Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и выбор сечений балок

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра механики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

По дисциплине

Cопротивление материалов

Тема

Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и

выбор сечений балок

Автор: студент гр. ИЗ-01

Кочетова Т.А

ПРОВЕРИЛ

Преподаватель доцент

Зарецкий-Феоктистов Г. Г

Санкт-Петербург 2002г.

Задача 1

Построить эпюры Q и M для консольной балки при P₁=20кН; М₁=25кН·м; q₁=10кН/м (рис.1) и подобрать диаметр балки круглого поперечного сечения из дерева;

Решение

Построение эпюр Q и М для консольных балок можно произвести, не вычисляя реакций.

Если рассечь балку в любом сечении и рассматривать часть балки между сечением и свободным концом, то в выражениях для Q и М войдут только приложенные к балке известные нагрузки.

Балка имеет три грузовых участка с длинами 3,2, 4. Начало координат расположим в центре тяжести крайнего левого сечения, ось Y направим вертикально вверх, ось X – вправо. Рассечем балку в пределах каждого грузового участка сечениями, расположенными на расстояниях x₁, x₂, х₃ от начала координат.

Первый участок характеризуется изменением абсциссы x в пределах 0≤x≤3.

Поперечная сила на первом участке постоянна: Q₁=Р=20кН.

Изгибающий момент на первом участке ;

M₁=-60кНм при х₁=0; M₁=0 при х₁=3м.

На втором участке абсцисса х изменяется в пределах 3≤х₂≤5.

Здесь поперечная сила Q₂=0; изгибающий момент М₂=М=25кНм.

На третьем участке абсцисса х изменяется в пределах 5≤х₃≤9.

Здесь поперечная сила

Q₃=-q(х₃-5); Q₃=0 при х₃=5м; Q₃=-40кН при х₃=9м

Изгибающий момент на третьем участке

при х₃=5м М₃=25кНм; при х₃=9м М₃=-55кНм.

Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 60кНм (см. рис. 1). Тогда момент сопротивления

Момент сопротивления круглого поперечного сечения относительно центральной оси

тогда необходимый диаметр балки

консольный балка поперечный ось

Рисунок 1

Задача 2

Построить эпюры Q и М для балки из дерева при q₂=5кН/м; P₂=10кН; M₂=35кНм (рис.2) и подобрать размеры балки прямоугольного поперечного сечения с отношением высоты к ширине h/b=3;

Решение

Для определения Q и М в любом сечении балки необходимо знать все внешние силы, действующие на балку, т. е. приложенные нагрузки и опорные реакции R_A и R_B.

Расположим начало координат в центре тяжести крайнего левого сечения, в точке А, ось Y направим вертикально вверх, а ось Х – горизонтально вправо (по оси балки).

На шарнирно-неподвижной опоре А неизвестную по величине и направлению реакцию заменим двумя составляющими: R_A – вертикальной, перпендикулярной оси балки, и Х_А – горизонтальной, направленной по оси Х. На шарнирно-подвижной опоре В реакция R_B направлена перпендикулярно оси балки.

Составляем следующую систему уравнений статики:

Решив ее при заданных исходных данных, получим

Для проверки составим еще одно уравнение статики, сумму проекций всех сил на ось Y

Следовательно, реакции определены верно.

Для построения эпюр Q и М необходимо определить поперечные силы и изгибающие моменты. Данная балка имеет два грузовых участка, границами которых являются опорные сечения и сечение, где приложена сосредоточенная сила Р. Чтобы составить уравнения Q и М, для каждого участка проводим произвольные сечения на расстоянии х от начала координат.

В качестве первого участка рассмотрим ту часть балки, на которую действует рассредоточенная сила q. На нем абсцисса х изменяется в пределах 0≤х₁≤4.

Здесь Q₁=R_A-qx₁; Q₁=55/9кН при х₁=0; Q₁=-125/9кН при х₁=4м.

Уравнение моментов имеет вид

при х₁=0 М₁=0;

при х₁=4м М₁=-140/9кНм.

Для уточнения вида эпюры М на первом участке необходимо определить экстремальное значение М в сечении, где Q=0. Абсцисса этого сечения может быть вычислена из уравнения

Q₁=R_A-qx=0.

Таким образом

м.

Подставив это значение в выражение М₁=R_Ax-qx²/2, найдем М_max=605/162=3,7кНм.

На втором участке абсцисса х меняется в пределах 4≤х₂≤9. На этом участке Q₂=const и Q₂=R_A+P-4q=55/9+10-20=-35/9. Уравнение моментов на этом участке имеет вид

при х₂=4м М₂=55/9·4+4·5·2=-140/9кНм;

при х₂=9м М₂=55/9·9+10·5-4·5·7=-35кНм.

Абсолютная величина максимального изгибающего момента

М_max=35кНм.

Величина момента сопротивления

.

Момент сопротивления прямоугольника относительно нейтральной оси

, откуда ;

Рисунок 2.

Задача 3

Построить эпюры Q и М для балки из стали при q₂=5кН/м; P₂=10кН; M₂=35кНм (рис.3) и подобрать номер двутавра;

Решение

Определяем опорные реакции. Так как приложенные нагрузки вертикальны, реакция Х_А=0.

Для вычисления реакции R_А составляем сумму моментов всех сил относительно точки В

Решая это уравнение относительно R_A и подставляя значения входящих в него величин, получим

Отрицательный знак реакции R_A показывает, что выбранное направление неверно и его следует изменить на противоположное.

Для вычисления реакции R_B составляем сумму моментов всех сил относительно очки А

Подставляя в это уравнение исходные данные, и решая его относительно R_B, получим

.

Для проверки правильности вычисления реакций составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось Y:

Таким образом, реакции определены правильно.

Для определения поперечных сил и изгибающих моментов выделяем четыре грузовых участка и нумеруем их слева направо. Для составления уравнений Q и М необходимо в пределах каждого участка провести произвольное сечение и рассматривать часть балки по одну сторону от сечения. При этом для первого и второго участков проще рассматривать часть балки слева от сечения, для третьего и четвертого – справа от сечения. В соответствии с этим абсциссу для первого и второго участков будем отсчитывать от точки А, для третьего и четвертого – от точки С.

Рисунок 3.

Из рисунка 3 видно, что М_max=45кНм.

Вычисляю момент сопротивления