Статистика (шпаргалка 2002г.)

1.Анализ рядовраспределения

Рядраспределения,графики в приложении.

Мода:

Медиана:

Нижнийквартиль:

Верхнийквартиль:

Среднийуровень признака:

Средняявеличина можетрассматриватьсяв совокупностис другими обобщающимихарактеристиками,в частности,совместно смодой и медианой.Их соотношениеуказывает наособенностьряда распределения.В данном случаесредний уровеньбольше модыи медианы. Асимметрияположительная,правосторонняя.

Асимметрияраспределениятакова:

=> 27,39 31,4 33,52

Показателивариации:

1)Размах вариацииR

2)Среднее линейноеотклонение

(простая)

(взвешенная)

3)Дисперсия

Другиеметоды расчетадисперсии:

1.Первый метод

Условноеначало С = 35

Величинаинтервала d= 10

Первыйусловный момент:

Среднийуровень признака:

Второйусловный момент:

Дисперсияпризнака:

2.Второй метод

Методикарасчета дисперсииальтернативногопризнака:

Альтернативнымназываетсяпризнак, которыйпринимаетзначение «да»или «нет». Этотпризнак выражаеткак количественный«да»-1, «нет»-0,это значениеx, тогда для негонадо определитьсреднюю и дисперсию.

Выводформулы:

Средняяальтернативногопризнака равнадоле единиц,которые этимпризнакомобладают.

- Дисперсияальтернативногопризнака. Онаравна произведениюдоли единиц,обладающихпризнаком наее дополнениедо 1.

Дисперсияальтернативногопризнака используетсяпри расчетеошибки длядоли.

,W– выборочнаядоля.

Видыдисперсии иправило ихсложения:

Виды:

1.Межгрупповаядисперсия.

2.Общая дисперсия.

3.Средняя дисперсия.

4.Внутригрупповаядисперсия.

Увсей совокупностиможет бытьрассчитанаобщая средняяи общая дисперсия.

1. общая и общая.

2. Покаждой группеопределяетсясвоя средняявеличина и своядисперсия:a,a;б,б;i,i

3.Групповыесредние i не одинаковые. Чем большеразличия междугруппами, тембольше различаютсягрупповыесредние и отличаютсяот общей средней.

Этопозволяетрассчитатьдисперсию,которая показываетотклонениегрупповыхсредних отобщей средней:

- межгрупповаядисперсия, гдеm_i– численностьединиц в каждойгруппе.

Вкаждой группеимеется свояколеблемость– внутригрупповая.Она не одинакова,поэтому определяетсясредняя извнутригрупповыхдисперсий:

Этидисперсиинаходятся вопределенномсоотношении.Общая дисперсияравна суммемежгрупповойи средней извнутригрупповыхдисперсий:

- правилосложения дисперсий.

Соотношениядисперсийиспользуютсядля оценкитесноты связеймежду факторамивлияния изучаемогофактора – этомежгрупповаядисперсия. Всеостальныефакторы – остаточныефакторы.

2.Ряды динамики

Ряддинамики, графикряда динамикив приложении.

Средняяхронологическая:

Производныепоказателиряда динамики:

- коэффициентроста, базисный

- коэффициентроста, цепной

- коэффициентприроста

- абсолютноезначение одногопроцента прироста

Год	Уровень		Темпыроста %		Темпыприроста %		А1%
			Базисные	Цепные	Базисные	Цепные
1	40,6	-	100	-	-	-	-
2	41,5	0,9	102,2167	102,2167	2,216749	2,216749	0,406
3	49,5	8	121,9212	119,2771	21,92118	19,27711	0,415
4	43,6	-5,9	107,3892	88,08081	7,389163	-11,9192	0,495
5	39,2	-4,4	96,55172	89,90826	-3,44828	-10,0917	0,436
6	40,7	1,5	100,2463	103,8265	0,246305	3,826531	0,392
7	38,2	-2,5	94,08867	93,85749	-5,91133	-6,14251	0,407
8	36,5	-1,7	89,90148	95,54974	-10,0985	-4,45026	0,382
9	38	1,5	93,59606	104,1096	-6,40394	4,109589	0,365
10	38,7	0,7	95,3202	101,8421	-4,6798	1,842105	0,38
11	39,4	0,7	97,04433	101,8088	-2,95567	1,808786	0,387

Взаимосвязьцепных и базисныхкоэффициентовроста:

1. Произведениепоследовательныхцепных коэффициентовравно базисному:

и т. д.

2. Частноеот деленияодного базисногоравно цепномукоэффициенту:

и т. д.

Среднийабсолютныйприрост:

Среднийгодовой коэффициентроста:

1)

2)

3)

Анализтенденцииизмененийусловий ряда:

Анализсостоит в том,чтобы выявитьзакономерность.

Метод– укрупнениеинтервалови расчет среднегоуровня

Год	Уровень	Новыепериоды	Новыеуровни
1	40,6	1	43,9
2	41,5
3	49,5
4	43,6	2	41,2
5	39,2
6	40,7
7	38,2	3	37,6
8	36,5
9	38,0
10	38,7	4	39,1
11	39,4

Тенденцияизображенав виде ступенчатогографика (вприложении).

Сезонныеколебания:

Месяц	Годы			Ср.уровень закаждый месяц	Индекссезонности
	1998	1999	2000
1	242	254	249	248,3333	81,24318
2	236	244	240	240	78,5169
3	284	272	277	277,6667	90,83969
4	295	291	293	293	95,85605
5	314	323	331	322,6667	105,5616
6	328	339	344	337	110,2508
7	345	340	353	346	113,1952
8	362	365	364	363,6667	118,9749
9	371	373	369	371	121,374
10	325	319	314	319,3333	104,4711
11	291	297	290	292,6667	95,747
12	260	252	258	256,6667	83,96947

Индекссезонности:

График«Сезоннаяволна» в приложении.

3.Индексы

Индивидуальныеиндексы:

Расчетиндивидуальныхиндексов ведетсяпо формулам:

i_p = ; i_q =

Общийиндекс физическогообъема:

I_q=

Общийиндекс цен:

1)I_p=

2)I_p=

3)I_{p(фишер)}=

Общийиндекс стоимости:

I_pq=

Взаимосвязьиндексов I_p, I_q, I_pq:

I_px I_q = I_pq

(1,0975x1,0393) x100 = 114,06

Влияниефакторов наизменениестоимости:

Общееизменениестоимостисоставило:

pq=

втом числе :

- за счет ростацен на 9,75% дополнительнополучено доходов:

p=

-за счет ростафизическогообъема продажна 3,93% дополнительныедоходы полученыв размере:

q=

Взаимосвязьp,q,pq:

pq= p+ q

4252,2= 3064,1 + 1188,1

Методикапреобразованияобщих индексовв среднюю изиндивидуальных:

Общиеиндексы – этоотносительныевеличины, в тоже время, общиеиндексы являютсясредними изиндивидуальныхиндексов, т.е.индивидуальныйиндекс i x,а Y .Вид общегоиндекса долженсоответствоватьагрегатнойформе расчета.В этом случаесохраняетсяэкономическийсмысл индексаи меняетсятолько методикарасчета.

Алгоритм:

1.Индекс физическогообъема

а)индивидуальныйиндекс физическогообъема:

i_q =

I_q=

в)

г)I_q=

i_q x (q₀p₀) f

Такимобразом, индексфизическогообъема представляетсобой среднююарифметическуюиз индивидуальныхиндексов, взвешенныхпо стоимостипродукциибазового периода.

2.Индекс ценЛаспейресаI_p= i_p =

Индексцен Ласпейреса– это средняяарифметическаяиз индивидуальныхиндексов, взвешанныхпо стоимостибазового периодаили удельномувесу.

3.Индекс ценПааше

а)Индивидуальныйиндекс цены

i_p = б)I_p= в) p₀ = I_p= Индексцен Пааше являетсясредней гармоническойвеличиной изиндивидуальныхиндексов, взвешенныхпо стоимоститекущего периода.

7вопросОтносительныевеличины

Статистикашироко применяетотносительныевеличины, потребностьв которых возникаетна стадии обобщения.Они помогаютустановитьзакономерности,в них заключен«молчаливыйвывод»; являютсясамостоятельнымистатистическимипоказателямии имеют самостоятельнуюширокую сферуприменения,например, уровеньрождаемости,естественногоприроста населения,рентабельностьи т.д.

Относительнаявеличина – этостатическийпоказатель,полученныйпутем сопоставлениядвух другихвеличин (абсолютных,средних и другихотносительных).

При пользованииотносительнымивеличинамиследует применятьдостаточноедля целейисследованиячисло значащихцифр. Поэтомусуществуютразличныеспособы выраженияотносительныхвеличин. Еслисравниваемаявеличина большебазы y₁> y₀,то удобнопользоватьсякоэффициентомК= у₁/у₀.Если междууровнями у₁и у₀различия абсолютныхвеличин невелики,то удобно применять децили и проценты:Δ = 10 (у₁/у₀);Т = 100 (у₁/у₀).Если уровеньу₁значительно меньше базы, то удобно применятьпромилле и продецимилле:П = 1000 (у₁/у₀);Пґ = 10000 (у₁/у₀).

Например,рост цен можетбыть измерени коэффициентом,и процентом(рост в 2,1 разаили 103,15%), рождаемостьи естественныйприрост определяютна 1000 чел. населенияи т.д.

2.2. Видыотносительныхвеличин

В зависимостиот характерасравниваемыхабсолютныхвеличин можновыделить дватипа относительныхвеличин. Еслисравниваютсядве абсолютныевеличины, имеющиеодинаковыеединицы измерения,то относительнаявеличина показывает«отношение»и являетсябезразмерной.Если сравниваютсядве абсолютныевеличины, укоторых единицыизмерения несовпадают, тоотносительныевеличины имеютразмерность.

Относительнаявеличина структурыопределяетсякак отношениечисла единицf илизначения признакауизучаемой частик общему числуΣf:W= f/ Σf;

Относительнаявеличина координациипоказываетотношениечисленностиединиц однойчасти совокупностик численностиединиц другой.

Изменение уровня изучаетсяво времениотносительнойвеличиной динамики. Например,уровень показателя1999 г. (у₁)сравниваетсяс уровнем тогоже показателяпо тому же объекту1990 г. (у₀):К₁= у₁/у₀.

Прогнозируемыйуровень сравниваетсяс существующим– относительнаявеличина прогноза:К_пр= у_пр/у₀.

Изменение уровня изучаетсяпо сравнениюс предварительнымпрогнозом(нормой, планом)– относительнаявеличина выполненияпрогноза: К_в.пр. =у₁/у_пр.

Относительнаявеличинаинтенсивностипредставляетсобой сравнениедвух разныхстатическихпоказателей,которые имеютразмерность.К таким показателямотноситсяплотностьнаселения,автомобильныхдорог и т.д.

Относительнымивеличинамитакже являютсяиндексы: биржевые,социальные,сезонностии т.д.

i_р= р₁/р₀; i_q= q₁/q₀;i_z= z₁/z₀и т.д.

Тема 3.Средние величиныи показателивариации

3.1.Сущность изначение среднихвеличин

Средняявеличина отражаеттипичные размерыпризнака,характеризуеткачественныеособенностиявлений вколичественномвыражении.

Средниехарактеризуютодной величинойзначение изучаемогопризнака длявсех единицкачественнооднороднойсовокупности.

К.Маркс отметил:«Средняя величина– всегда средняямногих различныхиндивидуальныхвеличин одногои того же вида».

Средняявеличина –величина абстрактная,потому чтохарактеризуетзначение абстрактнойединицы, а значит,отвлекаетсяот структурысовокупности.

Понятиестепеннойсредней, формуларасчета, видысредних величини область их применения,правило мажорантностисредних

Степеннаясредняя – этотакая величина,которая рассчитанапо индивидуальнымзначениямпризнака, возведеннымв степень К,и приведенак линейнымразмерам:

Взависимостиот показателястепени Ксредняя можетбыть гармонической(К= -1), арифметической(К= 1), геометрической(К= 0), квадратической(К= 2), кубической(К= 3), биквадратической(К= 4). Каждая средняяобладаетопределеннымисвойствамии имеет своюсферу применения.

Е
слиК= 1, то средняяявляетсяарифметической:

гдеn-числонаблюдений.

Массовыепо численностисовокупностиобобщаютсяв виде рядараспределения.Характерраспределения,частота повторениякаждого признакаоказываетвлияние насреднюю, котораяназываетсясредней взвешенной:

гдеf-частотаповторенияпризнака (статическийвес).

ЕслиК= -1, средняя являетсягармонической.Это величина,обратная простойсредней арифметической:

Средняягармоническаявзвешеннаяопределяется:

гдеΣW-суммарноезначение признака.

ЕслиК= 0, то средняяявляетсягеометрической.Эта величина,полученнаякак корень m-йстепени изпроизведениязначений признака:

Взвешенная-

ЕслиК= 2, то средняяявляетсяквадратичной:

Простая-

Взвешенная-

ит.д.

Еслидля одного итого же первичногоряда вычислитьразличныестепенныесредние, то чембольше показательстепени К,тем большеабсолютноезначение средней:

Правилоназываетсямажорантностистепенныхсредних.

3.3.Свойства среднейарифметической

Средняявеличинаарифметическаяобладает рядомсвойств, позволяющихускорить расчет.

1. Онане изменяется,если веса всехвариантовумножить илиразделить наодно и то жечисло.

2. Есливсе значенияпризнака одинаковые,то средняяравна этой жевеличине.

3. Средниесуммы или разностиравны суммеили разностисредней:

4. Еслииз всех значенийХвычесть постояннуювеличину С,то средняяуменьшаетсяна это значение.

5. Есливсе значенияуменьшить вdраз (Х/d), то средняяуменьшитсяв dраз.

6. Суммаотклоненийзначения признакаравна 0.

7. Суммаквадратовотклонений

3.4.Расчет модыи медианы

Модой(М₀)называетсячаще всеговстречающийсявариант илито значениепризнака, котороесоответствуетмаксимальнойточке теоретическойкривой распределения.

Вдискретномряду мода – этовариант с наибольшейчастотой. Винтервальномвариационномряду мода приближенноравна центральномуварианту такназываемогомодальногоинтервала.

гдех_М0-нижняяграница модальногоинтервала;

i_M0-величинамодальногоинтервала;

f_M0-частота,соответствующегомодальногоинтервала;

f_M0-1-частота,предшествующаямодальномуинтервалу;

f_M0+1-частотаинтервала,следующегоза модальным.

Медиана(М_е)– это величина,которая делитчисленностьупорядоченноговариационногоряда на 2 равныечасти: одначасть значенияварьирующаяпризнака меньшие,чем среднийвариант, а другаячасть – большие.Для ранжированногоряда с нечетнымчислом членовмедианой являетсяварианта,расположеннаяв центре ряда,а с четным числомчленов медианойбудет средняяарифметическаяиз двух смежныхвариант.

Винтервальномвариационномряду порядокнахождениямедианы следующий:располагаеминдивидуальныезначения признакапо ранжиру;определяемдля данногоранжированногоряда накопленныечастоты; поданным о накопленныхчастотах находиммедианныйинтервал.

Медианаделит численностьряда пополам,следовательно,она там, гденакопительнаячастота составляетполовину илибольше половинывсей суммычастот, а предыдущая(накопленная)частота меньшеполовины численностисовокупности.

Еслипредполагать,что внутримедианногоинтерваланарастаниеили убываниеизучаемогопризнака происходитпо прямой равномерно,то формуламедианы винтервальномряду распределениябудет иметьследующий вид:

гдех_ме-нижняяграница медианногоинтервала;

i_me-величинамедианногоинтервала;

Σf/2-полусуммачастот ряда;

Σf_mе-1-сумманакопительныхчастот, предшествующихмедианному

интервалу;

f_mе-частотамедианногоинтервала.

Квартили– это значенияпризнака, которыеделят ряд на4 равные части.Различаютнижний квартильQ₁,медиану М_еи верхний квартильQ₃.

гдеx_min-минимальныеграницы квартильныхинтервалов;

i-интервалряда распределения

Σf_Qf-1;Σf_Q3-1-суммычастот всехинтервалов,предшествующих

квартильным;

f_Q1;f_Q3-частотыквартильныхинтервалов

Децили(D)– варианты,которые делятранжированныйряд на 10 равныхчастей. Так,первый и второйдецили могутбыть вычисленыпо формулам:

гдеx_min-минимальныеграницы децильныхинтервалов;

i-интервалряда распределения

Σf_Оf-1;Σf_О2-1-суммычастот всехинтервалов,предшествующих

децильным;

f_D1;f_D3-частотыдецильныхинтервалов

3.5.Понятие вариациипризнака, показатели вариации,дисперсияальтернативногопризнака. Упрощенныйспособ расчетадисперсии. Виды дисперсийв совокупности,разбитой на группы, правилосложения дисперсий

Способностьпризнака приниматьразличныезначения называютвариациейпризнака. Дляизмерениявариации признакаиспользуютразличныеобобщающиепоказатели– абсолютныеи относительные.

1. Размахвариации – эторазностьмаксимальногои минимальногозначений признака:R= х_max- х_min.

2. Среднеелинейное отклонение– это средняяиз абсолютныхзначений отклоненийпризнака отсвоей средней:

3. Средняяиз квадратовотклоненийзначений признакаот своей средней,т.е. дисперсия:

Дисперсияесть разностьсреднего квадратаи квадратасредней

или -простая

-взвешенная

Дисперсияможет бытьопределенаметодом условныхмоментов. Моментраспределения– это средняяmотклоненийзначений признакаот какой-либо величины А: если А= 0, то моментназываетсяначальным; еслиА= ,то моменты –центральными;если А= С,то моменты –условными.

Взависимостиот показателястепени К,в которую возведеныотклонения(х – А)^к,моменты называютсямоментами 1-го,2-го и т.д. порядков.

Расчетдисперсииметодом условныхмоментов состоитв следующем:

1. Выборусловного нуляС;

2. Преобразованиефактическихзначений признаках вупрощенныехґпутем отсчетаот условногонуля Си уменьшенияв dраз:

3. Расчет1-го условногомомента:

4. Расчет2-го условногомомента:

5. Расчет1-го порядканачальногомомента:

6. Дисперсии

Среднееквадратичноеотклонениерассчитываетсяпо данным одисперсии  = ²

Относительныевеличины вариации

1. Коэффициентосцилляцииотражаетотносительнуюколеблемостькрайних значенийпризнака вокругсредней

2. Относительноелинейное отклонение:

3. Коэффициентвариации:

4. Коэффициентасимметрии:

Видыдисперсий иправило сложениядисперсий

4. Общаядисперсия:

где-общаясредняя всейсовокупности

4. Межгрупповаядисперсия:

где-средняяпо отдельнымгруппам

4. Средняявнутри групповыхдисперсий

Общаядисперсия равнасумме из межгрупповойдисперсии исредней внутригрупповойдисперсии:

Дисперсияальтернативногопризнака.

Онаравна произведениюдоли единиц,обладающихпризнаком идоли единиц,не обладающихим

Тема4. Ряды динамики

4.1.Понятие о рядахдинамики, виды рядовдинамики

Рядыдинамики – этопоследовательностьупорядоченныхво временичисловых показателей,характеризующихуровень развитияизучаемогоявления.

Рядыдинамики бывают:

1. Взависимостиот времени –моментные иинтервальныеряды.

2. Отформы представленияуровней – рядыабсолютных,относительныхи средних величин.

3. Отрасстояниямежду датами– полные и неполныехронологическиеряды.

4. Отчисла показателей– изолированныеи комплексныеряды.

4.2.Производныепоказателирядов динамики

Соотношения:у₂/у₁· у₃/у₂· у₄/у₃· у₅/у₄= у₅/у₁ у₄/у₁: у₃/у₁= у₄/у₃

4.4.Средние показателиряда динамики

Еслиряд динамикиинтервальныйи содержит всепоследовательныеуровни, то среднийуровень определяетсякак средняяарифметическаявеличина: Еслиряд динамикимоментный содинаковымипромежуткамивремени междудатами, то средняяхронологическаяопределяетсякак простаяарифметическая:

Аесли с разновеликимиинтерваламимежду датами,то как средняяарифметическаявзвешеннаяпо времени:гдеt - время, в течениекоторого уровеньне менялсяСредний абсолютныйприрост: Среднийтемп роста:

Среднийтемп прироста:

4.5.Измерениесезонностиявлений.

Индексысезонности.Построениесезонной волны

1. Методпростых средних:

а)определяетсясредняя хронологическаядля каждогомесяца б)средняя хронологическаяобщая: Индекссезонности:

2. Методсравненияфактическогои сглаженногоуровней а) методскользящегосреднего уровня:

б)метод аналитическоговыравнивания:

Колеблемостьуровня рядаизмеряетсясредним отклонениеминдекса сезонностиi_сезот 100%: Среднееквадратичноеотклонение

4.6.Выравниваниерядов динамики

Выравниваниерядов динамикипроизводятодним из способов:

а)Механическоевыравниваниесостоит в укрупненииинтервалавремени и расчетесредней хронологической

б)Аналитическоевыравнивание– это описаниетенденций спомощью подбораадекватноймодели, представляющейматематическуюфункцию зависимостисреднего уровняот времени: Поуравнениюпрямой:

гдеa₀ и а₁-этопараметрыуравнения,которые рассчитываютсяна

основефактическихданных методомнаименьших квадратов

-этоусловное времяпринятое откакой-то базы.

Выравниваниеможет выполнятьсяпо параболе2-го порядка: а₀,а_1,а₂-параметры,определяемыес помощью системы уравнений:

еслиΣt= 0, то Σt³= 0

Еслиприменяетсяпоказательнаяфункция, тоуравнениявзаимосвязиследующая: , для решениятакой моделипереходят клогарифмам:

Этоуравненияпрямой длялогарифмовуравнений,поэтому выравниваниеосуществляетсяаналогичнопрямой, нопредварительноопределяютсялогарифмы

Привыборе моделиможно руководствоватьсяправилами

1. ,если абсолютныеприросты колеблютсяоколо постояннойвеличины, томожно использоватьмодель прямойлинии

Δy= у_i- у_i-1;а₀-база;а₁t- прирост.

2. ,если приростыприростов,т.е. ускорениеколеблетсяоколо постояннойвеличины, томожно использоватьпараболу 2-гопорядка: а₀-база; а₁t-прирост; а₂t²-ускорение(Δу₂– Δу₁)

3. -ср. коэффициентроста, еслиежегодныетемпы ростапримерно постоянны,то можно использоватьмодель показательнойфункции.

6.Индексы

6.1.Понятие индекса,индивидуальныеи общие индексы,различие междуними

Индекс– это относительнаявеличина сравнениясложных совокупностейи отдельныхих единиц, котораяпоказываетизменениеизучаемогоявления:

Бываютиндексы общимии индивидуальными.

1.Общий индексцен в агрегатнойформе:

а)-индекс Паашеб) -индекс Ласпейреса

1. Агрегатныйиндекс физическогообъема

2. Общийиндекс

2.Индексы каксредние величины:

1. Индексфизическогообъема

2. Индексцен Пааше Индексцен Ласпейреса:

2. Индексцен переменногои постоянногосостава

3.1.Индекспеременногосостава:Индекспостоянногосостава: Индексструктурныхсдвигов