Решение сфероидических треугольников

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего

профессионального образования

«СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ» (ГОУ ВПО «СГГА»)

Кафедра высшей геодезии

Лабораторная работа №2

Решение сфероидических треугольников.

Вариант №28

Выполнил: Проверил:

ст.гр. АГ-41 Телеганов Н.А.

Жулина И.С.

Новосибирск – 2010

Содержание работы

1. Кратко изложить основные положения теории замены сфероидического треугольника сферическим при заданных искажениях эле­ментов треугольника с приведением необходимых чертежей и окончательных формул.

2. Описать последовательность решения сферических треуголь­ников с применением теоремы Лежандра и по способу аддитаментов.

Решить треугольники своей сети по способу аддитаментов, а затем, используя вычисленные стороны, решить эти же треугольники как линей­ные с применением теоремы Лежандра.

Контрольные вопросы

1. Что такое сфероидический треугольник?
2. При каких размерах сторон сфероидические треугольники можно решить как сферические, если требуется определить элементы треугольника с точностью 1·10^-6?
3. В чем отличие решения сфероидических и сферических треугольников?
4. Что такое аддитамент стороны, и как он вычисляется?
5. Сформулировать теорему Лежандра и привести формулу перехода от угла сфероидического треугольника к плоскому при больших сторонах.
6. Как вычисляется сферический избыток ε при сторонах меньших и больших 90 км?

Каковы возможные теоретические пределы изменения ε?

Решение сфероидических треугольников

Виды геодезических треугольников и условия замены сфероидических треугольников сферическими

Треугольники на любой поверхности, образованные геодези­ческими линиями называются геодезическими. Однако, такое общее название треугольников (по виду сторон, образующих их) не всегда является удобным. Так, например, на плоскости треуголь­ник, образованный прямыми линиями, есть геодезический, на сфе­ре, образованный дугами больших кругов, так же является геоде­зическим и т. д. Гораздо удобнее треугольники, стороны которых есть геодезические линии, называть по принадлежности их к по­верхности: на плоскости - плоские, на сфере - сферические, на эллипсоиде - сфероидические.

Для образования сфероидического треугольника на поверх­ности эллипсоида необходимо в каждое непосредственно измерен­ное горизонтальное направление ввести поправку за переход от азимута нормального сечения к азимуту геодезической линии. Вводить поправки в измеренные стороны не следу­ет, т.к. сторона после ее редуцирования на эллипсоид будет представлять собой нормальное сечение, длина которого с очень высокой точностью равна длине, соответствующей геодезической линии.

Решение сфероидических треугольников представляет собой сложную задачу. Сложность этой проблемы обусловлена переменной кривизной поверхности эллипсоида.

Так, если взять два сфероидических треугольника с одина­ковыми сторонами, но расположенных под разными широтами по­верхности эллипсоида, то соответствующие их углы, в общем слу­чае, равны не будут. Аналогично не будут равны и стороны треу­гольников, расположенных под разными широтами, у которых углы и одна (исходная) сторона соответственно равны.

Поэтому, сфероидические треугольники решать без учета из­менения кривизны нельзя. Однако, в теории математики отсутс­твует специальный математический аппарат, позволяющий решать треугольники в замкнутом виде на любой поверхности, подобно тому, как это сделано для плоскости и сферы.

Поверхность земного эллипсоида по своей форме близка к сфере (α=1:300), и поэтому, можно ожидать, что элементы сфероидического треугольника будут мало отличаться от соответс­твующих элементов сферического треугольника с надлежаще подоб­ранным радиусом шара. Причем, очевидно, эти различия будут прямо пропорциональны размерам треугольников: чем меньше длины сторон треугольников, тем меньше их искажения и наоборот.

Найдём наибольшие размеры сторон сфероидического треугольника, при которых замена его сферическим будет вызывать ошибки в элементах треугольника, не превышающие наперед заданной величины.

Решение этой задачи выполним с использованием отображения части поверхности эллипсоида на шар, радиус которого примем равным среднему радиусу кривизны эллипсоида

в некоторой точке О (рис. 1),

Рис. 1

выбранной в центре отображаемого участка поверхности эллипсои­да, ограниченного геодезической окружностью радиуса S_o.

Приняв точку О за полюс системы полярных координат S_o и А, отобразим часть поверхности эллипсоида на шар таким обра­зом, чтобы полярные координаты точки Q₁' на шаре не изменя­лись.

Тогда, при таком способе изображения линейные искажения в точке Q₁' в направлении Q₁`o` (дуги большого круга) будут от­сутствовать, а в перпендикулярном направлении Q₁` Q<sub>2</sub>` (дуги ма­лого круга) будут наибольшими.

Обозначая длины элементарных дуг Q₁Q₂ и Q₁` Q₂,. как этопоказано на рис 1, можно найти наибольшие относительные линейные искажения ΔS:S, как:

(1)

Здесь m - величины, представляющие собой в общем случае некоторые функции полярных координат. В геодезии эти величины называют приведенной длиной геодезической линии.

Рис. 2

На шаре (рис. 2) при­веденной длине дуги большо­го круга ( с полюсом в точ­ке О') будет соответство­вать радиус кривизны ге­одезической окружности (ма­лого круга ). Поэтому, для шара, непосредствен­но из чертежа (рис. 2), можно написать

(2)

Для поверхности эллипсоида приведенная длина геодезичес­кой линии m_э не имеет такой простой геометрической интерпрета­ции как для сферы, поэтому, полагая, что m_э есть функция длины геодезической линии S_o, можно написать:

Очевидно f(o) = m₀ есть приведенная длина геодезической линии, вычисленная для точки 0 (рис. 1) и, тогда:

(3)

Для получения производных приведенной длины геодезической линии по длине S_o можно воспользоваться формулой (2), в ко­торой для поверхности эллипсоида следует радиус считать вели­чиной переменной.

Дифференцируя выражение (2) по S_o последовательно, на­ходим:

и т.д.

В этих формулах через "к" обозначена полная кривизна по­верхности эллипсоида.

(4)

Приведенная длина геодезической линии и ее производные в формуле (3) должны вычисляться по аргументам точки 0, для которой S_o = 0. Но при S_o = 0 , m₀ как функция расстояния S_о, очевидно, также должно быть равно нулю, а производные примут следующие значения:

Подставляя производные в формулу приведенной длины (3), находим

(5)

По этой формуле, вообще говоря, можно вычислять приведен­ную длину геодезической линии для любой поверхности, а не только поверхности эллипсоида вращения. Для этого достаточно знать только полную кривизну поверхности и ее производные.

Так, например, для плоскости К₀= 0 и, поэтому, приведен­ная длина для плоскости равна самой длине линии.

Для сферы К_о = 1 / R_o², а производные полной кривизны бу­дут равны нулю, отсюда для сферы имеем:

(6)

Если в формуле приведенной длины дуги большого круга (2) си­нус заменить рядом, то, с точностью до членов пятого порядка малости, получим формулу (6).

Для получения формулы приведенной длины геодезической ли­нии поверхности эллипсоида вначале найдем производную полной кривизны:

Продифференцировав формулу полной кривизны (4) по широ­те, а затем умножив полученное равенство на выражение производной dB/dS, находим

Подставив производную К₀', а также полную кривизну по­верхности эллипсоида (4) в выражение (5), получаем оконча­тельно формулу вычисления приведенной длины геодезической ли­нии на поверхности эллипсоида

(7)

Имея выражения для приведенных длин геодезических линий сферы и поверхности эллипсоида вращения, нетрудно теперь полу­чить по формуле (1) относительные линейные искажения.

Подставляя в числитель формулы (1) выражения (6) и(7) , а в знаменателе с достаточной точностью можно ограни­читься m_э ~ S_o, находим

Из этой формулы видно, что наибольшие линейные искажения будут при Во = 45° и Ао = 0°. Следовательно,

(8)

Формула (8) позволяет установить размеры области по­верхности эллипсоида, ограниченной геодезической окружностью, в пределах которой линейные искажения при отображении ее на сферу не могут превзойти наперед заданных величин.

Если, ориентируясь на точность первоклассных геоде­зических построений, принять (ΔS/S)max< 1*10^-8 , то по формуле (8) находим радиус геодезической окружности, равный 133 км. А так как вписать в окружность радиуса 133 км можно треугольник со сторонами порядка 250-270 км то, следовательно, сфероидические треугольники со сторонами, не превышающими 270 км, можно решать как сферические, при этом относительные иска­жения их элементов не будут превышать 1*10^-8. Радиус сферы, при решении таких треугольников, следует принимать равным среднему радиусу кривизны для центра тяжести сфероидического треугольника.

Решение сферических треугольников

Решение сферических треугольников, с точки зрения теории, не вызывает никаких затруднений и может быть выполнено с необ­ходимой степенью точности по различным формулам сферической тригонометрии.

В геодезии, в большинстве случаев, приходится решать тре­угольники, у которых известны: либо три угла и одна сторона (триангуляция), либо три стороны (триллатерация). Для таких случаев наиболее простым будет применение при решении формул синусов и косинусов сторон сферической тригонометрии.

Рис. 3

Выражая стороны сфери­ческого треугольника (рис.3) в частях радиуса сферы:

при заданных углах А, В, D и стороне а, находим:

(9)

или

(10)

Если в треугольнике известны все стороны, то на основании теоремы косинуса стороны, будем иметь:

(11)

или

(12)

Совершенно очевидно, приведенные алгоритмы - это не единственный путь решения сферических треугольников. Возможно использование и других формул сферической тригонометрии при решении тех же треугольников и с теми же самыми исходными дан­ными.

На практике решение треугольников непосредственно по фор­мулам сферической тригонометрии удобно и оправдано в том слу­чае, если это решение выполняется на ЭВМ. Если же оно ведется в ручную - не по программе на ЭВМ, а с использованием настольных средств вычислительной техники, то решение, непосредствен­но, по формулам сферической тригонометрии становится практически громоздким. Действительно, в этом случае приходится с большой степенью точности вычислять ряд вспомогательных вели­чин (R, a/R, sin (a/R), sin (b/R)), которые в конечном итоге не нужны.

Для решения малых сферических треугольников с использова­нием настольной вычислительной техники разработаны два спосо­ба: способ аддитаментов и способ решения сферических треуголь­ников c применением теоремы Лежандра.

Способ аддитаментов

Суть способа заключается в замене решения сферического треугольника решением плоского с углами, равными углам сфери­ческого треугольника, и измененной (на аддитамент) исходной стороной с последующим введением в полученные из решения плос­кого треугольника стороны поправок (аддитаментов).

Рассмотрим теоретические основы этого способа.

Полагая, что стороны сферического треугольника - малые величины (S < 200 км), по сравнению с радиусом сферы, разложим синусы сторон в выражении (9) в ряд, ограничиваясь членами пятого порядка малости:

Откуда, с той же степенью точности, .находим

(13)

где

Обозначая:

(14)

тогда выражение (13) примет вид:

(15)

или

где

(16)

По аналогии, без вывода, можно написать формулы и для вычисле­ния стороны d:

(17)

Формулы (14)-(17) позволяют решать сферические тре­угольники со сторонами S< 250 км. При этом ошибки вычисления сторон не будут превосходить 0.0005 м.

Если стороны треугольников не превышают 100 км, то, при той же точности вычисления, в формулах (14) - (17) можно отбросить малые поправочные члены и вычисления вести по формулам:

(18)

Рабочие формулы:

R=6371116 м

Решение сферических треугольников с применением теоремы Лежандра

В 1787 г. А. Лежандр доказал теорему, которая в последую­щем была положена в основу решения сферических треугольников со сторонами, не превышающими 200 - 220 км. Достоинством тако­го решения является то, что в этом случае решение сферического треугольника заменяется решением плоского треугольника со сто­ронами, равными соответствующим сторонам сферического треу­гольника, но измененными углами. Изменения сферических углов при переходе к углам плоского треугольника вычисляются на ос­новании теоремы Лежандра, которая гласит: если сферический треугольник заменить плоским с теми же сторонами, то углы плоского треугольника будут равны соответствующим углам сфери­ческого треугольника, уменьшенным, на одну треть сферического избытка.

Доказательство теоремы Лежандра

Пусть дан сферический треугольник ABD (рис. 3) и соот­ветствующий ему плоский треугольник A'B'D' (рис. 4) с теми же сторонами, но отличными углами А', В', D'.

Напишем очевидное соотношение

(19)

Рис. 4

Если соответствующие стороны сферического и плос­кого треугольников равны и не превосходят 200 км, то, веро­ятно, для сферы радиуса R = R_ср = (MN)^1/2 углы сферичес­кого и плоского треугольников будут отличаться на небольшие величины. Исходя из этого примем с ошибкой на величины второго порядка малости (если за первый порядок принять А - А'):

(20)

И тогда из (19) с учетом (20), находим

Заменяя синусы и косинусы углов известными соотношениями:

получаем

( формула Герона )

После разложения квадратов разностей и дальнейших простых преобразований, окончательно получаем:

(21)

Мож­но по аналогии написать формулы для разностей (В - В') и (D-D'):

(22)

Суммируя левые и правые части выражений (21) и (22), нахо­дим для треугольника:

(23)

С учетом равенства (23), формулы (21) и (22) можно представить в следующем виде:

(24)

которые и выражают теорему Лежандра.

Если при разложении синусов в ряд удер­живались бы члены пятого порядка малости, то в результате были бы получены более точные формулы:

(25)

Где

Сравнивая формулы (24) и (25) приходим к выводу, что сферические треугольники со сторонами S < 250 км можно решать по формулам (24), т.к. поправочные члены

При этом сферический избыток при сторонах 90 км < S < 250 км, следует вычислять по формуле (25), а при сторонах S <90 км -по формуле (23).

Рабочие формулы: