Геометрия Лобачевского

Выполнили Исаев Андрей, Гурьев Дмитрий

«Начала» - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные.

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате: Если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚; рис 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚).

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом. Потому-то пятый постулат часто замеряют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой.

Вообразим. Что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые a и b, причём так что a образует с прямой АВ равен 89˚59′59″ (рис. 2).

Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов α и β всего на одну угловую секунду меньше 180˚. Продолжим прямые α и β, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен γ и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину с/tgγ, где с = 1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что 1/tgγ ≈ 2,06 • 10⁵ . Следовательно, длина катета АС составляем приблизительно 2,06 • 10⁵ = 206 км.

Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например при астрономических расчётах). Но проверить две указанные выше прямые α и β пересекаются на расстоянии206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку длиной более 200 км не предоставляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо будет добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже физика). А если сумма углов α и β отличается менее чем на 1 угловую секунду? Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр.

Итальянец Саккери рассматривал четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвёртый угол (обозначим его φ) мог быть прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что четвёртый угол φ всегда равен 90º, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, пятому постулату.

Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый угол φ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что гипотеза острого угла неверна не смог ни Саккери, ни его последователи. Неприступная «крепость» пятого постулата так и осталась неприступной.

Очень интересны исследования французского математика Адриена Мари Лежандра. Но ни одна из них не привела к успеху.

Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть a и b – две прямые, перпендикулярны одной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые a и b не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А можно провести ещё одну прямую a′, так же не пересекающую b (рис 4.) Симметричная ей ( относительно АВ) прямая а″ также не пересекает прямую b. Рассматривая два получающихся острых угла α′ и α″ (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая a как при продолжении её вправо, так и при продолжении её влево всё более удаляются от прямой b. Но прямые a и b не могут вести себя подобным образом: если они не пересекаются, то должны находится на ограниченном расстоянии друг от друга на своём протяжении. Не правда ли убедительно? Однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из пятого постулата, и, в свою очередь, из неё вытекает справедливость пятого постулата.

В начале XIX в. в «сражение» вступил русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан.

Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой b (рис. 5, а), можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b. Пусть прямые a′ и a″ не пересекаются с b. При их расположение, как на рисунке, будем поворачивать прямую a′ по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая c′, которая «в последний раз» не пересекается с b. Значит, прямые, получившиеся из с′ при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол),будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая с′ отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих её. Сама прямая с′ не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с″, симметричной с′ относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Она отделяет пересекающие b от не пересекающих.

Лобачевский называет прямые с′ и с″ параллельными прямой b, причём с′ параллельна b вправо, а с″ параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающая прямую b ( такие, как a′ и a″ ), именуются расходящимися с прямой b.

Далее, обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с′ или с″ с прямой АР, - через П(х) (рис. 5,б). Лобачевский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие.

На наших чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90˚. Когда отрезок совсем мал, то, мы увидим, что прямые с′ и с″ практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90˚(рис. 6). В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшем будут появляться всё более и более странные вещи, то это только хорошо – мы скорее наткнемся на долгожданное противоречие.

Лобачевский доказывает (всё в том же предложении о неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис.7,а). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 7,б). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мы уже знаем, что здесь пока ещё нет никакого противоречия.

Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые b и c и берёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону обратную параллельности (рис. 8). В каждом положении точки М он восставляет перпендикуляр p к прямой b до его пересечения с прямой с. длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и ,когда она попадает в положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис. 9,а). Построив прямую с′ симметричную относительно перпендикуляра р, получим три прямые – b, c и c′, которые попарно параллельны друг другу (рис. 9, б). Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 10). Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий! Но противоречия и здесь нет.

Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяя выведенную им функцию П(х), он получает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается что в любом треугольнике сумма углов меньше 180˚. Значит в четырёхугольнике Саккери (если его разбить диагональю на два треугольника; рис. 11) сумма углов меньше 360˚. Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла – когда в четырёхугольнике Саккери четвёртый угол φ<90º. Как будто ничего нового нет: Саккери и его последователи долго ломали голову над гипотезой острого угла, но противоречий так и не нашли.

Однако Лобачевский оказался теперь намного богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами любого треугольника. Пользуясь своими формулами, Лобачевский доказал: если известны углы треугольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобные треугольники, в которых углы соответственно равны, а стороны неодинаковы, так что углы треугольника не позволяют вычислить длины всех его сторон (рис.12).

Что это - желанное противоречие? Увы, опять нет! Наличие подобных, но неравных треугольников доказывается с помощью аксиомы о параллельных прямых. А потому сам факт, что такие треугольники существуют, может рассматриваться как ещё одна новая аксиома, эквивалентная пятому постулату.

И Лобачевского осенила гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая геометрическая система – та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т.е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой» геометрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

В результате дальнейших исследований при помощи материала своей «воображаемой» геометрии Лобачевский построил модель геометрии Евклида. Какая злая ирония судьбы! Если бы всё было бы наоборот! Гениальный учёный понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной «воображаемой» геометрии – и законность его геометрической системы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

Лобачевский выступил с докладом об открытии неевклидовой геометрии в1824 г. но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей.

Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы. Гениальный Гаусс, «король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815 г., за девять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И тем не менее Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликовать свои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностранным членом – корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Кроме Гаусса был ещё один человек, который вместе с Лобачевским делит заслугу открытия неевклидовой геометрии. Венгерский математик Янош Больяй очень интересовался проблемой пятого постулата.

Янош не послушал совета отца, который сказал, что эта проблема выше человеческих сил. И вскоре он добился успеха. Он сумел построить неевклидову геометрию, такую же, как и у Лобачевского, хотя и менее глубокую и последовательную. В своём произведении «Appendix» Янош Больяй изложил новую систему. Как и Лобачевский не добился признания. Однако ему сообщили, что за три года до него книгу такого же содержания. Не поверив в это, он изучал русский язык, чтобы прочесть труды Лобачевского в подлиннике. Непризнание и огорчение, из-за того что его опередили, сломили душевные силы Яноша.

Заметим, что у Яноша Больяя были некоторые интересные построения, которых не было у Лобачевского. Например, он определяет орициклы с помощью хорд равного наклона (а не как ортогональные траектории, хотя эти два определения эквивалентны; рис. 16).

Математики следующего поколения (Клейн, Кэли, Пуанкаре и др.) сумели построить модель геометрии Лобачевского из материала геометрии Евклида, тем самым установив непротиворечивость и законность новой геометрии. И математики поняли, что могут быть разные геометрии и разные пространства.