Геометрические свойства равнобедренных треугольников

В. В. Богун

Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.

Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.

Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:

Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;

Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);

Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.

Для простоты изложения материала внесем ряд определений:

Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.

Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.

Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.

Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆ АВС (рис. 1); ВD = h  основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b  боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ∆ АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(1)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС.

S ∆АВС.

Рис. 1. Равнобедренный ∆ АВС с вписанной в него окружностью.

Получим:

Следствия из теоремы 1:

1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании:

Так как ,

а

то

. (2)

Однако из курса геометрии известно, что центр вписанной в любой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.

1.2. Отношение боковой стороны равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно отношению котангенса половинного угла при основании к косинусу полного угла при основании:

1.3. В равнобедренном треугольнике отношение разницы между основной высотой и радиусом вписанной окружности к величине последнего равно отношению боковой стороны к половине основания или величине, обратной значению косинуса угла при основании:

. (4)

Теорема 2: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности

Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно удвоенному произведению квадрата синуса угла при основании или разнице единицы и косинуса двойного угла при основании:

Рис. 2. Равнобедренный ∆ АВС с описанной вокруг него окружностью.

Исходные данные:

Равнобедренный ∆АВС (рис. 2); ВD = h - основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2  а; АВ = ВС = b - боковые стороны треугольника; АQ = BQ = CQ = R - радиус описанной вокруг ∆АВС окружности,  ВАС =  ВСА =  .

Доказать:

(5)

Доказательство:

Формулы для вычисления площади ∆АВС:

S ∆АВС =

S ∆АВС =

Получим:

Следствия из теоремы 2:

2.1. Отношение половины стороны основания равнобедренного треугольника к радиусу описанной вокруг него окружности равно синусу двойного угла при основании:

Так как

,

то

(6)

Поскольку

,

то

2.2. Отношение боковой стороны к радиусу описанной окружности равно двум синусам углам при основании:

2.3 В равнобедренном треугольнике отношение разницы между радиусом описанной окружности и основной высотой к величине первого равно косинусу двойного угла при основании:

Следствие из теорем 1 и 2:

В равнобедренном треугольнике отношение радиуса вписанной к радиусу описанной окружности равно произведению тангенса половинного угла при основании и синуса двойного угла при основании:

(9)

В табл. 1 представлены взаимосвязи между линейными элементами равнобедренного треугольника (основная высота, половина основания, боковая сторона, радиусы вписанных и описанных окружностей), выражаемые через тригонометрические выражения равных углов при основании.

Таблица 1

Соотношения в равнобедренном треугольнике

В предлагаемых ниже двух теоремах рассмотрены взаимосвязи между вписанными и описанными окружностями двух равнобедренных треугольников, имеющих один общий элемент. В первой теореме данным субъектом является основная высота, во второй - сторона основания. Что же касается совпадения боковых сторон равнобедренных треугольников, то здесь получим равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Теорема 3: О равных углах равнобедренных треугольников

Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то их центры вписанной и описанной окружностей соответственно совпадут.

Исходные данные:

Равнобедренные ∆АВС и ∆ЕBF c общей основной высотой ВD = h. DO 1 = r и ВО 2 = R - радиусы вписанной и описанной окружностей равнобедренных ∆АВС и ∆ЕBF соответственно.

 ВАС =  ВСА =  EBF =  ,

 BEF =  BFE =  (рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация теоремы 3

Доказать:

h = R + r (10)

Доказательство:

Для равнобедренного ∆АВС:

Для равнобедренного ∆ЕBF:

По условию теоремы

 ВАС =  ВСА =  EBF =

=  ,  BEF =  BFE =  .

А так как

 BEF =  BFE =

,

получим:

Если

(10),

то

Действительно,

,

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы 3:

3.1. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и угол между боковыми сторонами одного равен углам при основании второго, то отношение соответствующих оснований равно разнице величины, обратной по значению косинусам равных углов при основании второго, и единице:

Так как

и

,

то

3.2. Если два равнобедренных треугольника построены на одной основной высоте и равные углы при основании одного равны углу между боковыми сторонами второго, то отношение соответствующих боковых сторон равно половине величины, обратной по значению синусам равных углов при основании второго:

Поскольку

и ,

то

.

Теорема 4: О половинных углах равнобедренных треугольников

Если два равнобедренных треугольника имеют общее основание и вершина, являющаяся пересечением боковых сторон первого, совпадает с центром вписанной во второй треугольник окружности, то центр описанной вокруг первого треугольника окружности лежит на пересечении перпендикуляров к боковым сторонам второго.

Исходные данные:

Равнобедренные ∆ АВС и ∆ АОС с общим основанием АС = 2  а, DO = r = H  радиус вписанной окружности и высота равнобедренных ∆ АВС и ∆ AOC соответственно.  ВАС =  ВСА =  ,  OAC =  OCA = (рис. 4).

Доказать:

(13)

Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы 4

Доказательство:

Исходя из рис. 4, получим следующую цепочку соотношений:

Тогда

При этом согласно определению равнобедренные ∆ АВС и ∆ АСS являются полуподобными, поскольку

и наоборот, а равнобедренные ∆АВС и ∆АОС являются половинноподобными, поскольку удовлетворяют определению:

 ВАС =  ВСА =  ,  OAC =  OCA =