Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x_n}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|x_n-a|<e.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x_n}. Тогда, используя специальное представление для элементов x_n сходящейся последовательности {x_n}, получим x_n=а+a_n, x_n=b+b_n, где a_n и b_n – элементы бесконечно малых последовательностей {a_n} и {b_n}.

Вычитая данные соотношения, найдем a_n-b_n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a_n-b_n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

x_n=а+a_n,

где a_n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a_n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a_n|£А. Поэтому | x_n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x_n}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x_n-a} и {x_n+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x_n-a) – (x_n+1-a)}={x_n– x_n+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x_n– x_n+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}.Тогда:

x_n=а+a_n, y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n) - (а - b) =a_n-b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}, то x_n=а+a_n, y_n=b+b_n и x_n×y_n=a×b+a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. Следовательно,

x_n×y_n-а×b=a×b_n+b×a_n+a_n×b_n.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×b_n+b×a_n+a_n×b_n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x_n×y_n-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x_n×y_n} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {y_n} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть . Так как b¹0, то e>0. Пусть N – номер, соответствующий этому e, начиная с которого выполняется неравенство:

|y_n-b|<e или |y_n-b|<

из этого неравенства следует, что при n³N выполняется неравенство |y_n|>. Поэтому при n³N имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при условии, что предел {y_n} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y_n} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, то

.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x_n³b (x_n£b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).

Доказательство: Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {x_n}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство

|x_n-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<x_n-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим x_n<b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x_n=1/n, то x_n>0, однако .

Следствие 1: Если элементы x_n и у_n у сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n£ у_n, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {y_n-x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£x_n£b, то a£c£b.

ТЕОРЕМА: Пусть {x_n} и {z_n}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n}удовлетворяют неравенствам x_n£y_n£z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {y_n-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x_n-а £ y_n-а £ z_n-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {y_n-a} удовлетворяют неравенству

|y_n-a| £ max {|x_n-a|, |z_n-a|}.

Так как и , то для любого e>0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n³N₁ |x_n-a|<e, а при n³N₂ |z_n-a|<e. Итак последовательность {y_n-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n_e, что n_e>. Поэтому для всех n³n_e, а это означает, что .

2. Последовательность сходится и , что следует из того, что

, и того, что .

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, … удовлетворяет условию

(m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а₀=0, имеем:

a_n=a_qm+r£a_m+a_m+…+a_m+a_r=qa_m+a_r,

,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

,

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2a_m-1<a_2m<2a_m+1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a₁|+2^-1+2^-2+2^-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2^m+e₁2^m-1+e₂2^m-2+…+e_m (e₁, e₂, …, e_m = 0 или 1)

согласно предположению

.

Применяя теорему (1) для данных:

s₀=0, s₁=, s_m-1=, s_m=, …, p_n0=0, p_n1=, …, p_{n, m-1}=,

, p_{n, m+1}=0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s₁, s₂, …, s_n, … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s_n-s_n+1|<d. Пусть, далее, s_n1 (n₁>N) лежит в первом интервале и s_n2 (n₂> n₁) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t₁, t₂, … , t_n, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

.

Тогда числа t₁, t₂, … , t_n, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v₁, v₂, … , v_n, … - положительные числа, v₁ £ v₂ £ v₃ … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l₁, l₂, l₃, … , l_m, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l₁, l₂, l₃, … , l_n-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l₁, l₂, l₃, … , l_m; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого l_n<h. Тогда:

n>m; l_n<l₁, l_n<l₂, …, l_n<l_n-1.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l₁, l₂, l₃, … , l_m, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n превосходит все следующие за ним члены l_n+1, l_n+2, l_n+3,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l₁, l₂, l₃, … , l_m, … (l_m>0),

s₁, s ₂, s ₃, … , s _m, … (s₁>0, s_m+1>s_m, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l_n>l_n+1, l_n>l_n+2, l_n>l_n+3, …

l_ns_n>l_n-1s_n-1, l_ns_n>l_n-2s_n-2, … l_ns_n>l₁s_1,

РЕШЕНИЕ:

Будем называть l_m «выступающим» членом последовательности, если l_m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член l_v заключается (для v>n₁) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n_r-1<v<n_r. Имеем последовательно:

,

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l₁s₁, l₂s₂, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть k – наименьший номер, для которого <h. Тогда:

k>m; .

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем . Пусть минимум последовательности

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, …

Будет L_n-nA; тогда

L_n-u-(n-u)A³ L_n-nA; L_n+v-(n+v)A³ L_n-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l₁, l₂, l₃, … , l_m, … предполагается лишь, что

.
Пусть, далее, А>l₁. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®¥, то также n®¥.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l₁+l₂+l₃+…+l_m=L_m, m=1, 2, 3, …; L₀=0.

Так как L₁-A<0, то L₀-0 не является минимумом в предыдущем решении. l_n+1³A; поэтому l_n+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l₁, l₂, l₃, … , l_m, … удовлетворяет условиям

,

Пусть, далее, l₁>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А®0, то также n®0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l₁+l₂+l₃+…+l_m=L_m, m=1, 2, 3, …; L₀=0.

Тогда . Последовательность

L₀-0, L₁-A, L₂-2A, L₃-3A, …, L_m-mA, …

стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет L_n-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L₀, L₁, …, L_m, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L_s будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L_n) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.