Символьные вычисления

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Екатеринбург 2006

Символьные вычисления

1. Базовые операции

Символьные переменные и функции являются объектами класса sym object, в отличие от числовых переменных, которые содержатся в массивах double array.

Функция sym – формирует символьную переменную или объект

Синтаксис

S=sym(A)

S=sym (A, flag)

x=sym(‘x’)

x=sym (‘x’, real)

x=sym (‘x’, unreal)

Описание

- Функция S=sym(A) создает объект класса sym для входного аргумента А.

Если А – строка символов, то результатом будет последовательность символов, если А – строка цифр, то результатом будет число, описываемое символьной переменной S. Если А – числовой массив, то результатом будет символьный эквивалент этого объекта.

- Функция x=sym(‘x’) создает символьную переменную x.

- Функция x=sym (‘x’, real) создает символьную переменную x, которая во всех операциях будет рассматриваться как переменная, которая принимает только действительные значения. Это будет справедливо до тех пор, пока ей не будет присвоено, например, значение комплексного числа.

- Функция x=sym (‘x’, unreal) создает символьную переменную x, которая является формальной переменной без дополнительных ограничений.

- Функция S=sym (A, flag) преобразовывает числовой массив А в символьную форму, используя второй аргумент flag для указания типа символьной переменной S

- Функция sym позволяет преобразовывать значения числовых переменных в символические, например:

>>A=[1.3 -2.1 4.9; 6.9 3.7 8.5];

Соответствующий символьный массив:

>>B=sym(A)

B=

[13/10, -21/10, 49/10]

[69/10, 37/10, 17/2]

При переходе от числовых к символическим выражениям используется запись чисел в виде рациональной дроби. В виде рациональной дроби представляются и промежуточные, и окончательные выражения. Это означает, что при использовании рациональных дробей при выполнении символических вычислений всегда получается точный результат, не содержащий погрешность округления, например:

>> format long

>> 1.0e+10+1.0e‑10

ans =

1.000000000000000e+010

>> large=sym (1.0e+10);

>> small=sym (1.0e‑10);

>> s=large+small

s =

100000000000000000001/10000000000

Функция vpa – преобразует числовые значения

Синтаксис

>> cn=vpa(c)

>> cn=vpa (c, n)

Вычисления с рациональными дробями позволяют получить значения символического выражения с любой степенью точности, т.е. найти сколь угодно много значащих цифр результата. По умолчанию удерживается 32 значащие цифры. Второй параметр n указывает желаемое число удерживаемых цифр (Второй аргумент задает удерживаемое число значащих цифр только для данного вызова vpa; для глобальной установки служит функция digits, во входном аргументе которой указывается требуемое количество цифр digits(n)).

Примеры

>> c=sym ('sqrt(2)')

c =

sqrt(2)

>> cn=vpa(c)

cn =

1.4142135623730950488016887242097

Функция syms – формирует группу символьных объектов

Синтаксис

syms arg1 arg2…

При работе с комплексными числами следует указать, что определяемые переменные являются, в общем случае, комплексными.

syms arg1 arg2 …real

syms arg1 arg2 …unreal

- Функция syms arg1 arg2 …это короткая запись последовательности функций sym.

- Конструирование символических функций от переменных класса sym object производится с использованием обычных арифметических операций и обозначений для встроенных математических функций, например:

- >> f=(sin(x)+a)^2*(cos(x)+b)^2/sqrt (abs(a+b))

- Запись формулы для выражения в одну строку не всегда удобна, более естественный вид выражения выводит в командное окно функция pretty.

Функция pretty – выводит символьное выражение на экран в привычном для пользователя виде.

Синтаксис

pretty(S)

pretty (S, n)

Функция pretty(S) выводит на экран символьное выражение S в формате, близком к печати математических выражений, используя при этом длину строки 79 символов.

Примеры

>> pretty(f)

(sin(x) + a)² (cos(x) + b)²

|a + b|^1/2

Определенная функция f также является символической переменной типа sym object, в чем несложно убедиться при помощи команды whos

Символические переменные могут являться элементами матриц и векторов. Элементы строк матриц при вводе отделяются пробелами или запятыми, а столбцов – точкой с запятой, так же как и для обычных матриц. В результате образуются символические матрицы и векторы, к которым применимы матричные и поэлементные операции и встроенные функции.

Примеры

>> syms a b c d e f g h

>>A=[a b; c d]

A =

[a, b]

[c, d]

>>B=[e f; g h]

A =

[e, f]

[g, h]

>>C=A+B

C =

[a+e, b+f]

[c+g, d+h]

2. Упрощение и преобразование выражений

Сложные алгебраические и тригонометрические выражения могут быть приведены к эквивалентным путем упрощения. Операции с полиномами реализуют четыре функции: collect, expand, horner, factor.

Функция collect – вычисляет коэффициенты при степенях независимой переменной

Синтаксис

R=collect(S)

R=collect (S, v)

S – массив символьных полиномов.

- Функция собирает однородные члены по степеням переменной x.

- Функция R=collect (S, v) выполняет ту же функцию, но только по отношению к независимой переменной, указанной в качестве второго аргумента (в данном случае v).

Примеры

>> syms x y

>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2))% здесь слагаемые группируются по степеням x

R1 =

x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)% здесь слагаемые группируются по степеням y

R2 =

y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

>> R3=collect([(x+1)*(y+1), x+y])% здесь указаны сразу два многочлена, которые требуется сгруппировать по степеням x

R3 =

[(y+1)*x+y+1, x+y]

Функция expand – позволяет раскрыть символьное выражение

Синтаксис

R=expand(S)

Функция R=expand(S) позволяет раскрыть каждый элемент символьного выражения S. Эта операция применяется к полиномам, тригонометрическим, экспоненциальным и логарифмическим функциям.

Примеры

>> expand((x‑2)*(x‑4))

ans =

x^2–6*x+8

>> expand (exp((x+y)^2))

ans =

exp (x^2)*exp (x*y)^2*exp (y^2)

>> expand([sin (2*x), cos (2*x)])

ans =

[2*sin(x)*cos(x), 2*cos(x)^2–1]

syms t;

s=expand([sin (2*t) cos (2*t)])

s =

[2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2–1]

Функция factor – позволяет разложить символьное выражение на простые множители

Синтаксис

R=factor(N)

R=factor(S)

- Функция R=factor(N), где N – положительное целое число или целочисленный массив, возвращает каноническое разложение числа или элементов массива в виде произведения простых множителей.

- Функция factor(S), где S – матрица полиномов, возвращает разложение каждого элемента массива на простые множители.

Примеры

>> syms a b;

>>factor([a*a-b*b, a^3+b^3])

ans =

[(a-b)*(a+b), (a+b)*(a^2‑a*b+b^2)]

>>factor (sym('123'))

ans =

(3)*(41)

Функция simple – позволяет упростить символьное выражение

Синтаксис

Simple(S)

R=simple(S)

[R, How]=simple(S)

- Функция simple(S) выполняет разные алгебраические преобразования над символьным выражением S, выводит на экран варианты укороченных выражений и возвращает в конце концов самое короткое.

- Функция R=simple(S) выполняет те же самые операции, но не выводит на экран промежуточных результатов.

Функция [R, How]=simple(S) в дополнение к основному результату выводит в качестве второго аргумента строку How, которая указывает выполненное преобразование.

Примеры

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+sin(x)^2)

R=1

How=combine

>> [R, How]=simple (2*cos(x)^2‑sin(x)^2)

R=3*cos(x)^2–1

How=simplify

>> [R, How]=simple (cos(x)^2+(-sin(x)^2)^(1/2))

R=cos(x)^2+i*sin(x)

How=radsimp

>> [R, How]=simple (cos(x)+i*sin(x))

R=exp (i*x)

How=convert(exp)

>> [R, How]=simple((x+1)*x*(x‑1))

R=x^3‑x

How=collect(x)

>> [R, How]=simple (x^3+3*x^2+3*x+1)

R=(x+1)^3

How=factor

>> [R, How]=simple (cos(3*acos(x)))

R=4*x^3–3*x

How=expand

Функция numden – выполняет приведение символьных полиномов к рациональной форме

Синтаксис

[N, D]=numden(A)

- Функция [N, D]=numden(A) преобразовывает каждый элемент символьного массива A к рациональной форме в виде отношения двух неприводимых полиномов с целочисленными коэффициентами. N, D – соответственно символьные массивы числителей и знаменателей элементов массива.

Примеры.

>>syms x y a b

>> [N, D]=numden (x/y+y/x)

N=x^2+y^2

D=x*y

>>A=[a, 1/b]

>> [N, D]=numden(A)

N=[a, 1]]

D=[1, b]

Функция subs – выполняет подстановку значений символьных переменных

Синтаксис

subs(S)

subs (S, NEW)

subs (S, OLD, NEW)

subs (S, OLD, NEW, 0)

- Функция subs(S) заменяет свободные символьные переменные их числовыми значениями, которые берутся либо из вызываемой функции, либо из рабочей области системы MATLAB.

- Функция subs (S, OLD, NEW) заменяет свободные символьные переменные OLD новыми символьными переменными или числовыми значениями из списка NEW. Если OLD и NEW – массивы ячеек одинакового размера, то каждый элемент массива OLD заменяется соответствующим элементом массива NEW. Если символьное выражение S и список OLD – скаляры, а NEW – числовой массив или массив ячеек, то скаляры расширяются до размера массива. Если подстановка subs (S, OLD, NEW) не изменяет символьного выражения S, то выполняется подстановка subs (S, NEW, OLD). Чтобы предотвратить попытку обратной подстановки, следует использовать обращение subs (S, OLD, NEW, 0)

Примеры.

>>a=980

>>c1=3

>>syms t

>>y=dsolve (‘Dy=-a*y’);

>>subs(y)

ans=3*exp (-980*t)

Однокомпонентная подстановка

>>syms a b

>>subs (a+b, a, 4)

ans=4+b

Многокомпонентная подстановка:

>>subs (cos(a)+sin(b), [a, b], [sym(‘alpha’), pi/2)

ans=cos(alpha)+sin (pi/2)

Подстановка матрицы вместо скаляра:

>>subs (exp(a*t), ’a’, – magic(2))

ans=

[exp(-t), exp (-3*t)]

[exp (-4*t), exp (-2*t)

3. Математический анализ

Функция limit – вычисляет предел функции одной переменной

Синтаксис

limit (F, x, a)

limit (F, a)

limit(F)

limit (F, x, a, ’right’)

limit (F, x, a, ’left’)

Описание

- Функция limit (F, x, a) определяет предел функции F(x) при x->a.

- Функция limit (F, a) автоматически определяет независимую переменную, например t, с помощью функции findsym(F) и затем вычисляется предел функции F(t) при t->a.

- Функция limit(F) предполагает по умолчанию в качестве предельной точки a=0.

- Функции limit (F, x, a, ’right’) и limit (F, x, a, ’left’) вычисляют соответственно правосторонний и левосторонний пределы.

Примеры.

>>syms x a t h

>>limit (sin(x)/x)

ans=1

>>limit((x‑2)/(x^2–4), 2)

ans=1/4

>>limit((1+2*t/x)^(3*x), x, inf)

ans=exp (6*t)

>>limit (1/x, x, 0,’right’)

ans=inf

>>limit (1/x, x, 0,’left’)

ans=-inf

>>limit((sin (x+h) – sin(x))/h, h, 0)

ans=cos(x)

v=[(1+a/x)^x, exp(-x)]

>>limit (v, x, inf, ’left’)

ans=[exp(a), 0]

Функция diff – выполняет дифференцирование функции одной переменной

Синтаксис

diff(S)

diff (S, ’v’)

diff (S, sym(‘v’))

diff (S, n)

diff (S, ’v’, n)

diff (S, n, ’v’)

- Функция diff(S) автоматически определяет независимую переменную с помощью функции findsym(S) и затем выполняет соответствующее дифференцирование.

- Функция diff (S, ’v’) и diff (S, sym(‘v’)) дифференцирует символьное выражение S по переменной, указанной в ‘v’.

- Функции diff (S, n), diff (S, ’v’, n), diff (S, n, ’v’) дифференцируют n раз символьное выражение S по переменной, указанной в ‘v’.

- Если S матрица, то операция дифференцирования применяется к каждому элементу матрицы.

Примеры

>>syms x t

>>diff (sin(x^2))

ans=2*cos (x^2)*x

>>diff (t^6,6)

ans=720

Функция int – выполняет интегрирование функции одной переменной

Синтаксис

R=int(S)

R=int (S, v)

R=int (S, a, b)

R=int (S, v, a, b)

- Функция int(S) возвращает символьное значение неопределенного интеграла от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной, которая автоматически определяется функцией findsym. Если S – скаляр или матрица, то вычисляется интеграл по переменной ‘x’.

- Функция int (S, v) возвращает неопределенный интеграл от S по переменной v.

- Функция int (S, a, b) возвращает определенный интеграл от S с пределами интегрирования от a до b, причем пределы интегрирования могут быть как символьными, так и числовыми.

- Функция int (S, v, a, b) возвращает определенный интеграл от S по переменной v с пределами интегрирования от a до b.

Примеры

>> x=sym('x');

>> int (x^2, x)

ans =

1/3*x^3

>> int (sin(x)^3, x)

ans =

-1/3*sin(x)^2*cos(x) – 2/3*cos(x)

>> int (log(2*x), x)

ans =

log (2*x)*x-x

>> int((x^2–2)/(x^3–1), x, 1,2)

ans =

– inf

>> int((x^2–2)/(x^3–1), x, 2,5)

ans =

-2/3*log(2)+2/3*log(31)+2/3*3^(1/2)*atan (11/3*3^(1/2)) – 2/3*log(7) – 2/3*3^(1/2)*atan (5/3*3^(1/2))

>> int([x^3 sin(x) exp(x)], x)

ans =

[1/4*x^4, – cos(x), exp(x)]

Функция taylor – служит для получения разложений аналитических функций в ряд Тейлора (и Маклорена)

Синтаксис

taylor(f)

taylor (f, n)

taylor (f, a)

taylor (f, x)

- Функция taylor(f) возвращает шесть первых членов ряда Маклорена (ряд Тейлора в точке x=0). В любом разложении можно задавать число членов ряда n, точку a, относительно которой ищется разложение, и переменную x, по которой ищется разложение, например taylor (f, n, x, a).

- Функция taylor (f, a) возвращает ряд Тейлора в окрестности точки a.

- Функция taylor (f, x) возвращает ряд Тейлора для переменной x, определяемой функцией findsym.

Примеры

>> x=sym('x');

>> F=sin(x);

>> taylor(F)

ans =

x‑1/6*x^3+1/120*x^5

>> taylor (F, 10)

ans =

x‑1/6*x^3+1/120*x^5–1/5040*x^7+1/362880*x^9

>> taylor (exp(x), 1)

ans =

>> taylor (cos(x), – pi/2,6)

ans =

x+1/2*pi‑1/6*(x+1/2*pi)^3+1/120*(x+1/2*pi)^5

Функция yacobian – вычисляет матрицу Якоби

Синтаксис

yacobian (f, v)

- Функция yacobian (f, v) возвращает матрицу Якоби для скаляра или вектора f по вектору переменных v. Каждый (i, j) – й элемент матрицы представляет собой частную производную ∂f_i/∂v_j.

Примеры

>> v=[x, y, z];

>> J=jacobian (F, v)

J =

[2*x, 0, 0]

[1, 1/z, – y/z^2]

[z, 0, x]

>> v=[x; y];

>> J=jacobian (F, v)

J =

[2*x, 0]

[1, 1/z]

[z, 0]

>> J=jacobian (x*y, v)

J =

[y, x]

Функция symsum – вычисляет аналитическое значение суммы ряда

Синтаксис

symsum(S)

symsum (S, v)

symsum (S, a, b)

- Функция symsum(S) возвращает символьное значение суммы бесконечного ряда по переменной, найденной автоматически с помощью функции findsym.

- Функция symsum (S, v) возвращает сумму бесконечного ряда по переменной v.

- Функция symsum (S, a, b) возвращает конечную сумму ряда в пределах номеров слагаемых от a до b.

Примеры

>> x=sym('x');

>> symsum (x^2)

ans =

1/3*x^3–1/2*x^2+1/6*x

>> symsum (1/x^4)

ans =

-1/6*Psi (3, x)

>> symsum (1/x^4,1,5)

ans =

14001361/12960000

>> symsum([x, x^2, x^3], 1,5)

ans =

[15, 55, 225]

Функция solve – решает системы алгебраических уравнений и одиночных уравнений

Синтаксис

solve (expr1, expr2,…, exprN, var1, var2,…, varN)

solve (expr1, expr2,…, exprN)

- Функция solve (expr1, expr2,…, exprN, var1, var2,…, varN) возвращает значения переменных varI, при которых соблюдаются равенства, заданные выражениями exprI. Если в выражениях не используются знаки равенства, то полагается exprI=0.

- Функция solve (expr1, expr2,…, exprN) аналогична предшествующей функции, но переменные, по которым ищется решение, определяются функцией fimdsym.

Примеры

>> syms x y;

>> solve (x^3–1, x)

ans =

[1]

[-1/2+1/2*i*3^(1/2)]

[-1/2–1/2*i*3^(1/2)]

>> solve (x^2‑x‑9, x)

ans =

[1/2+1/2*37^(1/2)]

[1/2–1/2*37^(1/2)]

>> syms a b c;

>> solve (a*x^2+b*x+c)

ans =

[1/2/a*(-b+(b^2–4*a*c)^(1/2))]

[1/2/a*(-b – (b^2–4*a*c)^(1/2))]

>> S=solve ('x+y=3', 'x*y^2=4', x, y)

S =

x: [3x1 sym]

y: [3x1 sym]

>> S.x

ans =

[4]

[1]

[1]

>> S.y

ans =

[-1]

[2]

[2]

>> solve ('sin(x)=0.5', x)

ans =

52359877559829887307710723054658

Функция dsolve – решает дифференциальные уравнения в форме Коши

Синтаксис

dsolve (‘eqn1’, ‘eqn2’,…)

- Функция dsolve (‘eqn1’, ‘eqn2’,…) возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqnI.

Примеры

>> dsolve ('D2x=-2*x')

ans =

C1*sin (2^(1/2)*t)+C2*cos (2^(1/2)*t)

>> dsolve ('D2y=-2*x+y', 'y(0)=1', 'x')

ans =

2*x+C1*sinh(x)+cosh(x)

4. Графические возможности

Функция ezplot – строит графики символьно заданной функций

Синтаксис

ezplot(f)

ezplot (f, xmin, xmax)

ezplot (f, [xmin xmax])

ezplot (f, [xmin xmax], fig)

- Функция ezplot(f) строит график символьно заданной функции f(x) независимой переменной ‘x’ в интервале [-2*pi 2*pi].

- Функции ezplot (f, xmin, xmax) и ezplot (f, [xmin xmax]) позволяют задать диапазон изменения независимой переменной x от xmin до xmax.

- Функция ezplot (f, [xmin xmax], fig) обеспечивает спецификацию с помощью параметра fig.

Примеры

>> ezplot ('tan(x)', 0,20)

>> grid on

Рис. 1 Графические возможности функции ezplot

Функция ezcontour – строит контурные графики функций вида f (x, y)

Синтаксис

ezcontour(f)

ezcontour (f, domain)

ezcontour(…, n)

- Функция ezcontour(f) строит контурный график с настройкой по умолчанию.

- Функция ezcontour (f, domain) строит контурный график с заданными параметром domain пределами изменения x и y.

- Функция ezcontour(…, n) обеспечивает ранее указанные построения при явном задании числа линий n.

Примеры

>> syms x y

>> ezcontour (sin(x*y), [-3,3], 30)

Рис. 2 Графические возможности функции ezcontour

>> syms x y

>> ezcontour (sin(x)*sin(y), [-3,3], 50)

Рис. 3 Графические возможности функции ezcontour

Функция ezplot3 – строит трехмерные графики параметрически заданных функций

ezplot3 (x, y, z)

ezplot3 (x, y, z, [tmin tmax])

ezplot3 (…, ‘animate’)

- Функция ezplot3 (x, y, z) строит трехмерный график функции, заданной параметрически уравнениями x(t), y(t), z(t) при настроеке по умолчанию.

- Функция ezplot3 (x, y, z, [tmin tmax]) строит трехмерный график функции, заданной параметрически уравнениями x(t), y(t), z(t) при изменениях аргумента t от tmin до tmaxю

- Функция ezplot3 (…, ‘animate’) аналогична предшествующим функциям, но обеспечивает анимацию графика.

Примеры

>> syms t;

>> ezplot3 (cos(t), sin(t), t, [0 20], 'animate')

Рис. 4 Графические возможности функции ezplot3

Функция ezsurf – строит графики поверхностей, задаваемых функциями двух переменных f (x, y)

Синтаксис

ezsurf(f)

ezsurf (f, domain)

ezsurf (x, y, z)

ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax])

ezsurf (x, y, z, [min max])

ezsurf(…, n)

ezsurf(…, ‘circ’)

- Функция ezsurf(f) строит поверхность f (x, y) с параметрами x и y, меняющимися по умолчанию от -2π до 2π.

- Функция ezsurf (f, domain) строит поверхность f (x, y) с пределами изменения x и y, заданными параметром domain.

- Функция ezsurf (x, y, z) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в интервале -2π до 2π.

- Функция ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax]) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в заданном интервале.

- Функция ezsurf (x, y, z, [min max]) строит поверхность, заданной параметрически зависимостями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s и t, меняющихся в одинаковом интервале от min до max.

- Функция ezsurf(…, n) аналогична описанным выше командам, но с задаваемым числом линий сетки n.

Функция ezsurf(…, ‘circ’) аналогична описанным выше командам, но вписывает поверхность в окружность