Шпаргалка по геометрии и алгебре

Т.Сумма смежных углов = 180°

Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)

Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.

Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.

Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.

2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

Признаки параллельности прямых. Е

А В В А А В

С Д Д

Д С С

ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис)

ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2)

ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.

Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,-прямые| |.

Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2

Но Ð1=Ð3 (вертикальные)-Ð3=Ð2.Но Ð2 и Ð3-накрестлежщие.-По Т 1 a | | b-

Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |-

Для ТТ 1-3 есть обратыные.

Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й

прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со-

ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.

Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð90°.

1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.

2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.

3. две прямые ^ 3-й параллельны.

4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.

Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)

R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).

2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке -

центр впис. Круга.

4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.

5. Средняя линия | | и = ½ основания

H(опущ. на стор. a) = 2√p(p-a)(p-b)(p-c)

a

M(опущ на стор a) = ½ √ 2b2+2c2 -a2

B (-‘’-)= 2√ bcp(p-a) / b+c

p - полупериметр

a²=b²+c²-2bx, х-проекция 1-й из сторон

Признаки равенства Ñ: 2Ñ=, если = сотв.

1. 2 стороны и Ð между ними.

2. 2 Ð и сторона между ними.

3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð

4. три стороны

5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.

Прямоугольный Ñ C=90° a²+b²=c²

NB! TgA= a/b; tgB =b/a;

sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний Ñ H= √3 * a/2

S Ñ= ½ h a =½ a b sin C

Параллелограмм

d²+d`²=2a²+ 2b²

S =h a=a b sinA(между а и b)

= ½ d d` sinB (между d d`)

Трапеция S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh

Ромб S=a h =a²sinA= ½ d d`

Окружность L= pRn° / 180°,n°-центрÐ

Т.Впис.Ð= ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ

S(cектора)= ½ R²a= pR²n° / 360°

Векторы.. Скалярное произведение

`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),

|`a| |`b| - длина векторов

Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =

|`a| |`b| = x` × y` + x`` × y``

Преобразование фигур

1. Центр. Симметрия

2. Осевая симметрия (^)

3. Симм. Отн-но плоскости (^)

4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .

5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

6. Поворот

7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:

- все точки оси переходят сами в себя

- любая точка АÏ оси р А-А` так, что

А и А` Î a, a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р.

Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн.перенос (x,y,z)-(x+a,y=b,x=c)

9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз

К=1 - движение.

Св-ва подобия.

1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)

2. (p) - (p`); [p)-[p`); a-a`; ÐA-ÐA`

3. Не всякое подобие- гомотетия

NB! S` = k² S``; V ` = k 3 V ``

Плоскости.

Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a, то она | | a

Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)

T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b.

Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.

Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.

Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.

Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^.

Т. 2 ^ к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.

Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.

Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Д-ть: a ^ b

Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного угла между a и b. Так как [a)^ b-(a)^(b)- (a)Ù(b)=90°-a ^ b-

Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая

1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.

Т. О 3-х ^.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.

Многогранники

Призма. V = S осн × a - прямая призма

a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения

V = S пс × а - наклонная призма

V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.

V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc

S=2(ab+ac+bc)

Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.

Фигуры вращения

Цилиндр V=pR²H; S= 2pR (R+H)

Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pR²H

S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая

Сфера «оболочка» S= 4pR²

Шар М= 4/3 pR3

ARCSIN a

-p/2£arcsin a £p/2 sin(arcsin a)=a

arcsin (-a)= -arcsin a

SIN X= A

x=(-1)n arcsin a +pk

ARCCOS a

0 £arccos a £p cos(arccos a)=a

arccos (-a)=p -arccos a

COS X= A

x=± arccos a +2pk

ARCTG a

-p/2£arctg a £p/2 tg(arctg a)=a

arctg (-a)= -arctg a

TG X= A

x=± arctg a +pk

sina_*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]

sina_*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]

cosa_*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]

sina_*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]

sina_*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]

cosa_*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]

sina+sinb=2sin(a+b)/2 _* cos(a-b)/2

sina-sinb=2sin(a-b)/2 _* cos(a+b)/2

cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2

cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²+2ab+b²

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

a²-b²=(a-b)(a+b)

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+ b²)

sin²+cos²=1 sin=±Ö1-cos² sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga

tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin² cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg²=1/cos²=sec²

sin²=(1-cos)(1+cos) 1+ctg²=1/sin²=cosec² sin2a=2sina•cosa

cos²=(1-sin)(1+sin) 1-tg²/(1+tg²)=cos⁴-sin⁴ cos2a=cos² a-sin² a

cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga

cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin³a

cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos³a-3cosa

sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb

sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb

2cos²a/2=1+cosa 2sin²a/2=1-cosa

sin²+cos²=1 sin=±Ö1-cos² sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga

tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin² cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga

tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg²=1/cos²=sec²

sin²=(1-cos)(1+cos) 1+ctg²=1/sin²=cosec² sin2a=2sina•cosa

cos²=(1-sin)(1+sin) 1-tg²/(1+tg²)=cos⁴-sin⁴ cos2a=cos² a-sin² a

cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga

cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin³a

cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos³a-3cosa

sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb

sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb

sin(2p-a)=-sina sin(3p/2-a)=-cosa

cos(2p-a)=cosa cos(3p/2-a)=-sina

tg(2p-a)=-tga tg(3p/2-a)=ctga

sin(p-a)=sina ctg(3p/2-a)=tga

cos(p-a)=-cosa sin(3p/2+a)=-cosa

sin(p+a)=-sina cos(3p/2+a)=sina

cos(p+a)=-cosa tg(p/2+a)=-ctga

sin(p/2-a)=cosa ctg(p/2+a)=-tga

cos(p/2-a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)[Ñ.Ê.Â.1] /2

tg(p/2-a)=ctga sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)[Ñ.Ê.Â.2] /2

ctg(p/2-a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2

sin(p/2+a)=cosa cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2

cos(p/2+a)=-sina

Y = S I N x

1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]

3).Периодическая с периодом 2p

4).Нечётная; sin (-x)=-sin x

5).Возрастает на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

Убывает на отрезках [p/2+2pk;3p/2+2pk], kÎZ

6).Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kÎZ

Наименьшее значение=-1 при х=-p/2+2pk, kÎZ

7).Ноли функции х=pk, kÎZ

8).MAX значение=1 х=p/2+2pk, kÎZ

MIN значение=-1 х=-p/2+p+2pk, kÎZ

9).x>0 на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ

x<0 на отрезках [p+2pk;2p+2pk], kÎZ

Y = C O S x

1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]

3).Периодическая с периодом 2p

4).Чётная; cos (-x)=cos x

5).Возрастает на отрезках [-p+2pk;2pk], kÎZ

Убывает на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ

6).Наибольшее значение=1 при х=2pk, kÎZ

Наименьшее значение=-1 при х=p=2pk, kÎZ

7).Ноли функции х=p/2+pk, kÎZ

8).MAX значение=1 х=2pk, kÎZ

MIN значение=-1 х=p+2pk, kÎZ

9).x>0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

x<0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ

Y = T G x

1).ООФ D(y)-все, кроме х=p/2+pk kÎZ

2).ОДЗ E(y)=R

3).Периодическая с периодом p

4).Нечётная; tg (-x)=-tg x

5).Возрастает на отрезках (-p/2+pk;p/2+pk), kÎZ

6). Ноли функции х=pk, kÎZ

7). x>0 на отрезках (pk;p/2+pk), kÎZ

x<0 на отрезках (-p/2+pk;pk), kÎZ

[Ñ.Ê.Â.1]

[Ñ.Ê.Â.2]