О теоретических положениях динамики и устойчивости бурильной колонны и способах их реализации на практике

Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «БУРОВАЯ ТЕХНИКА»

В силу чрезвычайной сложности физических процессов, имеющих место при строительстве и эксплуатации скважин, в бурении, прежде всего, ценится практический опыт. Именно ему отдается предпочтение при принятии окончательных технологических решений. В данной работе сделана попытка показать, что теоретические исследования специфических особенностей процесса бурения, приводящие к новым результатам, также могут быть весьма плодотворными.

Классическим примером фундаментальной теоретической проблемы бурения является управление динамикой бурильной колонны. Первым ученым, который рассмотрел статику и динамику стержней, находящихся под действием собственного веса, был знаменитый Леонард Эйлер. Анализируя динамическое уравнение Эйлера, академик Л.С. Лейбензон высказал уверенность в том, что создание гидравлических двигателей, расположенных у долота, ослабит подверженность колонны неуправляемым поперечным колебаниям [1]. Изобретатель редукторного турбобура М.А. Капелюшников, анализируя неуправляемое искривление скважин, подтвердил высказанное Лейбензоном мнение [2]. К сожалению, эти ожидания не оправдались. В данной статье мы, в частности, укажем причины, в силу которых это произошло.

Расчеты американских специалистов [3], начавшиеся в 50-е годы XX века, основанные исключительно на плоских статических моделях, оказали сильное влияние на теоретические представления о поведении колонн и искривлении скважин. До сих пор большинство расчетов бурильной колонны базируется на этих представлениях, хотя нами были проанализированы ошибки А. Лубинского, его коллег и последователей [4-6]. Там же впервые установлено, что статический подход может давать удовлетворительные результаты только в отдельных частных случаях. Специфическая зависимость устойчивого поведения колонны от таких важнейших факторов, как измеренная глубина скважины и распределенная нагрузка собственного веса, также была установлена в [4-6].

Данная работа посвящена некоторым вопросам управления динамикой бурильной колонны и начинается она с исследования влияния такого важного фактора, как крутящий момент. Показано, что его воздействие на поведение колонны определяется не его величиной, а возможным изменением характера выхода колонны из состояния статического равновесия. Дело в том, что, как показано ниже, скручиваемая колонна теряет устойчивость не путем статического изгиба, а по типу флаттера, т.е. подводимая к колонне энергия преобразуется в энергию поперечных колебаний с растущей по времени амплитудой. Стенки скважины ограничивают амплитуду колебаний колонны, и в силу этого она вовлекается в прецессионное движение, бьется о стенки скважины, а долото формирует многоугольный забой, что является причиной целого ряда осложнений.

В задачах бурения наиболее часто взаимодействие долота с забоем интерпретируется как граничное условие опирания в шаровом шарнире. Вместе с тем в [7] можно найти замечание о неконсервативности задачи о сжато-скрученном невесомом стержне, подчиненном граничным условиям типа шарового шарнира, т.е. о том, что названная задача формально принадлежит к классу задач о стержнях, теряющих свою устойчивость путем развития неуправляемых поперечных колебаний. Далее мы будем пользоваться не физическим понятием консервативности [7], а понятием «самосопряженности», соответствующим математической краевой задаче [8]. Напомним, что самосопряженность означает, что краевая задача для дифференциального уравнения допускает только действительные собственные числа (критические нагрузки), и, следовательно, потеря устойчивости в такой системе по неконсервативной схеме (по схеме возникновения флаттера) [7] невозможна, т.е. «перекачивание» подводимой к системе энергии в ее колебания с растущей по времени амплитудой невозможно.

Для иллюстрации основных теоретических положений, используемых для технологических предложений по обеспечению устойчивости бурильной колонны, необходимо привести и проанализировать нижеследующие дифференциальные и трансцендентные уравнения.

Первоначально необходимо проверить на самосопряженность как дифференциальное выражение, образующее уравнение, так и граничные условия [8].

Система дифференциальных уравнений, описывающая процесс потери статической устойчивости скручиваемой одноступенчатой колонны, имеет вид:

EJv(4) + Mw(3) + [(F — qx)v(1)](1) = 0;

EJw(4) — Mv(3) + [(F — qx)w(1)](1) = 0 (1)

и оказывается формально самосопряженной [8].

Граничные условия типа заделки:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(1) (0) = w(1) (0) = v(1) (L) = w(1) (L) = 0 (2)

и граничные условия полукасания (естественные вариационные) [7]:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0;

EJv(2) (0) — M/2∙w(1) (0) = EJw(2) (0) + M/2∙v(1) (0) = 0;

EJv(2) (L) — M/2∙w(1) (L) = EJw(2) (L) + M/2∙v(1) (L) = 0 (3)

также оказываются самосопряженными.

Однако наиболее распространенные граничные условия типа шарового шарнира:

v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(2) (0) = w(2) (0) = v(2) (L) = w(2) (L) = 0 (4)

оказываются несамосопряженными. Заметим, что несамосопряженными условия (4) остаются вне зависимости от наличия распределенной или сосредоточенной нагрузки, но в случае колонны, нагружаемой собственным весом, факт отсутствия действительных критических нагрузок можно установить аналитически.

Введем характерную единицу длины m3 = EJ/q, где Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения, q — погонный вес труб. Примем обозначения l = Fm2/EJ, µ = 1/2(M/EJ)m и выполним стандартную комплексификацию системы дифференциальных уравнений (1). Сдвинем на l независимую переменную, обозначая ее z, а для безразмерной измеренной глубины L оставим прежние обозначения. Граничные условия переносятся, соответственно, в точки (-l) и (L-l), а основное комплексное уравнение принимает вид:

. (5)

Элементарными выкладками устанавливается явный вид общего решения уравнения (5), в котором граничное условие u(-l) = 0 выполняется тождественно:

(6)

Для дальнейших вычислений нам понадобятся выражения элемента a13 специального определителя, возникающего в результате подстановки (6) в граничные условия:

Здесь ai(.) и bi(.)— стандартные специальные функции Эйри [9].

Раскрывая cos[µ(y-x)] по формуле сложения аргументов, пользуясь известной асимптотикой для ai(x) и bi(x) при больших значениях аргумента, нетрудно установить, что a13 ≈ lnL/ при L>>1.

В случае условий шарового шарнира равенство нулю спектрального определителя упрощается к виду:

(7)

Поскольку ai(x) и ее производная не обращаются в ноль одновременно в одной и той же точке [9], первое слагаемое (7) не обращается в ноль ни при каких l и µ.

В случае заделки (7) упрощается к виду, в котором отсутствуют ai(1) (— l— µ2) и bi(1) (— l— µ2) , а множитель i µ заменяется на 1 в выражениях в [ ].

В случае полукасательных (по Болотину) условий (7) сводится к отсутствию чисто мнимых слагаемых. Два последних самосопряженных варианта граничных условий приводят к потере устойчивости путем изгиба. При этом действительные значения критических нагрузок слабо (на слагаемое µ2) отличаются от соответствующих значений для плоского случая.

Отсутствие корней уравнения (7) в случае шарнирного опирания означает возможность потери устойчивости бурильной колонны путем развития неуправляемых поперечных колебаний, на которые теряется подводимая к колонне энергия вне зависимости от способа бурения.

Важнейшим результатом наших исследований явилось то, что при использовании ГЗД флаттер колонны может возникнуть из-за реактивного крутящего момента, что не принимали во внимание ни Лейбензон, ни Капелюшников, ни другие авторы.

Для исключения самой возможности флаттера предлагается изменить характер взаимодействия колонны бурильных труб со стенками в соответствии с результатами теоретического изучения не одиночного опорно-центрирующего устройства, а пары ОЦУ.

Обычные ОЦУ обеспечивают непрерывность функции прогиба, ее первой и второй производных (угол наклона и изгибающий момент) и допускают разрыв третьей производной (скачок перерезывающей силы, в нашем случае, реакции со стороны стенки на опору). При рассмотрении нескольких ОЦУ возникает многоточечная разрывная краевая задача, описываемая дифференциальным уравнением изгиба колонны 4-го порядка, приводящаяся к алгебраической системе относительно 4(n+1) произвольных постоянных (n — число ОЦУ). Устойчивые численные методы для решения таких задач предложены в [10-11].

Аналитическое исследование названных задач начинается с представления на каждом участке колонны между ОЦУ общего решения yi дифференциального уравнения, обобщающего дифференциальное уравнение изгиба стержней в виде: индекс i соответствует номеру участка колонны между опорами, {uk}, k=1,2,3,4 — полная система линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения упругого изгиба стержней (ДУУИС), f(s)-частное решение неоднородного ДУУИС:

y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = 0, (8)

y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2) + a3∙y(1) + a4∙y = (s). (9)

Рассмотрим для уравнения (9) четырехточечную краевую задачу с двумя внутренними граничными условиями в точках s1 и s2, соответствующую в обычном понимании КНБК с двумя полноразмерными центраторами:

y(0)=y(2)(0)=0; y(L)=y(2)(L)=0; 0<s1 < s2 <L;

y(s1-0)=y(s1+0)=0; y(1)(s1-0)=y(1)(s1+0); y(2)(s1-0)=y(2)(s1+0); (10)

————— - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ————--

y(s2-0)=y(s2+0)=0; y(1)(s2-0)=y(1)(s2+0); y(2)(s2-0)=y(2)(s2+0).

——— — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Осуществим предельный переход s2 — s1=  → 0.

Записывая условия (10) с помощью указанной выше формы общего решения (9), получим неоднородную линейную систему уравнений 12-го порядка относительно коэффициентов сik, k=1,2,3,4; i=1,2,3.

В результате преобразования части уравнений, входящих в (10), которые подчеркнуты прямой линией, получаем выражения вектора постоянных c2 через векторы c1, c3 и вектор, зависящий от значений частного решения неоднородного уравнения (9) в точках s1 и s2. Исключая c2 из правых частей граничных условий:

y(1)(s1-0) = y(1)(s1+0); и y(1)(s2-0) = y(1)(s2+0), устанавливаем возможность явно выразить порядок зависимости от  всех коэффициентов в системе восьми уравнений относительно c1 и c3.

Граничные условия в (10) заданных точках 0 и L не изменяются при «стягивании»: s2 — s1 =  → 0. А граничные условия в (10), подчеркнутые пунктиром, «стягиваются» к условиям равенства производных нулю. Вместе с условиями равенства нулю y (s1) новое предельное граничное условие в точке s1 принимает вид условия жесткой заделки:

y(s1-0) = y(s1+0) = 0; y(1)(s1-0) = y(1)(s1+0)=0. (11)

Таким образом, найденное предельное условие (11) разрезает колонну на невзаимодействующие части, причем справедливость этого факта не зависит от (s). Колонна «разрезается» и в горизонтальной и в наклонной (вплоть до вертикальной) прямой скважине.

Длину названных частей можно и нужно выбрать так, чтобы создать запас устойчивости для каждого из отрезаемых участков колонны. Кроме того, условие типа заделки, как мы видели выше, приводит к самосопряженным задачам, т.е. мы теоретически получили возможность подавления флаттерных колебаний путем конструирования разрезающей заделки. Наиболее простым и эффективным видом реализации разрезающей заделки, как было установлено нами, является двойное опорно-центрирующее устройство (ДОЦУ).

Это предложение принципиально отличается от рекомендации «разрезать» колонну внутренним шаровым шарниром. Последний не может подавить колебания, что теоретически объясняется тем, что установка шарового шарнира ведет к несамосопряженным граничным условиям.

Необходимо коснуться еще двух видов колебаний, которые участвуют в перераспределении энергии как при роторном способе, так и при бурении с любым видом двигателя.

Крутильные колебания связаны с качеством формирования поперечного сечения ствола скважины и, следовательно, с требованием к качеству изготовления ДОЦУ на заводе. Экспериментальные измерения реальной нагрузки на забой в процессе продольных колебаний колонны показывают очень большие — порядка 5 раз — пики нагрузки по сравнению с проектной. Этот факт может быть учтен при проектировании, изготовлении и установке ДОЦУ путем введения коэффициентов запаса в определяющие зависимости.

В процессе бурения измеряется пара углов: зенит () и азимут (ψ) скважины, и с их использованием приближенно интегрируется нелинейная система:

dx/ds = SinSinψ;

dy/ds = SinCosψ;

dz/ds = Cosψ,

где s — экспериментально измеренная глубина, а x(s), y(s), z(s) — декартовы координаты некоторой линии, которую и называют «стволом» бурящейся скважины. Из-за неизбежных ошибок измерения зенита, азимута и глубины, а также ошибок, накапливающихся с каждым шагом приближенного интегрирования, т.н. ствол отличается от проектного в идеальном случае на величину порядка 1 м. В силу этого точность в определении места установки ОЦУ, требуемая и, якобы, получаемая в стандартных методиках, весьма сомнительна. Еще хуже дело обстоит с определением диаметра и реальной формы поперечного сечения скважины из-за наличия крутильных колебаний. Используемая для этого специальная экспериментальная методика допускает ошибки по диаметру, выражаемые в десятках мм. Это на порядок превышает величину зазора, допускаемого в методиках по установке одиночных центраторов. Названные ошибки в измерении положения и диаметра ствола скважины подтверждаются фотографиями стволов реально пробуренных скважин [12].

Следует отметить, что регулирование зазоров в одиночных ОЦУ с точностью до мм может полностью нивелироваться не только указанными выше ошибками измерений, но и обычным износом

Предлагаемые нами ДОЦУ позволяют избежать упомянутых выше необоснованных требований к точности места установки и заменяют требования к точности в определении зазоров в уже проведенной скважине на вполне понятную и выполнимую точность в заводском изготовлении внешних диаметров опорных элементов ДОЦУ. Таким образом, точность изготовления на заводе устройства приобретает приоритетное значение по сравнению с нерегулируемым и в действительности не точным методом установки стандартных одиночных центрирующих устройств.

Конструкция ДОЦУ представляет собой один отрезок бурильных труб, оснащенный в окрестности концов четным числом 2 k лопастей (по k лопастей на каждом из концов). Лопасти могут быть прямыми или изогнутыми. Наименьшее число их на каждом конце 3. Диаметр лопастей должен равняться диаметру долота. Длина отрезка труб должна быть малой по сравнению с введенным выше характерным масштабом m, построенным по технико-технологическим параметрам стабилизируемой бурильной колонны. В испытаниях длина отрезка труб выбиралась из интервала (0,05 ÷ 0,15) m , величина которого определяется различными характеристиками материалов и труб. В этом соотношении и отражается суть найденного выше предельного перехода от пары ОЦУ к двойному центрирующему устройству.

Необходимо отметить, что в отличие от обычных одиночных центраторов ДОЦУ не может произвести на систему «гидравлический забойный двигатель (ГЗД) — колонна» отрицательного воздействия. Так, для того чтобы «отключить» реактивный крутящий момент, достаточно поставить ДОЦУ над ГЗД. Если такую установку по каким-либо причинам нельзя осуществить, тогда по формуле определяется длина участка КНБК от долота с калибратором до ДОЦУ. Здесь EJ — жесткость колонны (отрезаемого куска), Р — проектная нагрузка, a1 ≥ 2 — коэффициент запаса, определяемый по предполагаемой степени развития продольных колебаний. Расстояние между следующей парой ДОЦУ определяется по формуле:, где Q — вес «отрезанного» куска колонны ниже первого ДОЦУ.

Для стабилизации колонны целиком необходимо вычислить разность между величинами P/q и критической длиной полубесконечной колонны, заделанной на нижнем конце [4]. Расстояние от забоя до места установки последнего ДОЦУ должно быть больше разности Sn ≥ P/q — 2,34(EJ/q)1/3.

Нежелательным явлением для работы компоновки, содержащей двойное центрирующее устройство и винтовой забойный двигатель (ВЗД), может оказаться образование сальника на ДОЦУ. Для устранения заклинивания (прихвата) КНБК, содержащего ДОЦУ и ВЗД, можно установить два двигателя: основной и вращатель, соединенный с неподвижной колонной бурильных труб. В этом случае ДОЦУ должен располагаться ниже двигателя вращателя [13].

Исследования показали, что необходимости в стабилизации всей колонны целиком нет, поскольку положительные эффекты наблюдаются уже при установке одного устройства.

Итак, решены важные теоретические задачи, имеющие реальные практические приложения, а также сформулированы проблемы, подлежащие решению в дальнейшем.

Список литературы

1. Лейбензон Л.С. Неустойчивость направленного бурения// Собрание трудов академика Лейбензона, АН СССР, 1955, т. 3 «Нефтепромысловая механика».

2. Capelushnikov M/ Why Holes Go Crooked in Drilling// World Petroleum, 1930, May.

3. Lubinski A. Developments in Petroleum Engineering// V/ 1, Houston-London, 1987, p. 464

4. Артемьева С.А., Барский И.Л., Пронин В.Е. К расчету колонн труб в скважине на продольный изгиб.// Труды ВНИИБТ, 1982, вып. 54, с. 51-59.

5. Барский И.Л. О разветвлении стационарных форм равновесия колонн труб в вертикальных скважинах// Труды ВНИИБТ, 1983, вып. 58, с. 126-137.

6. Barskii I.L., Gusman A.M., Povalikhin A.S.. Development of a Method for Drilling of Straight Section of Various Type Wellbores// Proceeding ETCE/OMAE 2000 Joint Conference, New Orleans, Louisiana, USA, February 14-17, 2000.

7. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости.// М., Наука, 1961, с. 241.

8. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.// М., Наука, 1969, с. 434.

9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.// М., Наука, 1979, с. 832.

10. Барский И.Л., Бредихина Т.В., Генкина И.Н., Чайковская М.А., Шурова Н.Е. Математическое обеспечение для расчета статического изгиба и поперечных колебаний колонн труб в скважинах. // Труды ВНИИБТ: 1985, вып. 60, с. 38-43.

11. Барский И.Л., Бредихина Т.В., Генкина И.Н. Расчет колонн труб в скважинах с промежуточными опорами. // Труды ВНИИБТ: 1985, вып. 61, с. 118-124.

12. Семак Г.Г. Исследование формы ствола и пространственного профиля скважины и разработка рекомендаций по их улучшению.//Канд. диссертация, ВНИИБТ, 1977, с. 216.

13. Плотников В.М., Барский И.Л, Гусман А.М. Компоновка низа бурильной колонны. Патент на полезную модель приоритет от 20.08.2003.