L(∙)аналитическая функция L(R(λ;Т)) определена на всей комплексной плоскости и, кроме того, она ограничена в бесконечности, поскольку ||λR(λ; Т) ||≤(1–/λ)-¹ для всех |λ|>||Т||. Следовательно, в силу клас­сической теоремы Лиувилля для любого функционала L(∙) и любого комплексного λ функция L(R(λ;Т)) тождественно равна пулю. НотогдаL(I)=L(λR(λ;T)–TR(λ; I)) = L(TR(λ; T)). Поэтому в силу сходимости правой части последнего равенства к нулю при λ→ +L(I) = 0 для любого линейного непрерыв­ного функционала L(∙),что невозможно. Таким образом спектр ограниченного оператора не может быть пустым.

Определение 2.3 Ограниченный оператор называется квазинильпотентным,если его спектральный радиус равен нулю [6].

Спектр квазинильпотентного оператора содержит лишь ну­левую точку.

Пример2.2 Пусть H= L₂(0, 1). Определим оператор Т соотношениями

Tf = g, g(t)=f(s)ds, 0t1 (2.10)

Тогда оператор Т линеен и ограничен. Используя неравенство Шиарца,найдем Что касается спектра оператора T,то заметим, что если

λf(t)—f(s)ds = 0 почти всюду на [0, 1],

f — непрерывная функция. Далее, уравнение

λf(t)-f(s)ds= g(t)

имеет единственное решение

(2.11)

и потому спектр оператора Т может содержать лишь нулевую точку. Это можно доказать заметив, что оператор Т квазиниль-потентен:

(2.12)

Как было доказано выше, спектр ограниченного оператора не может быть пустым. Следовательно, спектр оператора Т состоит из нулевой точки. С другой стороны, в рассматриваемом случае, нуль не является собственным значением, поскольку из условия Tf= 0 следует, что f= 0. Отсюда следует, что Т^-1— замкнутый линейный оператор, однако он неограничен. Это и следовало ожидать, поскольку T^-1f= gозначает, что g =f'.

Пример 2.3 В общем случае нельзя указать эффектив­ной процедуры отыскания спектра и резольвентного множества заданного оператора. Однако, для интегральных операторов та­кой общий метод существует; он заключается в дифференциро­вании необходимое число раз равенства, определяющего точку спектра с целью получения определяющего дифференциального уравнения. Рассмотрим, например, оператор

(2.13)

Рассмотрим сначала точечный спектр этого оператора. Если функция L(•) из H является собственным вектором, то

f (s) ds= λtf (t) почти всюду.

Дифференцируя обе части этого равенства, получим дифферен­циальное уравнение

f(t)=+ (t);

его общее решение имеет вид f(t)=k-t^a,где k— произвольное постоянное число, а а = (1–λ)/λ.С другой стороны, из усло­вия

следует, что

l+2Re((1– λ)/ λ)=0 или Re(1/ λ)>

Таким образом, всякое комплексное число λ, удовлетворяю­щее этому условию, принадлежит точечному спектру. Так как спектр — замкнутое множество, то {λ; -+Re(1/ λ) ≥} принадлежит ему. Это множество представляет собой шар ра­диуса 1 с центром в точке =1. Далее, рассмотрим уравнение f — Tf = g, или

tf(t)-f(s)ds= tg (t),

Предполагая дифференцируемость соответствующих функций,

получим

tf'(t) + f (t)–f(t) = tg' (t) + g(t).

Отсюда следует, что

(2.14)

где k— константа. Если ограничиться рассмотрением тех , для которых 1+2 Re(1-) / < 0, то, полагая k= 0, получим

(2.15)

Условие 1 + 2Re(l—) / > 0 эквивалентно условиям Re(l/) <C < 1/2, или ² + ² —2> 0, где = + i. Можно показать, что последняя формула определяет резольвенту. Заметим, что такое при­надлежит спектру, но не является собственным значением. Без­условно, спектр целиком содержится в шаре |||T||=2.

Определение 2.4 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство в себя, называется неотрица­тельно определенным,если он самосопряжен и квадратичная форма [Тх, х] неотрицательно определена.

Для любого ограниченного линейного оператора операторы Т*Т и ТТ* неотрицательно определены [8].

2.3 Понятие о компактном операторе

Определение 2.5 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство Hв H₂, называется компактным (вполне непрерывным), если он переводит ограниченные множе­ства из Нв компактные подмножества H₂.

Важное характеристическое свойство компактных операто­ров определяется следующей теоремой [7].

Теорема 2.3 Пусть Т — компактный оператор, отобра­жающий пространство H в H₂. Тогда для любой слабо сходя­щейся последовательности {х_п} из Н последовательность {Тх_п} сильно сходится в H₂. Обратно, любой ограниченный линейный оператор, обладающий этим свойством, компактен [6].

Доказательство.Пусть оператор Т компактен, а {х_п} — слабо сходящаяся, скажем к х₀, последовательность из Н. Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности имеем оценку

<М

для некоторого числа М, О < М < . Поэтому последователь­ность {Тх_п} принадлежит некоторому компактному подмножеству в H₂ и, значит, из любой ее подпоследовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся подпоследователь­ность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследователь­ность через {Tx_nk}, аее предел через у. Тогда для любого hH₂имеем цепочку равенств

[y, h] = lim[Tx_nk, h] = lim[x_nk, T*h] =[х₀, T*h] = [Тх₀, h],

откуда у=Тх₀, так что у не зависит от выбора конкретной под­последовательности, а значит,

limTx_n= у.

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный оператор, пере­водящий любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Пусть В— ограниченное множество в Н. Пока­жем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {х_п} — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных множеств в гильбертовом пространстве найдется подпоследовательность {x_nk}, слабо сходящаяся к некоторому пределу, скажем к x. Тогда подпоследовательность {Tx_nk} сходится сильно и, как мы видели, ее пределом должна быть точка Тх₀. Очевидно, что Tх₀— предельная точка множества ТВ, а это и значит, что опе­ратор компактен.

Пример 2.4 Пусть (_{, ,} ), (, , ) — пространства c-конечными мерами _, . Обозначим через R(t,s)измеримую матричную функцию порядка (р, q),определенную на множестве . Положим

.

Тогда оператор L, определенный соотношениями

Lf=g, g(t)=R(t, s) f (s)d , t Q₂,

линейнои непрерывно отображает пространство Н₁ = L(_{, ,} )^p в H₂= L₂(, , )^p. Заметим, что пространство Нне обязательно сепарабельно. Докажем компактность оператора L. Пусть последовательность f_nH₁слабо сходится. Для всех t, где —множество полной меры имеем

.

Пусть e_i— единичный вектор евклидова пространства R^q. Тогда для любого t формула

[R(t,s)f(s)d, е_i]

определяет линейный непрерывный функционал на простран­ствеH₁. Следовательно, для каждого t последовательность

g_n(t)= R(t,s)f_n(s)d

g(t) = R(t,s)f(s)d.

Можно применить теорему Лебега о почленном интегри­ровании последовательности. Следовательно,

при n. Так как последовательность g_n(∙)сходится к g(∙) слабо, то отсюда следует сильная сходимость g_nк g.

3 Спектральная теория компактных операторов

3.1 Множество значений компактного оператора

Спектральная теория характеризует спектры и резольвент­ные множества операторов. Исследование интегральных опера­ндов по существу эквивалентно изучению интегральных урав­нений.

По своим свойствам компактные операторы близки к конеч­номерным (матричным) операторам. Кроме того, последние играют большую роль в приложениях. Пусть Т— компактный оператор, отображающий пространство Нв себя. Тогда, если пространство бесконечномерно, то нуль должен принадлежать спектру, поскольку тождественный оператор Т^-1Тне является компактным. Напомним, что в дальнейшем пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Лемма 3.1 Для любого 0 множество значений оперaтора I– Т замкнуто [10].

Доказательство. Пусть {у_п} — сходящаяся последовательность из множества значений оператора (I— T), т. е. y_n=х_n– Тх_п. Положим

М = {х: х=Тх}.

Тогда М – замкнутое подпространство Н. Обозначим через Р оператор проектирования на подпространство М и положим z_n=х_п–Рх_п. Предположим, что ||z_n||. Пусть

, (3.1).

В силу сходимости {у_п} последовательность h_nсходится к нулю. Так как ||||=1, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что {} слабо сходится к элементу . Однако ввиду равенства ТР=Р справедливо соотношение

_n= (h_n+ T_n)/(3.2).

Отсюда, в силу сильной сходимости T_nк T_nследует, что последовательность {_n} сильно сходится к . Далее, = Tи |||| = 1. Однако это невозможно, поскольку элементы _nпри­надлежат M. Таким образом, последовательность {||z_n||} огра­ничена. Поэтому, переходя к подпоследовательности, можно считать, что {z_n} – слабо сходящаяся последовательность. Из равенства z_n = (y_n+ Tz_n)/как и ранее, следует, что последо­вательность {z_n} сходится сильно. Обозначая через zсоответ­ствующий предел, получим, что z=Tz+ у, где у — предел последовательности {у_п}. Лемма доказана.

Лемма 3.2 Предположим, что 0 и множество зна­чений оператора (I –Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда принадлежит резольвентному множеству оператора Т [10].

Доказательство. Достаточно показать, что не являет­ся собственным значением оператора Т. Предположим против­ное; тогда найдется элемент х0 такой, что х=Тх. Так как множество значений оператора I–Т совпадает со всем про­странством, то существует элемент f₁из Hтакой, что f₁–Tf₁= x. Далее, по той же причине найдется элемент f₂ такой, что f₂–Tf₂=f₁. По индукции строится последовательность {f_k} такая, что

f_k – Tf_k = f_k-1(3.3)

f₁ – Tf₁ =x=f₀ (3.4)

Обозначим через E_kподпространство, порожденное элементами {f_0,...,f_k}. Докажем, что dimE_k> dimE_kдля всех k1. Для этого достаточно показать, что элемент f_kне принадлежит пространству E_k-1. Предположим противное. Тогда

f_k=(3.5)

Следовательно,

Tf_k= a_iTf_i= a_i [f_i–f_j-1] + a₀f₀(3.6).

С другой стороны, Tf_k= Xf_k — Tf_k-1. Таким образом,

f_k–f_k-1 = – (3.7)

или

f_k–f_k-1=(3.8).

Следовательно, противоположное утверждение остается верным для (k–1), и потому оно справедливо и для случая k= 1, что невозможно. Далее, если dimE_k> dimE_k-1, то существует ортонормированная последовательность векторов {е_k} такая, что e^kортогонален подпространству E_k-1. Но [I–T]E_kE_k-1и потому [(I— Т)е_к, e_k] = 0, т. е. = [Te_k, e_k]. Но последова­тельность {e_k} слабо сходится к нулю, поэтому последователь­ность {Te_k} сходится к нулю сильно. Следовательно = 0, что невозможно.

3.2 Собственное значение компактного оператора

Лемма 3.3 Предположим, что ненулевое комплексное число принадлежит спектру оператора Т. Тогда является собственным значением оператора Т*.

Доказательство. Применяя предыдущую лемму, полу­чим, что множество значений оператора (I–Т) не совпадает со всем пространством. Так как множество значений оператора (I–Т) замкнуто, то существует ненулевой элемент у такой, что для любого xHсправедливо равенство [х–Тх, у] = 0, или [х, у–Т*у] = 0. Таким образом, является собственным значением оператора Т. Из вышеприведенных лемм следует следующая теорема

Теорема 3.1 Пусть – ненулевое комплексное число. Тогда либо является собственным значением оператора Т, либо оно принадлежит его резольвентному множеству. (Это утверждение называется альтернативой Фредгольма.)

Доказательство. Достаточно показать, что если число принадлежит спектру оператора Т, то оно является собствен­ным значением. Если не принадлежит спектру T и не является собственным значением, то множество значений оператора (I–Т) не совпадает со всем пространством. Согласно предыдущей лемме отсюда следует, что является собственным зна­чением сопряженного оператора T٭. Применяя лемму 2.3 еще раз, получим, что является собственным значением оператора T** = T. Теорема доказана.

Лемма3.4 Пространство собственных функций, отвечающих ненулевому собственному значению, конечномерно.

Доказательство.Пусть – ненулевое собственное зна­чение.Предположим, что соответствующее пространство собственных функций бесконечномерно. Пусть {е_к}— ортонормальный базис этого подпространства. Тогда Te_k = e_k, и потому [Te_k, e_k] = . Но последовательность {Te_k} должна сильно схо­диться к нулю, что невозможно.

Лемма 3.5 Последовательность {Х_п} ненулевых и попар­но различных собственных значений оператора Т может иметь предельной точкой лишь нуль.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Действительно, пусть Тх = х, Тх₂= х₂, Tx_m = x_m. Пусть, далее, mявляется наименьшим целым чис­лом таким, что элемент х_тпринадлежит подпространству, по­рожденному элементами {х, .., Х_т-1). Тогда

x_m(3.9)

Следовательно,

x_m=(3.10),

и потому

=0 (3.11)

Отсюда следует, что т может быть уменьшено на единицу, что противоречит определению целого m. Обозначим через Р_топе­ратор проектирования на подпространство Е_т, порожденное элементами {х, ..., х_т}. Оператор Т отображает подпростран­ство Е_mв себя. Положим z_m= x_m — P_m-1x_m. Тогда z_m0 и [Tz_m; z_m] = [z_m; z_m]. Пусть e_m = z_m/||z_m||. Последовательность {e_m}, очевидно, ортонормальна и [Te_m, e_m]=λ_m. Следовательно, λ_m→0. Таким образом, нену­левые собственные числа образуют изолированное подмноже­ство спектра. Для произвольных двух заданных чисел 0<r₂ < r₂множество {z: z<| z|<r₂} может содержать лишь ко­нечное число собственных чисел оператора Т. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема3.2 Спектр компактного оператора содержит не более счетного числа точек и его предельной точкой может быть лишь нуль. Каждая ненулевая точка спектра является собственным значением.

Компактный оператор может вообще не иметь собственных значений. Однако для самосопряженных компактных операторов это уже не так.

Теорема3.3 Самосопряженный компактный оператор, отображающий пространство Н в себя, имеет по крайней мере одно собственное значение.

Доказательство. Прежде всего докажем, что если опе­ратор самосопряжен, то

(3.12)

Обозначим правую часть этого равенства через с. Ясно, что с . Далее, имеем

, х, у Н.

По

[Тх, у] + [Ту, х] = {[Т(х + у), х+у]–[Т(х-у), х–у]}.

Следовательно,

|[Тх, у] + [Ту,х]|≤1/2{|[Т(х + у), х+у] + [Т(х-у),х-у]|}≤

≤1/2c{||x+y||²+||x–y||²}=c(||x||²+||y||²) (3.13)

Tак как оператор Т самосопряжен, поэтому в случае вещественного гильбертова пространства

|[Тх, у]|≤c,

или |[Тх, у]|≤с для всех || х || = || у || –1. Следовательно, или |[Тх, у]|≤с|| х || *|| у ||, или || T|| < с. Если исходное пространство рассматривается над полем комплексных чисел, то положим [Tx, у] = | [Тх, у] |eⁱ. Пусть х₁ = x. Тогда в силу самосопря­женности оператора T имеем

[Тx₁, y₁] + [Ту, х₁] = с() (3.14)

Полагая || х || = || у || = 1, получим [Tx, у] , отсюда следует, что | [Тх, у] | < с|| х || || у || . Таким образом существует последовательность {х_п} такая, что

|| х_n||= 1, lim|[Tx_n, x_n]| = ||T||>0

Tак как последовательность {[Тх_т, х_т]} состоит из вещественных чисел, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что она сходится либо к +||T||, либо к –||Т||.Обозначим этот предел через . Еще раз переходя к подпоследовательности можносчитать, что х₀слабо сходится к х₀; в силу компактности оператора Т последовательность {Тх_п} будет сильно схо­диться к у₀ =Тх₀. Следовательно,

lim[Tx_m, x_m] = [Тх_о, х_о] = [у₀, х₀] (3.15)

Кроме того,

0<lim || Tx_m–x_m||² = || y₀||² - 2² + ² = || у₀ || ² –².

Но || у₀ || ² = lim || Tx_m||² || T||² =, поэтому || у₀ || ²= и

lim || Tx_m–x_m||² = 0 (3.16).

В силу сильной сходимости {Tx_m} последовательность {х_т} сильно сходящаяся. Следовательно, Тх₀ = х_о, причем ||х₀||=1 и = ±|| T||. Теорема доказана.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различ­ным собственным значениям, ортогональны. Пусть теперь Т — компактный самосопряженный оператор. Тогда, как мы знаем, его спектр состоит из дискретного множества вещественных соб­ственных значений {_i} и предельной точкой {_i} может быть лишь нуль. Обозначим через M_iподпространство собственных векторов, соответствующих ненулевому собственному значе­нию _i.

М_i= {х : Тх = х}.

Пусть M₀= {х: Тх = 0}. Для любого х из Н положим x_i= Р_iх, где Pi— оператор проектирования на подпространство M_i.

Тогда 0, потому ряд сильно сходится. Рассмотрим подпространство H₀, ортогональ­ное всем M_i, i= 0, 1, ... Тогда Н₀— замкнутое подпространство и оператор T, будучи самосопряженным, отображает Н₀в себя. Так как оператор Т является самосопряженным и компактным, то существует собственное значение такое, что Тх = х, xH. Однако это возможно лишь в том случае, если H₀={0}, т. е. нуль является единственным элементомH₀. Следовательно, для любого х из H справедливо разложение

x=(3.17).

Следовательно, Tx=. Заметим, что для каждого элемента _iсправедливо разложение

x_i=, Te=(3.18),

где е^ij,j = 1, …,m_i, –базис подпространства М_i, которое, как было показано выше, конечномерно.

Замечание. Равенство Тх = можно переписать в виде

Т = , =I, [P_ix, P_jx] = 0,

где I— тождественный оператор. Из этих равенств следует

T=, E_i=(3.19)

причем последовательность операторов проектирования {E_i} не убывает. Такого рода представление можно получить и для про­извольного ограниченного оператора.

Пример 3.1 Задача определения собственных значений и собственных функций компактного самосопряженного опера­тора в общем случае довольно сложна и, за исключением от­дельных случаев, может быть решена лишь численно. Здесь мы рассмотрим лишь простейшую итерационную процедуру, позво­ляющую решить эту задачу приближенно. Пусть Т—компакт­ный самосопряженный оператор и х произвольный ненулевой элемент пространства Н. Предполагая Тх 0, положим х_п = Т^пх/. Если Т^тх = 0 для некоторого m, то элемент х должен принадлежать ядру оператора T, и потому он является собственным вектором. Таким образом, если элемент х не яв­ляется собственным вектором, отвечающим нулевому собствен­ному значению, то Т^пх 0 для любого п. Предположим, что это условие выполнено. Рассмотрим спектральное представле­ние Tx =, где _I –ненулевые собственные значения, аP_i —операторы проектирования на соответствующие подпро­странства собственных векторов. Предположим, что модули соб­ственных значений образуют невозрастающую последователь­ность, т.е.... Определим оператор Pследующим образом. Если +|| является собственным значением, то Р— оператор проектирования на соответствующее подпространство собственных векторов, в противном случае P— нулевой оператор. Аналогично, если —|| — собственное значение, то Р— проектор на соответствующее подпространство собственных векторов,иначе Р— нулевой оператор. Итак, пусть последовательность собственных значений упорядочена по возрастанию их модулей: … Тогда ясно, что последовательность

[Тх_п, х_п] =

сходится к

.

если только || Px||² +0.

Последовательность {x_2n} сильно сходится к

(Px + Px)/|| (Px– Px)||

а последовательность х_2n+1 сходится к

(Px + Px)/|| (Px– Px)||.

В более общем случае следует положить

k = inf {j: ||Px + Px||0}

и во всех последовательностях, рассмотренных выше, вместо индекса 1 подставить k. С целью ускорения сходимости процес­са можно исходить из оператора Т – Iвместо Т. Это и есть обобщение энергетического метода на бесконечномерный случай.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены линейный оператор, спектральная теория операторов и, в частности, спектральная теория компактных операторов, показано решение некоторых задач.

Наиболее изученным классом теории операторов является теория компактных операторов, но, не смотря на это, остаётся пространство для исследования и изучения более глубокого.

Решение ряда важных задач спектральной теории связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основные объекты, характеризующие спектральную задачу для оператора, такие как резольвента, собственные значения оператора и другие, являются аналитическими функциями спектрального параметра в определённых областях.

На мой взгляд данная курсовая работа будет интересна всем, кто интересуется математикой.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Ахнезер, М.Н., Глазман И.Н. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве/ М.Н. Ахнезер, И.Н. Глазман. – Киев: Виша школа, 1977. – 336 с.

2. Балакришнан, A.(BalakrishnanA.V.). Slochaslic Differential system/ A.V. Balakrishnan. – N.-Y.: Springer-Verlag, 1960. – 451 с.

3. Балакришнан, A.(Balakrishnan A.V.).Communication theory/ A.V. Balakrishnan. – N.-Y.: McGraw-Hill, 1968. – 432 с.

4. Блум, Е.(Blum E.K.). Numerical Analysis and Computation. Theory and Placlice/ Е. Блум. N.-Y.:Addison Wesley. 1972.–274 c.

5. Данфорд, Н. Линейные операторы/ Н. Данфорд, Дж. Шварц.– М.:

Наука, 1966.– 386 с.

6. Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Акилов Г.П. – М.: Наука, 1977.– 231 с.

7. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/. Л.А. Люстерник, В. И. Соболев. – М.: Наука, 1965. – 496 с.

8. Люстерник, Л.А. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом/. Л.А. Люстерник, В. И. – М.: Наука, 1961. – 442 с.

9. Садовничий, В. А. Теория операторов/ В. А. Садовничий. – М.: Издательский дом «Дрофа», 2004. – 816 с.

10. Халмош, П. (Halmos P.) Introduction to Hilbert Space Theory/ П. Халмош. – .N-Y: Chelsea Publishing Co., 1951. – 480 с.