Редуцированные полукольца

Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

Подпись____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

Подпись____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук,профессор

.

Подпись____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров, 2003.

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

длялюбыхa, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0длялюбогоaÎ S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ=Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞOp=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b¢,cÎS выполняется

abc = ab¢c Û acb = acb¢.

Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1.Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

baba = bab¢a иb¢aba = b¢ab¢a,

откуда

baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе

(ba)+ (b¢a)= bab¢a + b¢aba.

В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.

ab = ab¢Þba = b¢a. (1)

Аналогично доказывается ba = b¢aÞab = ab¢.

Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac и acb = acb¢. Значит, имеем:

ab = ab¢Þ acb = acb¢, ba = b¢aÞbca = b¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

abc= ab¢cÞacbc = acb¢cÞacbac=acb¢acÞacbacb=acb¢acbи

acbacb¢= acb¢acb¢Þ (acb)+ (acb¢)= acb¢acb+ acbacb¢Þacb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пустьa+ b= ab + baвлечётa = b. Приb = 0 получаемa= 0 Þa = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n> 2, то c= 0 для kÎN с условием n£ 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S= {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa= ab, но aa¹ba. Во-вторых, S– полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если ABÍP влечёт AÍP или BÍP для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт aÎP или bÎP для "a, bÎS.

Предложение 2. Идеал Pполукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, bÎS P найдётся элемент sÎS такой, что asbÏP. Если S- коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, bÏP влечёт abÏP.

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a, bÏP. Тогда главные идеалы (a) и (b) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент tÎaSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u,v,wÎS, то хотя бы для одного iÎ {1,…,k} avbÏP, ибо в противном случае каждое слагаемое uavbw лежит в P, и следовательно, tÎP.

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но AP. Тогда найдётся aÎA P. Предположим, что BP. Получим, что некоторый элемент bÎB P и по условию asbÏP для подходящего sÎS. Но тогда и ABP, и следовательно, P- первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m-системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a, bÎT найдётся такой sÎS, что asbÎT.

Пример. Рассмотрим множество T = {a,a, a, … , a}, где nÎNи a¹0. Оно является подмножеством полукольца Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT, 1ÎTи для "a,aÎT$с = 1ÎS : aсa= aÎT. Таким образом, Tявляется m-системой.

Легко увидеть, что если P– первичный идеал, то S Pявляется m-системой. И хотя дополнение до m-системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3.Пусть T-m-система, а J- произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть PÊJ, PÇT = Æ и P- максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSbÍP для некоторых a, bÏP. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть mÎ (P+SaS) ÇT, rÎ (P+SbS) ÇT и msrÎT для некоторого sÎS. Но, с другой стороны,

msrÎ (P+SaS) × (P+SbS) ÍP+SaSbSÍP.

Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSbÎP неверно, и P- первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если MÍA влечёт M = Aили A= S для каждого идеала A.

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m-систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого aÎSмножество

AnnaS = {tÎS: ("sÎS) ast=0} называется аннулятором элемента a.

AnnaS является двусторонним идеалом полукольца S.

Anna ={sÎS: as = 0} -правыйидеалиAnnaSÍAnn a.

Определение 10. Для любого идеала P множество Op= {sÎS: ($tÏP) sSt = 0} = {sÎS: AnnsSP} называется O-компонентой идеала P.

Лемма 1.Opявляется идеалом для любого первичного идеала P.

Доказательство: Пусть a, bÎOp. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, uÏP. В силу первичности PtsuÏP для подходящего sÎS. Для любого vÎS

(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.

Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтомуa + b, sa,asÎOp, иOp-идеал.

Лемма 2.Пусть PÍM- первичные идеалы полукольца.

Тогда OMÍOpÍ P.

Доказательство: Пусть aÎOM, тогда aSt = 0 для некоторого tÏM. Поскольку tÏP, то aÎOp, и значит, OMÍOp. Для любого sÎS 0 = astÎP. Поскольку P первичен, то aÎP или tÎP, отсюда aÎP, и следовательно, OpÍP.

Лемма 3.Для произвольных первичных идеалов P и P¢ симметрического полукольца S верна импликация:

PÇP¢ не содержит первичных идеалов ÞOpP¢.

Доказательство: Предположим, что OpÍP¢. Полагая A= S P и B= S P¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из AÈB. Покажем, что ABÇOp = Æ. В самом деле, если sÎABÇOp, то sb = 0 для некоторогоbÎA, т.е. {0} ÎAB. Поскольку sявляется произведением элементов из AÈB, то в силу первичности идеалов Pи P¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих uÎB, vÎA. Откуда uÎOpP¢- противоречие.

Таким образом, AB является m-системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий Op. А так как AÈBÍAB, то PÇP¢ÊQ. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и OpP¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P¢ в симметрическом полукольце, еслиOpÍP¢, то пересечение Pи P¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a, b) = {sÎS: "xÎS (axs = bxs)} - идеал полукольца S для "a, bÎS.Очевидно, (a, 0) = AnnaS.

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A.

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, bÎSвыполняется

= (a, b).

Определение 12. Пересечение radS всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5.Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = AnnaS для всех aÎS.

Доказательство: При a = 1 radS = = AnnS = 0, т.е. S- полупервично.

Пусть S- полупервичное полукольцо и bÎ. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит AnnaS, либо AnnaS не содержится в P. В первом случае bÎP, во втором случае aÎOpÍP. Тогда aSbradS = 0, откуда bÎAnnaS. Следовательно, ÍAnnaS. Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2.Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть cÏ(a, b) для a, bÎS. Тогда ac¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbc¹acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac¹bc, и следовательно, ac¹bc. По индукции ac¹bc. Значит, T = {1, c, c,…} -m-система, не пересекающаяся с (a, b), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b), при этом cÎS P. Значит, cÏ, откуда Í (a, b). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a, b)Þ по определению 12 S- строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через SpecS множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим

D(A) = {PÎSpec S: AP}.

МножествоD({0}) = {PÎSpec S: {0}P} = Æ, аSpec S = D(S).

D(A) ÇD(B) = { PÎSpecS: APÙBP} = { PÎSpecS : ABP} = D(AB).

SpecS является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD(A).

Лемма 4.Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î Spec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если PÎD(A), т.е. AP, то AnnAÍP, т.е. PÎY. Откуда ÍY, ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть PÏ. Тогда P лежит в некоторой окрестности D(B), где B- некоторый идеал в S, не пересекающийся с.

D(A) ÇD(B) = Æ, тогдаABÍrad S = 0, т.е. BÍAnn A.

Тогда P не содержит AnnA, иначе Pсодержал бы B . Следовательно, PÏY. Получили YÍ.

Лемма 5.Пусть P- первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = OpÛP- минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = Op , P¢ÎSpecS и P¢ÍP. Тогда OpÍOP¢ÍP¢. Поэтому P¢= P, и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует aÎP Op. Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a} $с = 1ÎS : aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с Op. Действительно, если aÎOp , nÎN, то ab = 0 для некоторого bÎS P. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьaÎOp;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P¢Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в PÇP¢,что противоречит минимальности P. Значит, PÍOp. Также OpÍP (Лемма 2). Тогда P = Op.

Лемма 6.Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a, bÎS P, то asbÏP для подходящего sÎS, откуда asb¹ 0 и ab¹ 0.

Определение 14.S – слабориккартовоÛ"a ÎS"b ÎAnn aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N– полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0ÎN. Тогда AnnaS = N. В результате получим, что AnnaS + Annb = N. Теперь возьмём aÎN {0}. Тогда AnnaS = {0}, а Annb= N. В результате получим, что AnnaS + Annb = {0} + N = N . Таким образом, N– слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема .Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, bÎS (D(a)ÇD(b)=ÆÞ=Æ);

3. все идеалы Op, PÎSpecS, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы OM, MÎMaxS, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и PÍMÞOp=OM для "PÎSpecS и MÎMaxS;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S- редуцированное полукольцо. Такое S- симметрическое (по предложению 1), поэтому Sобладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. ПустьPÎSpec SиabÎOpприa, bÎS.

Тогда$сÎS P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для" s ÎS.

Возьмём s = 1 Þabc = 0 ÞbcÎAnnaS (по определению AnnaS). НоAnn aSÍAnn a . ТогдаbcÎAnn a. Поусловию 1) S-слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = SдляaÎS, bcÎAnn aS.

$eÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что aÏOpÞAnnaSÍP (по определению Ann aS) Þe ÎP.

Тогда fÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P- первичный идеал ÞP- собственный Þ 1ÏP.

fÎAnn bcÞbcf = 0. Т.к. S- симметрическое ÞbScf = 0. Но cfÏP (т.к. cÏP, fÏP , а P- первичный идеал) ÞbÎOp.

Таким образом, получили, что все идеалы Op, PÎSpecS, вполне первичны.

3)Þ4). По условию 3 все идеалыOp , где PÎSpecS, первичны. Но MÎMaxS– является первичным идеалом (предложение 4), т.е. MÎSpecS. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM, где MÎSpecSи MÎMaxS, первичны.

Пусть PÍM. Тогда OMÍOp(лемма 2).

Если aÎOp, т.е. ab = 0 при некотором bÎS P и s = 1ÎS, то aÎOM, ибо bÏOMÍP, а ab = 0 ÎOMи OM псевдопрост (доказано выше). Значит и OpÍOM . Тогда Op = OM.

4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S иPÍM. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как PÍMÞOp= OM. Также OpÍP (Лемма 2). Докажем, что OM– минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q- минимальный первичный идеал полукольца S. Но QÍMÞOMÍOQÍQ. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал ÞOQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM=Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P¢- произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢= OM(по условию 4)). Также OP¢ = P¢ .

Тогда получили равенство Q= OQ = OM= OP¢= P¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в MÎMaxS, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Þ6). Пусть ab = 0, но Anna + Annb¹S для некоторых a, bÎS.

Тогда Anna + AnnbÍM для подходящего MÎMaxS.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. ТогдаOMÍP (Лемма 2). Предположим, что $aÎP OM. Степени элемента aобразуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{a} $с = 1ÎS: aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, еслиaÎOM, nÎN, то ab = 0 для некоторого bÎS M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть aÎOM; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P¢OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пустьq, wÎS Pиq, wÎS P¢. Тогда $sÎS: qswÏPÞqswÏPÇP¢ÞPÇP¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P. ЗначитPÍOM и P = OM. Первичный идеалOM псевдопрост, поэтому aÎOM или bÎOM. Откуда по определению нуль-компонент AnnaMÚAnnbMÞAnna + AnnbMÞ противоречие ÞAnna + Annb = S.

6)Þ1). Возьмём"a, bÎS: ab = 0 ÞbÎAnn aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Anna + Annb = S. Так как в симметрическом полукольце AnnaS= Anna, то AnnaS + Annb = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Û6). Пустьa, bÎSиab = 0. D(a) ÇD(b) = {PÎSpec S: aÏPÙbÏP} = { PÎSpec S: abÏP} (всилупервичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) ÇD(b) ={PÎSpec S: aÏPÙbÏP} ={PÎSpec S: abÏP}=D(ab) =ÆÞab = 0, таккакD(x) = ÆÛx = 0.

Таким образом, ab = 0 ÛD(a) ÇD(b) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {SÎSpec S: Ann aÍPÙAnn bÍP} = Æ.

ТогдаAnn a + Ann bMдля"MÎMax SÍSpec SÞAnn a + Ann b = S.

Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn aM ÚAnn bMдляподходящегоMÎMax SÍSpec S.

Тогда = {S ÎSpec S: Ann a ÍPÙAnn b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a+ b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a+ bÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Anna + Annb = S, то есть c + k = 1 при некоторых cÎAnnaи kÎAnnb.

cÎAnnaÞac = 0 (по определению аннулятора).

kÎAnn bÞbk = 0.

a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×kÎA.

Получили aÎA, что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.