Геофизический “диалект” языка математики

В.Н. Страхов

Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва

1. В 1995 г. в статье “ Геофизика и математика” , см. [1], автор впервые сформулировал следующее утверждение: математика является языком науки в целом, но каждая конкретная наука должна “ разговаривать” на собственном (специфическом) диалекте этого языка.

2. В XX веке внедрение математических методов в геофизику (“ освоение языка математики” ) шло в основном путем заимствования готовых результатов и методов, прежде всего из математической физики и теории некорректно поставленных задач, но также из теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Однако, по мнению автора, эпоха разработки методов постановки и решения задач, возникающих к геофизике на этапе интерпретации данных наблюдений различных элементов физических полей, на основе заимствования результатов и методов, разработанных в различных разделах математики, закончилась. Необходимо осознать подлинную суть “ геофизического диалекта” языка математики и начать формирование принципиально новой математической геофизики.

3. Над указанными общими соображениями автор размышлял последние 5 лет; важный этап в формировании его понимания сути “ геофизического диалекта” языка математики состоял в осознании недостатков (по его терминологии – “ дефектности” ) классических конструкций аддитивной параметровой регуляризации конечномерных линейных некорректных задач (статья “ Критический анализ классической теории линейных некорректных задач” , см. [2]).

4. Чтобы лучше (точнее и глубже) понять сущность “ геофизического диалекта” языка математики, целесообразно за основу взять основополагающие установки, с одной стороны – математической физики и классической теории некорректно поставленных задач (отождествляя эти установки с установками математики в целом), а с другой стороны – новой математической геофизики (находящейся, по мнению автора, еще в процессе становления).

При этом целесообразным представляется выделение следующих трех типов установок:

I) относящихся к выбору базовых математических теорий при изучении физических полей, к идейным постановкам задач и способам их исследования;

II) относящихся к учету априорной информации о свойствах искомого решения и помех во входных данных – в случае некорректно поставленных задач (и прежде всего – в случае конечномерных линейных некорректных задач);

III) относящихся к разработке численных алгоритмов и тех конкретных компьютерных технологий решения задач, которые являются основным рабочим инструментом и которые предоставляются в распоряжение исследователей.

Ниже дается более подробная характеристика указанных трех типов установок (в математической физике и классической теории некорректных задач – с одной стороны, и в математической геофизике – с другой).

5. Начнем с характеристики установок первого типа. Установки математической физики и теории некорректных задач перечисляются (здесь и всюду ниже) под буквой А, установки же математической геофизики – под буквой Б.

А. Используются исключительно теории континуальных физических полей, описываемые дифференциальными уравнениями или системами подобных уравнений, в частных производных (в основном – линейными) для основных элементов полей (скалярных или векторных потенциалов). Основные задачи, изучаемые в рамках континуальных теорий – прямые и обратные, а также краевые (если поля зависят от времени). Основные аналитические объекты, рассматриваемые в рамках континуальных теорий физических полей – бесконечномерные (функции, являющиеся элементами банаховых пространств; операторы, действующие из одних функциональных пространств в другие; бесконечномерные функционалы, определенные на элементах банаховых пространств, и т.д.). Основные решаемые задачи – типа операторных уравнений в банаховых ( или более узко – гильбертовых) пространствах, задачи нахождения значений операторов (чаще всего – линейных, но неограниченных) на элементах функциональных (банаховых, гильбертовых) пространств, задачи минимизации (условные и безусловные) бесконечномерных функционалов. Используется классификация решаемых (бесконечномерных) задач на корректно и некорректно поставленные. Основные позиции, используемые при анализе задач: 1) проблема существования решений задач при определенных (бесконечномерных) данных; 2) проблема единственности решений задач; 3) проблема устойчивости решений задач. Основные результаты исследований задач: а) теоремы существования, единственности и устойчивости – для корректно поставленных задач; б) теоремы условного существования, условной единственности и условной устойчивости – для некорректно поставленных задач; в) теоремы регуляризации (сходимости) для методов решения некорректных задач.

Процедуры дискретизации пространственных переменных, соответственно дискретизации дифференциальных уравнений используются только в локальном варианте – при разработке численных методов решения краевых (начально-краевых) задач. Общая методология аппроксимационного подхода при решении основных (бесконечномерных) задач не формулируется. Создание компьютерных технологий решения задач не считается главным.

Б. Наряду с теориями континуальных физических полей используются также теории дискретных физических полей (которые возникают при дискретизации всего трехмерного евклидова пространства, а также при конечномерной аппроксимации дифференциальных уравнений); при этом вместо краевых условий используются конструкции регуляризации. Результаты, полученные в рамках математической физики для конечномерных аналитических объектов и задач (теоремы единственности, теоремы сходимости и т.д.) используются в ограниченном объеме. Основное значение придается разработке единого аппроксимационного подхода к построению решений бесконечномерных задач, т.е. переходу от бесконечномерных объектов и задач к конечномерным, которым придается определяющее значение. Решаемые конечномерные задачи также подразделяются на корректно и некорректно поставленные, основное значение придается проблеме нахождения приближенных решений линейных некорректно поставленных задач, т.е. нахождения приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. При этом главной целью всех теоретических построений является создание эффективных компьютерных технологий.

6. Переходим к характеристике установок второго типа.

А. В математической физике и классической теории некорректных задач, хотя и принимается, что решения некорректных задач могут быть получены лишь при использовании так называемой априорной (дополнительной) информации о свойствах искомого решения и помех во входных данных, однако фактически принимается стратегия использования минимальных объемов априорной информации. Именно, используется только та априорная информация, которая обеспечивает факт регулярности предлагаемых (разрабатываемых) методов, т.е. сходимости решений к точным при снижении интенсивности помех (в принятых метриках) до нуля. При этом основные разрабатываемые методы относятся к бесконечномерным задачам, на конечномерные они распространяются без всяких изменений.

Проблема повышения точности и надежности получаемых решений за счет использования максимально возможных объемов априорной информации по существу не рассматривается.

Б. В математической геофизике основное значение придается проблеме получения максимально надежных и точных решений конечномерных задач, и прежде всего – задач нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. В связи с этим в рассмотрение вводится множество различных (по типам помех во входных данных, по имеющимся объемам априорной информации о помехах) постановок некорректных задач. В качестве самостоятельной (имеющей принципиальное значение) рассматривается задача нахождения различных характеристик помех непосредственно по тем заданным (из наблюдений) величинам, по которым ищутся решения задач.

7. Далее переходим к характеристикам установок третьего типа.

А. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий не рассматривается как имеющая принципиальное значение. Это, так сказать, чисто техническая проблема, которая в каждом конкретном случае должна решаться по-своему. Никакая общая методология, на основе которой должна разрабатываться проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий, не создается.

Б. В рамках же математической геофизики рассматриваемой проблеме придается первостепенное значение. Утверждается, что в разрабатываемых численных алгоритмах и компьютерных технологиях прежде всего должны реализовываться установки общей методологии интерпретации геофизических данных, и прежде всего – концепция методообразующих идей [3]. Последние имеют иерархическое строение, на верхнем уровне фундаментальных идей последних всего пять:

1) идея использования аналитических аппроксимаций (изучаемых функций, уравнений и задач);

2) идея критериальности (использования специальных критериев, которым должны удовлетворять искомые решения);

3) идея алгебраизации (желательно решения задач искать как решение одной, либо некоторой совокупности, систем линейных алгебраических уравнений);

4) идея согласования множества допустимых решений (в силу наличия неопределенности в используемой априорной информации число допустимых – не противоречащих априорной информации – решений может быть целое множество; но пользователю желательно иметь в конечном итоге всего одно решение, отсюда необходимость в конструировании окончательного решения по множеству допустимых);

5) идея использования методов распознавания образов – в рамках как разрабатываемых численных алгоритмов, так и создаваемых компьютерных технологий.

В математической геофизике принципиально важным принимается использование методов распознавания образов – как при формировании тех объемов априорной информации, которая далее используется в алгоритмах нахождения искомых решений некорректных задач, так и при анализе хода вычислительного процесса, при управлении этим ходом.

8. Необходимо подчеркнуть еще ряд важных позиций, по которым имеется принципиальное различие между установками математической физики и теории некорректно поставленных задач – с одной стороны, и новой математической физики – с другой. Этих позиций восемь.

а) В математической геофизике фундаментальное значение имеет проблема комплексного использования данных нескольких геофизических методов – в целях построения наиболее надежных и точных моделей строения земных недр, а также протекающих в них геодинамических процессов. В математической физике и классической теории некорректных задач данная проблема по существу не рассматривается.

б) В целом ряде геофизических методов (гравиметрия, магнитометрия, геоэлектрика) важнейшее значение имеет проблема построения метрологических линейных аппроксимаций функций, описывающих элементы изучаемых физических полей на поверхности Земли и в ее внешности. Такие аналитические аппроксимации должны строиться непосредственно по данным измерений различных характеристик внешних полей – в конечном числе точек, произвольно расположенных на поверхности Земли и в ее внешности. Решение данной проблемы позволит принципиально изменить информационную основу геофизики – аналитические аппроксимации должны заменить карты. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач проблема построения аналитических аппроксимаций элементов физических полей по существу не рассматривается.

в) Создаваемые в рамках математической геофизики алгоритмы решения задач (соответственно – реализующие их компьютерные технологии) организуются так, чтобы получались некоторые внутренние оценки надежности и точности получаемых решений. Такие оценки оказываются возможными потому, что и данные наблюдений, и имеющаяся априорная информация подразделяются на две части: во-первых, непосредственно используемая в вычислительном процессе, т.е. в процессе нахождения искомого решения задачи, а во-вторых, не используемая в вычислительном процессе, но используемая в специальных процедурах оценки точности и надежности полученных решений (иначе – контрольные данные). При получении неудовлетворительных оценок процедура нахождения решения задачи должна повторяться – при иной организации используемых данных и априорной информации. Такая переорганизация процедуры нахождения решения может производиться несколько раз. Ясно, что в рамках математической физики и теории некорректных задач подобного рода аспекты нахождения решений задач не рассматриваются вовсе.

г) В рамках математической физики рассматривается целое множество моделей помех во входных данных, которые фактически не рассматриваются в классической теории некорректных задач. Во-первых, это модели мультипликативно-аддитивных помех, при этом каждая из составляющих этой модели характеризуется целым набором числовых величин. Во-вторых, это модели помех разнородных и разноточных, т.е. с “ блочной характеристикой” . Иначе говоря, вектор помехи наделяется блочной структурой, и каждый блок (парциальный вектор помехи) наделяется собственными (различными) характеристиками помехи. Используется еще и ряд других моделей помех во входных данных решаемых задач.

д) В математической геофизике используется принципиально новый метод нахождения аналитических аппроксимаций элементов физических полей – метод интегральных представлений, который призван заменить классический метод интегральных уравнений. При этом важнейшим частным случаем этого метода является метод линейных интегральных представлений. Данные методы, см. [3,4], созданы именно в математической геофизике, они не разрабатывались в математической физике и классической теории некорректных задач.

е) В рамках математической геофизики важнейшей вычислительной проблемой признается проблема нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными, большой (P=NM=10⁸–10⁹) и сверхбольшой (P=NM  10¹⁰) размерности (здесь N – число уравнений в системе, М – число подлежащих определению неизвестных – компонент вектора x). В силу этого в ней предложен целый ряд принципиально новых конструктивных идей, используемых при разработке алгоритмов нахождения искомых решений линейных систем, см. [5-21]. Здесь прежде всего следует отметить идею редукции систем к канонической форме (в которой вектор правой части системы имеет всего одну ненулевую компоненту), идею редукции систем в канонической форме к решению одного уравнения с одной неизвестной, идею адаптивной регуляризации (основанной на использовании специальных – так называемых корреляционных ортогональных преобразований матриц систем (Прим. автора: здесь особо следует подчеркнуть тот факт, что в рамках той новой теории регуляризации систем линейных алгебраических уравнений, которая разрабатывается автором в последние годы, см. [ ], использование новых ортогональных преобразований (не рассматривавшихся ранее в вычислительной линейной алгебре) имеет в некотором смысле определяющее значение.)) и целый ряд других конструктивных идей, на которых здесь нет возможности останавливаться. Созданные в рамках математической геофизики новые алгоритмы нахождения приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений являются новыми и для вычислительной линейной алгебры.

ж) В рамках новой математической геофизики разрабатывается принципиально новый подход к решению обратных геофизических задач, прежде всего – в гравиметрии и магнитометрии, в котором отпадает необходимость в решении сложных (по аналитике) прямых задач. (Напомним здесь, что основной метод решения обратных задач геофизики основывается на многократном варьировании моделей изучаемой геологической среды, решении соответствующих задач для каждой из моделей и сопоставлении вычисленных – для каждой модели – величин с данными наблюдений.) В рамках нового подхода, используемого в рамках теорий дискретных физических полей, используются два приема:

во-первых, прием построения эквивалентных распределений источников полей,

во-вторых, прием преобразования принимаемых модельных источников поля в соответствующие им эквивалентные.

В настоящее время возникает важная задача внедрения нового подхода в практику интерпретации геофизических данных, прежде всего – данных гравитационных и магнитных наблюдений.

3) Математическая геофизика и классическая теория некорректных задач не являются “ привязанными” к приложениям в какой-то конкретной науке. Их миссия – разработка тех основных теоретических положений, которые могут (и по существу – должны!) использоваться в самых различных науках. Именно в этом и состоит мотивация тех используемых в математической физике и классической теории некорректных задач и приведенных выше установок (трех типов) и которые естественным образом отличаются (обязаны отличаться!) от установок (новой) математической геофизики. Действительно, математическая геофизика, по данной автором переформулировке классического изречения Клаузевица (Прим. автора:Речь идет о следующем изречении: “Война есть продолжение политики другими средствами”.), имеет сугубо подчиненное значение: “ Математическая геофизика есть реализация установок общей методологии интерпретации геофизических данных средствами математики”.

Именно этим определяется различие в общих установках, именно этим определяются данные выше семь дополнительных позиций, именно в этом состоит восьмая позиция.

9. В заключение автор хотел бы подчеркнуть еще три момента.

Первый момент. Приведенные выше утверждения и соображения еще не стали “ общим местом” , еще не сформировали новый стереотип мышления геофизиков, занимающихся вопросами теории и практики интерпретации геофизических данных. Необходима огромная работа в этом направлении.

Второй момент. Изложенные в работе идеи никогда не станут эффективным средством решения задач геофизики, если на их основе не будет создано (по единому плану!) соответствующие компьютерные технологии. Нужна специальная (высокого уровня, желательно – государственного) программа создания таких технологий.

Третий момент. Изложенные в работе идеи не смогут быть быстро внедрены в сознание широкого круга геофизиков-производственников, если они не будут (притом самым быстрейшим образом) внедрены в высшее геофизическое образование. Подобное же внедрение требует целого ряда мероприятий, и прежде всего – написания принципиально новых учебников.

Автор надеется, что высказанные им соображения, утверждения и предложения станут предметом обсуждения на страницах геофизических журналов.

Обстоятельная конкретизация, в собственно математическом плане, приведенных в работе положений и утверждений, будет дана в серии последующих работ автора.

Список литературы

1. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. № 12. С.4-23.

2. Страхов В.Н. Критический анализ классической теории линейных некорректных задач // Геофизика. 1999. № 3. С.3-9.

3. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

4. Страхов В.Н. О построении аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65-125.

5. Страхов В.Н. Общая теория нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными правыми частями и матрицами, возникающих при решении задач геофизики // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997.С.38-42.

6. Страхов В.Н. Математический аппарат, используемый при конструировании алгоритмов нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих в задачах гравиметрии и магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.43-75.

7. Страхов В.Н. Экстремальные задачи, непараметрическая регуляризация и фильтрация в теории нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными правыми частями и матрицами // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.76-88.

8. Страхов В.Н. Обобщенные QR-алгоритмы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении линейных задач гравиметрии и магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С.87-88.

9. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр. науч.-инф. журн. “Вестник ОГГГГН РАН”, № 1(3)'1998, М.:ОИФЗ РАН, 1998.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/dgggms/1-98/3par3_00.htm

10. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 с.

11. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. II. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 с.

12. Страхов В.Н., Страхов А.В. К теории регуляризации линейных некорректных задач гравиметрии и магнитометрии. Ч. I // Электр. науч.-инф. журн. “Вестник ОГГГГН РАН”, № 1(7)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/1-99/strakh-1.htm#begin

13. Страхов В.Н., Страхов А.В. К теории регуляризации линейных некорректных задач гравиметрии и магнитометрии. Ч. II // Электр. науч.-инф. журн. “Вестник ОГГГГН РАН”, №3(9)'1999, М.:ОИФЗ РАН, 1999.

URL: http://www.scgis.ru/russian/cp1251/h_dgggms/3-99/strakh-2.htm#begin

14. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 с.

15. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 1. Редукция к системам в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 4. С.545-548.

16. Страхов В.Н., Страхов А.В. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 2. Методы решения систем в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 5. С.683-686.

17. Страхов В.Н., Страхов А.В.Аппроксимационный подход к решению задач гравиметрии и магнитометрии. I. Основная вычислительная проблема – регуляризация систем линейных алгебраических уравнений // Российский журнал наук о Земле. Т.1, № 4, июль 1999. С.271-299.

18. Страхов В.Н., Страхов А.В. Аппроксимационный подход к решению задач гравиметрии и магнитометрии. II. Новые методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью // Российский журнал наук о Земле. Т.1, № 5, сентябрь 1999. С.353-400.

19. Страхов В.Н. Основы новой теории регуляризации систем линейных аналитических уравнений с приближенными данными // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 27-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, Москва, 31 января – 4 февраля 2000 г. М.: ОИФЗ РАН, 2000. С.178-179.

20. Страхов В.Н. Субоптимальные алгоритмы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Докл. РАН. 2000. Т.373, № 4.

21. Страхов В.Н., Страхов А.В. Метод блочного координатного спуска для нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью большой и сверхбольшой размерности, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Докл. РАН. 2000.