Математические методы в АСУ

Управлять, естественно, всегда стремятся как можно лучше - обеспечить выпуск продукции лучшего качества с минимальными издержками, достичь наивысшей производительности труда, быстрее достичь намеченной цели и т. д., и т. п.

Качество управления прямо зависит от качества принимаемых решений и точности их реализации. При поиске лучших решений часто недостаточно только опыта и интуиции тех, кто принимает решения. Лиц, принимающих решения (сокращенно ЛПР), требуется вооружить соответствующими методами и инструментами принятия решений, позволяющими находить приемлемые решения, сравнивать их между собой и выбирать наиболее подходящие для имеющихся условий и требований. Одним из таких инструментов являются математика и экономика - математические методы. Название «экономико-математические» эти методы получили из-за того, что решаемые с их помощью задачи имеют экономический смысл, а формулируются и решаются с помощью математики. Математические выражения связывают основные факторы, влияющие на качество решений, манипуляции с ними помогают находить искомые решения.

Формализованная постановка задач управления позволяет использовать средства вычислительной техники для анализа допустимых управляющих решений, поиска наиболее рационального или даже оптимального решения. За руководителем остается принятие окончательного решения, а также учет и анализ трудно формализуемых факторов, влияющих на функционирование объекта управления. Нахождение оптимальных планов производства, наиболее рациональных маршрутов перевозок, определение оптимального уровня запасов и т.д.- примеры задач, решаемых с помощью экономико-математических методов. Попытки применения математики для решения экономических задач начались до появления ЭВМ и АСУ. Еще в 1939 г. Л. В. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства». Тем не менее действительно широкие paботы, направленные на внедрение экономико-математических методов в сферу управления, связаны с применением ЭВМ. Ибо без ЭВМ практически невозможно решать реальные задачи управления, характеризующиеся большой размерностью и значительным числом переменных и ограничений.

По существу, самые первые работы по АСУ связаны с попытками математической формулировки задач управления и их решения с помощью ЭВМ. На разработку экономико-математических методов были выделены значительные материальные ресурсы, с их применением были связаны большие надежды. Однако, к сожалению, большинство из этих надежд не оправдалось. По оценкам на 1979 г. оптимизационные задачи составляли не более 5% общего числа задач в АСУ предприятиями и объединениями и 3% в отраслевых АСУ. Причин неоправдавшихся надежд несколько. В работающей АСУ математика - это лишь инструмент, с помощью которого можно управлять лучше, чем без него, причем инструмент, используемый наряду с целым рядом других. Чтобы применить математику при выполнении конкретных работ, нужно не только иметь соответствующие математические модели и методы (инструменты и методы пользования ими), но и создать условия для их применения, предусмотреть их применение в общем потоке работ и, наконец, уметь ими пользоваться. Каждый из этих этапов труден сам по себе. Недоработки на любом из них делают невозможным применение математики при управлении.

К математическим моделям для АСУ предъявляется ряд требований. Во-первых, математическая модель объекта управления должна достаточно полно (адекватно) описывать основные закономерности его функционирования. Во-вторых, должна быть ориентирована на использование определенных методов (или группы методов), с помощью которых можно найти искомое решение. В-третьих, время нахождения управляющих решений должно быть приемлемым. При этом определенные ограничения накладываются используемой ЭВМ- ее быстродействием и объемом памяти.

Применение математических моделей должно предусматриваться при создании АСУ, а сами модели должны быть такими, чтобы их можно было непосредственно использовать в процессе управления. Это непременное условие требует тесной увязки разработок моделей с выбором структуры выполнения работ, требует соответствующего информационного обеспечения, новых методов ведения работ и даже новых форм документов. Это требование связано с тем, что математические модели должны быть органически включены в поток работ системы управления. Поэтому разработчики математических моделей, помимо знания математики, должны четко представлять себе сущность самих задач или функции управления, знать возможности используемой ЭВМ, возможности и структуру математического обеспечения, процедуру работ. Наконец, применяемые модели необходимо обеспечить соответствующей информацией. Как бы хорошо модель ни описывала поведение объекта, если на практике невозможно получить достоверные данные о значении всех переменных, входящих в модель, то ее использование невозможно. Ограничения, накладываемые ЭВМ, возможностями информационного обеспечения, и ряд других часто приводят к необходимости огрубления моделей, т. е. нахождения приближенных описаний поведения объектов управления. При этом, естественно, существуют пределы, за которые выходить нельзя, чтобы не получить недостоверные результаты.

Использование математических моделей в работе системы управления требует наличия соответствующей нормативной базы, наличия классификаторов, оперативно корректируемой информации, адекватного технического обеспечения и т.д. Отсутствие всех этих факторов - одна из причин недостаточного уровня применения математики в АСУ.

Другая причина - чисто «математическая». Чтобы применить математическую модель, ее нужно иметь. Сложность реальных задач, необходимость учета множества часто весьма разнородных параметров и ограничений, нелинейностей, случайных событий определяют трудности с разработкой самих математических моделей, причем таких, которые можно непосредственно использовать в процессах управления для получения лучших управляющих решений. Практика показала, что для административного управления нужна «своя» математика, так как классические аналитические методы, с успехом применяемые при управлении техническими объектами, часто «не работают» в системах организационного управления (хотя в ряде случаев их применение позволяет получить необходимые результаты). Аналитические методы пригодны тогда, когда модель представляет собой систему сравнительно небольшого числа линейных или разностных уравнений первого или второго порядка, и малопригодны в случае больших порядков, необходимости учета нелинейностей, случайных возмущений. На практике не так много задач, которые могут быть решены классическими оптимизационными методами или методами математического программирования.

Применение аналитических методов в управлении связано с решениями оптимизационных задач, т.е. с нахождением экстремальных значений некоторых функций, описывающих связь выбранного критерия оптимальности с параметрами, определяющими их значения при имеющихся ограничениях. Именно сложность получения подобной функциональной зависимости, причем такой, которая может быть разрешена аналитическими методами и непосредственно использована при управлении, обусловила ограниченное применение аналитических методов в АСУ. Аналитические модели особенно полезны для получения решений-ориентиров, относительно которых происходит «доводка» решений до уровня управляющих. Такие модели позволяют получить предплановые ориентировки в системах планирования.

В области применения математических методов для управления в настоящее время ведутся большие работы; условно их можно разбить на два направления. Первое из них связано с использованием традиционного аналитического подхода, второе - с разработкой и внедрением математических методов, учитывающих специфику управления и прямо рассчитанных на применение в процессе управления. Первое направление (о котором речь шла выше) разрабатывает приближенные модели, хотя и огрубляющие математическое описание реальных процессов, но все же позволяющие получить необходимые данные.

Следует заметить, что сложность задач управления, большая размерность математических уравнений, являющихся моделями этих задач, как правило, делают нереальной и нецелесообразной разработку единых «глобальных» моделей, описывающих работу всей системы управления, ее отдельных функций.

Как уже говорилось выше, автоматизация выполнения функций осуществляется путем постепенного перевода на ЭBM отдельных задач и их комплексов. При расчленении функций, их декомпозиции математическая модель целой функции представляет собой комплекс математических моделей отдельных задач (очевидно, речь при этом должна идти о комплексе взаимосвязанных моделей, а не о простом их наборе). Модели должны строиться таким образом, чтобы они были не только эквивалентны реальным проблемам, но и могли решаться с помощью имеющихся вычислительных средств. Нужно отметить, что далеко не всегда подобный комплекс удается разработать. Поэтому возможен путь разработки моделей отдельных задач или комплексов с их распределением между сотрудниками в процессе работы. На сегодня это, пожалуй, один из наиболее реальных путей внедрения математических методов; непосредственно в работу систем управления.

Второе направление, связанное с разработкой так называемых алгоритмических методов, непосредственно предназначенных для работы в системах организационного управления, сейчас интенсивно развивается. Это методы численного анализа, или машинной имитации.

В практике управления постоянно требуется оценивать эффективность (качество) принимаемых решений. При этом необходимо оценивать влияние различных факторов на эффективность - изменений маршрута прохождения деталей на производительность оборудования, изменения цены на спрос и т. д., и т. п. При решении таких зада приходится иметь дело с множеством чисел - отсюда название «численные методы». Причем результаты вычислений также нужны в численной форме. В большинстве случаев аналитические методы при этом непригодны. Приходится обращаться к численным методам машинной обработки.

Машинная имитация - это эксперимент, проводимый с помощью ЭВМ не на реальном объекте, а на его модели, описывающей поведение изучаемой системы в течение определенного отрезка времени с введением в случае необходимости изменений в значение параметров, и структуру и взаимосвязь. При этом модель объекта не обязательно должна быть записана в виде математических уравнений - она может быть словесным описанием операций, производимых над набором чисел, вместе со значениями этих чисел (так называемая операторная форма записи). Эти модели дают алгоритм, т. е. последовательность действий, операций, осуществление которых приводит к искомому конкретному решению. Другими словами, алгоритмические методы дают не столько решение, сколько способ его нахождения, что существенно расширяет их возможности по сравнению с аналитическими методами.

Так как имитационные модели рассчитаны на машинную работу, очевидно, что помимо самой модели, нужно иметь средства ввода ее в ЭВМ и соответствующие программы обработки данных и выдачи результатов из машины. При имитационном моделировании все эти составляющие образуют единый комплекс - средства ввода данных, сами данные, модель, описывающая взаимосвязь данных и манипуляции с ними, программы обработки модели и выдачи результатов обработки на ЭВМ.

Модели, рассчитанные на машинный эксперимент, должны удовлетворять ряду требований, в частности не занимать много времени на программирование. Запись имитационных моделей в оперативной форме делает их весьма удобными для программирования на ЭВМ и, кроме того, облегчает разработку специальных языков для реализации этих моделей на ЭВМ.

Еще раз отметим, что машинная имитация систем представляет собой серию численных расчетов, имеющих целью получить эмпирические оценки влияния различных факторов (их значений) на выходные параметры системы. При этом модели могут представлять собой тождества либо уравнения. Тождества имеют форму тавтологических утверждений относительно компонент системы либо принимают форму определений. Такими тождествами могут быть, например, значения прибыли, равной разности между доходами и затратами.

Уравнения, используемые в имитационном моделировании, отражают предположения, связывающие управляемые переменные, внешние возмущения и результаты тех или иных действий или решений. В реальных условиях значения ряда переменных являются случайными. Поэтому характеристики функционирования систем в этих случаях имеют вид законов распределения вероятностей, конкретные значения переменных получаются на основе статистических выводов.

С помощью численных (алгоритмических) методов решаются модели массового обслуживания и управления запасами, ряд моделей оперативного планирования и управления производством, финансовые модели, модели деловых игр и т. д. Пожалуй, именно на модели деловой игры наиболее наглядно можно представить применение машинных экспериментов в управлении. Деловая игра - это численный эксперимент с моделью, причем при самом активном участии человека на этапах принятия решений. Эксперименты с моделью позволяют наблюдать влияние различных параметров на результаты функционирования системы, изменяя и уточняя различные предположения в модели, вводя изменения в функциональные характеристики и расчетные формулы.

Еще одна и достаточно принципиальная особенность моделей машинной имитации связана с тем, что многие из них позволяют ЛПР участвовать в нахождении решений, вмешиваться в процессы счета. Это достигается использованием режима диалога с ЭВМ.

Модели для машинных экспериментов, рассчитанные на практическое применение, должны удовлетворять ряду требований. Одно из них - удобство ввода данных и изменения их значений, а также подготовка машинных программ для осуществления экспериментов на ЭВМ. Если исходные данные могут быть введены и в пакетном режиме, то изменение их значений, т. е. оперативное изменение параметров функционирования систем, лучше (а часто просто необходимо) вести в диалоговом режиме. Есть несколько вариантов организации такого диалога.

Простейший вариант состоит в том, что лицо, принимающее решение, из каких-либо соображений (опыт работы, неформальный анализ складывающейся ситуации) формирует набор управляющих воздействий - переменных, связанных соотношениями, образующими математическую модель объекта, после чего ЭВМ проверяет, выполняются ли эти соотношения, т.е. является ли набор управляющих воздействий допустимым. Если да, то по просьбе ЛПР машина может вычислить значения показателей качества управления, формализованные в виде функций. После анализа результата этих вычислений ЛПР, опять-таки исходя из определенных соображений, может поменять набор управляющих воздействий, ЭВМ проверит новый набор на допустимость, снова вычислит значения показателей качества управления, сравнит их с результатами предыдущих вычислений и т. д. Если предложенный набор управляющих воздействий на каком- то этапе окажется недопустимым, можно получить из ЭВМ перечень соотношений, входящих в математическую модель объекта, которым этот набор не удовлетворяет, попытаться «подправить» его, чтобы сделать допустимым.

К сожалению, в реальных моделях «подправить» недопустимый набор на основе одной только интуиции практически невозможно. Это обстоятельство приводит к тому, что диалог становится более сложным (и более содержательным) и для человека, и для машины: на ЭВМ возлагается формирование допустимых наборов управляющих воздействий и «исправление» недопустимых. Для формирования допустимых наборов управляющих воздействий могут в свою очередь использоваться математические модели, а для «исправления» недопустимых разрабатываются специальные поисковые алгоритмы.

Использование универсальных алгоритмических языков часто неудобно для разработки программного обеспечения машинных экспериментов и обеспечения общения человека с ЭВМ. Стремление максимально упростить общение с ЭВМ обусловило работы по созданию специальных языков имитационного моделирования (ЯИМ), в которых предусматриваются способы организации данных, обеспечивающие простое и эффективное моделирование, удобные средства формализации и воспроизведения динамических свойств моделируемой системы и возможность имитации стохастических систем, т. е. процедуры генерирования и анализа случайных величин и временных рядов.

Способы организации данных предусматривают структуру их представления, позволяющую изменять как отдельные значения, так и целый набор данных. В частности, это удобно делать с помощью так называемых древовидных структур, списочной организации данных, набора данных. Такие структуры позволяют достаточно легко оперировать с массивами, добавляя новые данные, изменяя значения старых, контролировать и направлять информационные потоки. При этом человеку обеспечивается постоянный доступ к информации, хранящейся в памяти ЭВМ. Наконец, языки имитационного моделирования включают в себя механизмы, позволяющие описывать динамику состояния систем, смену их состояний во времени. Все это дает возможность описывать поведение имитируемых систем в терминах, специально созданных на базе основных понятий имитации. Особенно важно, что в основе языков имитационного моделирования лежат естественные языки.

Хотя в настоящее время численные методы решения экстремальных задач достаточно хорошо разработаны (по крайней мере для определенных классов задач) выбор конкретного метода для использования в АСУ представляет собой нетривиальную задачу, поскольку для одной и той же модели методы отыскания управляющих воздействий могут отличаться по скорости сходимости, времени счета, объему требуемой памяти ЭВМ и ряду других показателей. Более того, случается, что методы, в целом хорошо «работающие» в определенном классе задач, для конкретной задачи этого класса могут оказаться хуже, чем «менее хорошие».