Шпаргалка по Теории Вероятности

1) свойство вероятности: 20 стр.

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . .

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. ,

Свойство 3. Для любого события . , т.к. , то и следовательно .

Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей:

Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей) .

Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то .

Свойство 7. Если (А влечет В), то . , тогда

Свойство 8. Если , то . Тогда

Свойство 9. . , .

Свойство 10. Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то . Т.к. , то по свойству 6:

2)условная вероятность, независимость:

Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

3)формулы полной вероятности и Баеса: 23 стр.

Теорема 1. Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i{1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н1,Н2,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

,

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.

4)схема независимых испытаний Бернули. Полиномиальное распределение:

Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей.

, , p+q=1.

Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний.

Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания

независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

Элементарным исходом будет являться:

(w1,w2,…,wn), .

Всего таких исходов 2n.

(1)

Формула (1) показывает, что события независимы.

Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие .

По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek,

P(Ei)=pi, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле:

где

Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

5)случайные велечины, функция распределения и её свойства.

Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.

.

.

Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.

Свойства функции распределения.

1.Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x1<x2 .

Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. , представим в виде объединения двух несовместимых событий

Тогда по теореме сложения вероятностей получим

, т.е.

. Поскольку , то .

2.Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

3.

, .

, .

4.Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.

.

Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности

.

Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то

.Отсюда .

6)мат. ожидание дискретной случайной велечины и его свойства (включая теорему 1)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .

Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

2.множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX)=CM(X).

Если случайная величин Х имеет ряд распределения

Ряд распределения случайной величины СХ

Математическое ожидание случайной величины СХ .

Случайные величины X1,X2,…,Xn называются независимыми, если для любых числовых множеств B1,B2,…,Bn

3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений события . По свойству 4:

.

Согласно примеру 2 . Таким образом, получим .

7)дисперсия дискретной случайной велечины и её свойства (включая теорему2): 43 стр.

Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Свойства дисперсии.

1.Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:.

.

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Хi—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.

.

. Т.к. MX1=p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .