Расширение кольца с помощью полутела

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Расширение кольца с помощью полутела

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н.,профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров – 2005

Введение........................................................................................ 3

§1. Допустимые кольца и решетки.............................................. 6

§2. Допустимые полутела.......................................................... 10

§3. О единственности расширения............................................ 12

Заключение................................................................................. 14

Библиографический список........................................................ 15

Введение

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос.Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура áS; +, ×, 0ñ, что áS; +, 0ñ - коммутативный моноид с нулем 0, áS, ñ - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру áS; +, ñ, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 Þa=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+cÞb=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция s, что K@[0]_s - изоморфно нулевому ядру - и S/s@T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция r, для которой K@[1]_r- изоморфно единичному ядру - и S/r@T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S)множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда Sобладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bÎR(S) Þa, bÎR(S)).

Пусть S/R(S)– фактор-полукольцо полукольца Sпо конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): sконгруэнтно tÛs+a=t+bдля некоторых a, bÎR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aÎS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в Sкаждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1.Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо Sс 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S[1].

3.Полукольцо Sслужит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abÎR(S) влечет aÎR(S) или bÎR(S)).

4.Для полукольца Sс 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца Tнеобходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо Sявляется 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/r, где r - конгруэнция наS, такая, что arbозначает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].

Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца Kи полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на Sсуществует такая конгруэнция r, что [0]_ρ@K, [1]_r@Lи S/r@T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§1.Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией r, для которой [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что "pÎP,"rÎR,p×rÎR,p+rÎP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца Sс 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то Sбудет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию r на S.

Предложение.В URсправедливы следующие утвержденияа) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть , тогда , ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует допустимая тройка áR, U, Lñ, гдеL – любая дистрибутивная решетка с 1¹0;

2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;

3) R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

1Þ2. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо Sи конгруэнцию r. Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединенияможно взять подполукольцо [1]_rÈ[0]_r в S.

2Þ1. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того LI - дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iÎI,rÎRÈ(l,p),lÎL/I,pÎP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]_r@R, [1]_r@P, F/r@L₂. Если в качестве конгруэнции g выбрать отношение равенства первых координат, то [0]_g@R, [1]_g@P, S/g@L₂, что завершает доказательство.

Лемма.Пусть в кольце R"r $r¢ "tÎR,(r+r¢r+r¢)t=0Ù,(r+rr¢+r¢)t=0, тогда"r $r² ,r+r²r+r²=0Ùr+r²r+r²=0.

Доказательство.Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r²=-r-r¢r. Имеем

r+r²r+r² = r+(- r - r¢r)r - r - r¢r = (r+r¢r+r¢)(-r)=0

r+rr²+r² = r+r (- r - r¢r) - r - r¢r = (r+rr¢+r¢)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» r°s = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента rсуществуетединственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)Þ3). P содержит Q⁺, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rÛr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q⁺ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T=Q⁺+R является подполутелом в U, поскольку

q₁+r₁+q₂+r₂= (q₁+q₂)+(r₁+r₂);

(q₁+r₁)(q₂+r₂) = (q₁q₂+q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) =q₁q₂+(q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂);

t=q+rÞ1=qt ^-1+rt ^-1Þt ^-1=q ^-1- q ^-1r t ^-1Î Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rÎR найдётся, 1+r¢,r¢ÎR что (1+r)(1+r¢) = (1+r¢)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr¢+r¢ = 1+r+r¢r+r¢ = 1. Умножая последнее равенство на любое tÎR, имеем (r+r¢r+r¢)t=0Ù(r+rr¢+r¢)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)Þ2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺´R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂)= (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S@(Q⁺È{0})´R с теми же операциями совпадает с (Q⁺´R)({0}´R) = (Q⁺´R)R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом e.

Пусть e - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1, p_iÎQ, n - наименьшая нулевая степень e, T R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-1,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ или

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-2,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R@m(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. "aÎm(0), a+x+ax = 0Ûx = (-a)/(1+a)Îm(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^l,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^m)qÎQ⁺,q_i,p_iÎ

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что PR.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mÎR, "rÎR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {eÎR,1+e=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3.Множество Q⁺×(R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть áR, U, Dñ- допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множествоQ⁺+Rесть подполутело U, изоморфное ((R/I)´Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм a полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End_RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Ima содержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qÎQ⁺,rÎR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+e, 1+e=1"e сливаются в классы q×(R/I), где I - множество всех e.

Отображение j_u: R®uR,uÎUввиду дистрибутивности и ассоциативности в UR является R – модульнымэндоморфизмом. Пусть j_u+j_v:R®(u+v)R и j_u×j_v:R®uvR, тогда отображение a: U®End_RR, сопоставляющее каждому элементу uÎU эндоморфизм j_u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q₁+r₁,q₂+r₂, считая без ограничения общности, q₁=q₂+q₃ (q₃может равняться нулю),"r, (q₁+r₁)r=(q₂+r₂)rÛ(q₃+r₁-r₂)r=0Þq₃=0,r₁=r₂. Элементы q₁+r₁ и q₂+r₂одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому a - мономорфизм и Imaсодержит подполутело, изоморфное ((R/I)´Q⁺).

Замечание. Система (Q⁺×(R/I))È({0}×R) с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)×(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности URдля данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное UR и пусть tÎR не лежит в AnnR, но t×rÎAnnR"rÎR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q₁e + q₂e² + … + q_n-1e^n-1,p₁e + p₂e² + … + p_n-1e^n-1)qÎQ⁺,q_i,p_iÎQ из примера 1).

Определим новые операции на UÈR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rÎRи uÎU сложение зададим законом uÅr=u+r+r×t. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁Åu₂)År=u₁Å(u₂År)Ûu₁+u₂+r+rt= u₁+u₂+r+rt

(uÅr₁)År₂=uÅ(r₁År₂)Ûu+r₁+r₁t+r₂+r₂t=u+r₁+r₂+(r₁+r₂)t.

2. Дистрибутивность:

u₁(rÅu₂)=u₁rÅu₁u₂Ûu₁(r+u₂+rt)=u₁u₂+u₁r+u₁rt

r₁(uÅr₂)=r₁uÅr₁r₂Ûr₁u+r₁r₂+r₁r₂t=r₁u+r₁r₂.

Таким образом, UÈRс новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:u®u"uÎU:

r®(1+t)^-1r"rÎR. Причёмf_t:r®(1+t)^-1r"rÎR – автоморфизмR.

Доказательство. Имеем f_t – автоморфизм R, поскольку для каждого элемента rимеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

"r₁,r₂, f_t(r₁+r₂)=(1+t)^-1(r₁+r₂)= (1+t)^-1r₁+(1+t)^-1r₂=f_t(r₁)+f_t(r₂)

"r₁,r₂,(1+t)^-1(r₁∙r₂)=(1+t)^-1(1+t)^-1(r₁∙r₂),

поскольку (1+t)r₁r₂=r₁r₂. Поэтому в виду коммутативности полукольца f_t(r₁∙r₂)=f_t(r₁)f_t(r₂).

Поскольку при отображении fкольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

"uÎU, rÎRf(u+r)=u+r= u+r+(1+t)^-1rf(u)Åf(r)

"uÎU, rÎR f(ur)=(1+t)^-1ur=u(1+t)^-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание0-1-расширений кольца R и полутела Uс помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

1. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.

2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.

3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S.93-98.

4. Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.

5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972. – 200 с.