Теория управления

Общаяпостановказадачи управляемости.

Длязадачи ОУ характерноналичие динамическогообъекта. Динамическийобъект- объект,состояниекоторого меняетсясо временем.Состояниелюбого динамическогообъекта в моментвремени характеризуетсяпараметрами.Такие параметрыназ. Фазовыекоординаты,а сам вектор-фазовый вектор.

Предполагается,что движениемобъекта можноуправлять.Набор параметров-параметрыуправления,u(t)-вектор управления.Положениеобъектазависит толькоот того, какоеуправлениебыло до моментавремени ,и не зависитот того, какоеуправлениебудет в будущем.В зависимостиот описаниядин. Объектарассматриваютсяразличныезадачи.

Состояниединамическогообъекта описываетсядиф. уравнением

1)-эта системарешается приближеннымметодом.

2)x(t)должны принадлежать,.Класс допустимыхуправленийx(t),неможат бытьпроизвольным.,как правиломн-во замкнутои ограничено,а это не позволяетприменять классвариационогоисчесления,кроме этогона могутбыть наложеныограниченияпо времени.

3)Начальноеи конечноесостояниеобъекта.наинтервале ,,.Задачауправлениязаключаетсяв том, чтобыдинамическийобъект, описываемыйсистемой (1),удовлетворяющийусловиям (2),перенести запромежутоквремени ,из состояния.Этоможет бытьдостигнуторазными способами.

4)Критерий управления.Это некоторыйфункционалвида .Находим такие,что

2.Основные вопросыв теории ОУ.

1. 1)Управляемость.Можно ли осуществитьперевод динамическогообъекта изсостояния ,за промежутоквремени .

2. Существуетли ОУ.

3)Необходимыеусловия оптимальности-принцип максимумаПонтрягина.

4)Достаточныеусловия ОУ.

5)ЕдинственностьОУ.

3. Постановкалинейной задачи.

Линейнаязадача имеетвид: Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, , A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,,-замкнутои ограничено.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетпереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательнозадача быстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества взанаименьшеевремя.

4.Пространство,алгебраическаясумма,произведениемножества начисло .

Пространство-пространствосостоящее извсевозможныхне пустых компактныхподмножествпр-ва .

Мн-воFкомпактное,если оно замкнутои ограничено.

Мн-воFограничено,если оно содержитсяв шарк некоторогорадиуса.

Мн-воFзамкнуто,если оно содержитвсе свои предельныеточки.

Точкаfпредельнаяточка F,если в любойее окрестностисодержитсяхотя бы однаточка мн-ва Fотличнаяот f.

Операции:1)алгебраическойсуммойназ.мн-во Cтакое, что любойэлемент ,.

2)произведениеммножества начисло наз. мн-во Cтакое, что любойэлемент .

5.,хаусдорффованорма, леммапро определенностьхаус. нормы.

-этоминимальныйрадиус шарас центром вначале координат,где .

Хаусдорффованорма- это расстояниемежду мн-ми Aи B:

-расстояниемежду мн-ми Aи B()явл. наименьшееположительноечисло r.

Лемма:Пусть -выпуклы, тогдахаусдорффованорма

6. Опорныефункции.

Заданомножество ивектор . Для этих двухэлементов можноопределитьопорную функциюследующимобразом ,где Cопорная функция.,

,.

,.

Пусть-некоторыйфиксированныйвектор, а одиниз векторовмножества F,на которомопорная функциядостигаетмаксимум: .В этом случаеназ.опорным вектороммн-ва Fв точке .А совокупностьвсех векторовназ.опорным множествомк множествуFвнаправлении.Гиперплоскость-наз. опорнойгиперплоскостьюк множествуFв направлении.Гиперплоскостьразбивает надва подпространства,при этом множествоF находится вотрезке получаемыйотносительно ,т.к. для всехточек выполняетсянеравенство.Если считать,что -единичныйвектор, ,

.опорных

7.Свойстваопорной функции.

1.Опорныефункция- положительнооднороднаяпо переменной.

.Это значит что,.

2.Дляопорныефункции удовлетворяютнеравенству:3.Двамножества и ,,Пустьматрица Aразмера nнаn,ирассмотримлин. образ множестваFпри лин. преобразованииAиназ.

.

4.,где-матр.сопряженнаяс матр. .

5.Опорнаяфункция положительнаяи однороднаяпо первомуаргументу. , .Пусть и пользуемся: 1) условиемоднородности:6.Пустьзадано множествоиего опорнаяфун. . Выпуклая оболочкамн-ва F

,.

7.Если иA=B,то опорнаяфун..И наоборот,если ,то.Следствие:Выпуклые мн-варавны тогдаи только тогда,когда равныих опорныефункции.

8.Если и.В этом случае.Если ,то.Следствие:Выпуклые мн-ватогда и толькотогда, когдаравны их опорныефункции .

9.Пустьзадано множество,тогда .В обратнуюсторону: ,когда .Следствие:Точка выпуклому мн-ву, тогда и толькотогда , когда.

10.Пустьзадано множество,а ,тогда ..Следствие:Пусть заданомножество , ,тогда и толькотогда, когда.

иесли ,то .И наоборот:Если ,то.Следствие:Два вып. Мн-вапересекаютсятогда и толькотогда, когда.

8. Непрерывныефункции. УсловияЛипшица. Лемма1,2 об условияхЛипшица дляопорных функций.

Пусть-дваметрическихпространствас метрикамиипусть fотображает. fнепрерывнав точке,если такоечто УсловиеЛипшица:Функция f,отображающая,удовлетворяетусловию Липшицас constL, если для любыхдвух точек ,выполняетсянеравенство,для опорныхфункций ,,:

Лемма:Опорная функцияудовлетворяетусловию Липшецапо fс constL=.

Лемма:Пусть-выпуклы, тогдахаусдорффованорма

9.Многозначныеотображ­ения.

Многозначнымотображениембудем называтьфункцию укоторой аргументомявляется число,а значениемнекоторыемножества

10.Непрерывныеи равномернонепрерывныемногозначныеотображения.

МногозначноеотображениеF(t)непрерывнов точке ,если для .

Лемма: Пусть непрерывноемногозначноеотображение, когда непрерывнапо tпри всякомфиксированном,более тогоравномернонепрерывнопо t.

Еслиравномернонепрерывнопо t,то многозначноеотображениеconvF(t) непрерывно.

11.Измеримыемногознач­ныеотображения.Лемма о равномернойнепрерыв­ностимногозначногоотображения.

Функцияf(t)отображающаявнекотороеметрическоепр-во сметрикой называетсяизмеримой, еслипраобраз любогошара естьмн-во измеримое.

12.Интегралот многоз­начногоотображения.Теорема онепрерывностиот многозначногоотоб­ражения.

F-многозначноеотображение,такое что F:I,где , -замкнутое,ограниченное,не пустое, компактноемножество.

Интеграломот многозначногоотображенияна отрезке Iназываетсямножество G (G) вида:.Это мн-во значенийинтеграла повсем однозначнымветвям отображения

F(t).

Теорема3:Пусть многоз­начноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию: ,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогданепрерывнана отр. I.

Опорнаяфункция ,гдеF,.

13.Теоремы1, 2 о других видахмногозначныхотображений.

F-многозначноеотображение,такое что F:I,где , -замкнутое,ограниченное,не пустое, компактноемножество.

Интеграломот многозначногоотображенияна отрезке Iназываетсямножество G (G)вида:.Это мн-во значенийинтеграла повсем однозначнымветвям отображения

F(t).

Теорема1:ПустьмногозначноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию: ,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогдаG являетсяне пустым, компактныммножествомв пространстве,ивыпукло.

Теорема2 :ПустьмногозначноеотображениеF(t)измеримо иудовлетворяетусловию: ,где k(t)-скалярнаяфункция, интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I иизмерима, тогдаопорная функция.

14.Линейная задачабыстродействия.Определениеабс. непрерывнойфункции. ТеоремаКаратеодори.

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью(2)u(t)U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества взанаименьшеевремя.(4).

Рассмотримсистему линейныхдифференциальныхуравнений: ,,где u известное .Решение задачиКоши записываетсяв виде: ,оно справедливо,если u-непрерывная.

Вычислим(этоследует из ).

Определение:Функцию x(t)наз. абсолютнонепрерывнойна отр. I,если ее производнаясуществуетдля почти всехt,принадлежащихI, интегрируемаяпо Лебегу производнаяивыполняетсяусловие: .

Еслиимеем измеримое допустимоеуправлениеu(t), то решениесистемы (1) такжеможно определитьс помощью формулыКоши, но в этомслучае x(t) небудет непрерывнодифференцируема,а будет абсолютнонепрерывной.

ТеоремаКаратеородори: Если функцияu(t)интегрируемаяпо Лебегу наотр. I,то для любогоначальногозначения существуети при том единое абс. непрерывноерешение задачиКоши, котораязадаетсяформулойКоши.

15.Множестводостижи­мостии его свойства.

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью (2) u(t)U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества в занаименьшеевремя. (4).

Введемпонятия мн-вадостижимости:-этомножество всеточек фазовогопространства,в котором можноперейти наотр.из начальногомножества порешениям (1) привсех допустимыхзначенияхуправленияu(t)вмомент времени.

Рассмотримсвойствамножествадостижимости:

1)Используемформулу Коши:,-интегралот многозначногоотображения.Доказательствонепосредственноподстав­ле­ниемвуравн (1).

2)Множестводостижимостиявляется непустым, компактнымподмножествомпр-ва ..

Доказательствоследует изформулы Кошии 1-ой теоремыдля интеграламногозначныхотображений.

3)Если начальноемножествовыпукло,то множестводостижимоститакжевыпукло. Доказательствоследует изформулы и теоремы овыпуклостиинтеграла отмногозначногоотображения.

4)Опорная функциямножествадостижимостиимеет вид: , u(s)=U. Доказательствоследует изформулы ,свойств (3), (4) опорныхфункций , теоремы2 и того факта,что .

Доказательство:

.

5)Мн-водостижимости::Iнепрерывнозависит отаргумента .Множестводостижимостиимеет вид :-непрерывнапо теореме 3,матрица такженепрерывнапо ,следовательнолинейное отображениенепрерывнаяфункция.

Пример:Найти мн-водостижимостидля управляемогообъекта, описываемогоуравнением:.

,и,I.

,,,,,.,.

16.Общаязадача управляемости. Теорема обуправляемости.

Рассмотримвопрос:«Оптималенли объект?»

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU (2) u(t)U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества взанаименьшеевремя.(4).

Задачауправления-решение вопроса:существуетхотя бы однодопустимоеуправлениеu(t), переводящийдинамическийобъекта из в,на отр. времениI.Это соответствуетрешению краевойзадачи: ,.

Определимтакимобразом.

Теоремаоб уравляемости.Еслиивыпуклы,то объект явл.управляемымна отр. Iиз мн-ва в ,тогда и толькотогда, когдадля

Док-во:Очевидно, объектуправляем тогдаи только тогда,когда множестводостижимостии пересекаются.Т.к. и

выпуклы,то для негоприменим следствиеиз 11 св-ва опорныхфун-ий().

,;

;

Bocпользуемсяеще одним св-омопрных функий:если - невырожденнаяматрица, томожно воспользоватьсясв-вом , что :

.

Всилу положительнойопорной фун-ииотносительноаргумента , получаем, чтоэто верно .

Теоремадок-на, т.к. леваячасть неравенстваи есть .

17.Численноерешение задачиуправляемости.

Объектуправляем наI=,если выполняется.Если множнство,,таковычто аналитическиневозможнополучить значениеопорной функцииu

Вычислениематрицы и интеграл,тогда задачарешается сприменениемЭВМ. На ЭВМ решаетсядля конечногочисла .Для этого сферапокрывается-сетью.В двумерномпространстве -сетьопределяетсяуглом .В трехмерномпространстве -сетьопределяется двумя углами.Пусть некоторая-сетьнекоторойединичной сферыS,где -конечноемножество.Какой бы вектор,найдется ,такой что .Пусть вычислимоеприближенноезначение в точках -сети.,.Необходимо,чтобы -в этом случаеговорим, чтообъект -управляем и при этом .Отсюда имеемследующее .Если ,то -объектE-управляем.Если -объектне управляем.Если ,то в этом случаенеопределенность.Выясним вопросо погрешности.и-погрешностьдля вычисленияопорной функцийи.-погрешностьдля вычисления.По условиюЛипшица ,

.Используемэти формулы, получим следующиепогрешности:- погрешностьдля вычисления-предполагается,что она интегрируемапо Лебегу. -этовычислениеинтеграла .-погрешностьдля вычисления.-погрешностьвычисленияминимума функций.,.+++++++

18. Леммао внутреннейточке.

ПустьА- квадратичнаяматрица размераnxn, V-произвольныйвектор пр-ва,отрезок I=.Тогда ,тогдаи только тогда, когда векторылинейнонезависимы.

Подинтегралом-многозначноеотображения,интеграл отмногозначногоотображения– тоже многозначноеотображения.

Доказательство:Обозначим F=.По свойствамопорной функциидля того чтобынужно,чтобы выполнялосьусловие ,.=

==

==.Т.к.подынтегральнаяфункция непрерывнаи неотрицательна,то условие ,выполняетсятогда и толькотогда, когданаинтервале I. Покажем, чтодля этого необходимои достаточно,чтобы векторыбылилин. независимы.

Необходимость:(доказательствоот противного)

эквивалентно,-лин.независимы.Предположим,что векторылин. зависимы.Для 3-х векторов: ;-лежат в однойплоскости, ;.Тоже самое дляn-векторов: ,Пришлик противоречию,необходимостьдоказана.

Достаточность: (от противного)

Есливекторы линейнонезависимы,то такой, что ,.Продифференцируемn-1раз:0=.Отсюдаследует: ,где -невырожденнаяматрица, -не нулевойвектор и ,а это означает,что векторы лин.зависимы.Получилипротиворечие.перпендикуярен.

19.Локальнаяуправляемость.Теорема о локальнойуправляемости..

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU (2) u(t)U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям (4) и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход из

множествавзанаименьшеевремя.(4).

Предположим,что ,а мн-во -произвольныеточки изокрестности.

Сделаемлинейную замену:,где-функции,получим ,,где ,,поэтому вместоточки можнорассматриватьт.0 и будем говоритьо локальнойуправляемостив т.0. Т.е. еслиобъект локальноуправляем вт.0, то он локальноуправляем влюбой точки.

Определение:Объектназ. локальноуправляем вт. =0на отр.I, если объект явл.Управляемымна отр.Iиз т..

Длярешения задачиприменим теоремуоб управляемости,но для конкретнойместности.Исходя из теоремыоб управляемости,объект явл.управляемымиз вна I, если >=0.

20.Теорема о локальнойуправляемости.(дает достаточноеусловие локальнойуправляемости)

Есливектори выполняютсядва условия:

1),;

2)-лин.независимы,тогда объектявл. локальноуправляем вточке x=0на отр. I.

Доказательство:В силу определениялокальнойуправляемостивыполняетсяусловие .

,получим (1) .Покажем, что,такое , чтовыполняется(1) и .По предположениютеоремы 1) выполняется,получим .Сделаем оценкудля левой частинеравенства.Оценим интеграл:,

т.к.и выполняется2) , то 0 явл. внутреннейточкой интеграла:,а это означает,что опорнаяфункция >0,.Из свойствопорной функцииследует, чтоопорная функциянепрерывнапо .Если опорнаяфункция непрерывна,>0,и S–компактное,это означает,что ,такое что , ,.Т.о. оценилилевую частьнеравенства(1), покажем , чтодля правойчасти , котораязависит от ,по этому можнонайти .

Покажем, что .Оценим

,отсюда имеем.

,,а это значит, объектлокально управляемв точке x=0.

21.Теоремао сущест­вованииоптимальногоуправления.

Еслиобъект являетсяуправляемымиз множествана отр.,то существуетпереводящееобъект из за время -оптимальноуправляем.

Рассмотрим-множество всехдопустимыхуправлений,переводящих объект из .Т.к. объект являетсяуправляемым, то .Обозначим черезпопаданияфазового векторанамножестве ,т.е. .Следовательноза меньшееневозможноперейти.

Докажем,что ,переводящееобъект из за,при этом считаетсяфиксированым.Т.к. ,то последовательностьперехода,сходящаясяк .удовлетворяетмн-во достижимости(пустоемн-во). Пустьдля .Т.к. множествозамкнутои ограничено,то из можновыбратьподпоследовательность.

Пустьдано .Т.к. сходящаясяк.

Т.о..Множествонепрерывнопо аргументу,т.е. начиная скакого-то номера..Т.к. произвольная,а мн-во компактно,то .Т.к. и,то это обозначает,что (пустое мн-во)и это означает,что ,переводящееобъект из за.И т.к. ,то -оптимальноеуправление.Теорема док-на.

22.Принцип максимумаПонтрягинана языке опорныхфункций.

Рассматриваемдинамичес­кийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательнозадача быстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход измножества взанаименьшеевремя. (4).

,где -ненулеваявектор-функция.,.Если -оптимальноеуправление,переводящее,то .

Длянашей задачи :.удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягинана ,если существуетне нулеваявектор -функция.,удовлетворяющаясистеме снач. условием,такая что выполняетсяусловие:

1. -здесьдостигаетсямаксимум.

2);

3).

Теоремао необходимыхусловияхоптимальности.Если в линейнойзадаче быстродействиямн-ва выпуклы,-оптимальноеуправление,переводящеенаотр. ,а -соответствующаятраектория,то пара удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягина.

23.Применениенеобхо­димыхусловийоптималь­ности(схемаи поясненияк ней).

Рассматриваемдинамическийобъект, поведениекоторого описываетсясистемой (1) ,x-n-мерныйвектор, ,A-матрицаnxn,uимеет ту жеразмерность,чтои ,.Задано , u:Iи полагается,что u(t)измеримои -где k(t)скалярнаяфункция интегрируемаяпо Лебегу наотрезке I .Функцияu(t)-называетсядопустимымуправлением,если измеримаи являетсяоднозначнойветвью измногозначногоотображенияU u(t)U(t)-ограниченияна управления. В фазовомпространстве заданыдва не пустыхмножества ,-выпуклы.Допустимоеуправлениеu(t)на отр.Iосуществляетепереход изначальногомн-ва в конечноемножество ,если существуетрешение уравнения(1), удовлетворяющее граничнымусловиям и.Цель управления-перевод динамическийобъекта из в,а качествоопределяетфункционал.Таким функционаломявл. время,следовательно

задачабыстродействиязаключаетсяв нахождениитакого допустимогоуправления,которое осуществляетпереход из

множества взанаименьшеевремя..

Пустьоптимальноеуправление,-соответствующаятраектория,переводящаязавремя I. И -ненулеваяфункция, такаячто (2).

1)(3);

2)(4);

3)(5)

Найти:

24.Достаточноеусловие оптимальности.

(Вначале написатьвопрос «Применениенеобходимыхусловий оптимальности(схемаи поясненияк ней»)

Длялинейной задачисуществуетдост. условие.Для этого необходимовыполнениедополнительныхусловий: усилениеусловия трансверсальности4) решение удовлетворяетусиленномуусловию трансверсальностина наотр.,если для (6).

Достаточноеусловие: если допустимоеуправление,-соответствующаятраектория,переводящаязавремя Iи пара удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягина(2-5) и усиленномуусловию трансверсальности(6), то -оптимальноеуправление.

Следствиеиз теоремыдостаточногоусловия трансверсальности.Используемлокальнуюуправляемость:.Еслинекотороедопустимоеуправление,а -соответствующеерешение (1), переводящееза время I,удовлетворяетпринципу максимумаПонтрягинаи объект явл.локально управляемымв т.0 на любомотр.,то управление-оптимально.

25.Единственностьоптима­льногоуправлениядля линейнойзадачи.

(В начале написатьвопрос «Применениенеобходимыхусловий оптимальности(схемаи поясненияк ней)»)

Прирешении сиспользованиемпринципа максимумаПонтрягинав пунктах 3,4нарушаетсяединственность.При выборе изусловия 4 и выбореиз условия (3).Пусть заданаисопряженнаяфункция удовлетворяющаясистеме (2), еслиопорная функцияявляетсядифференцируемойпо в точке ,т.е. в этой точкесуществуетградиент функцииидля почти всехдифференцируемаяпо ,то соответствующаяпара ,удовлетворяющаяпринципу максимумаПонтрягина,являетсяединственной.

Следствие: Если мн-во истрого выпуклыдля почти всехt, принадлежащихI,тогда для любогоначальногозначения ,соответствующаяпара ,удовлетворяющаяпринципу максимумаПонтрягина,являетсяединственной.