Решение задач линейного программирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель работы:изучение принципов составления оценочных характеристик для задач линейного программирования, получение навыков использования симплекс-метода для решения задач линейного программирования, усвоение различий получаемых результатов, изучение табличной формы применения симплекс-метода.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Стандартная задача линейного программирования состоит из трех частей:

целевой функции (на максимум или минимум) - формула (1.1), основных oграничений - формула (1.2), ограничений не отрицательности переменных (есть, нет) - формула (1.3)

(1.1)

i = 1,… m (1.2)

(1.3)

Алгоритм решения задач линейного программирования требует приведения их постановки в канонический вид, когда целевая функция стремится к максимуму (если стремилась к минимуму, то функцию надо умножить на -1, на станет стремиться к максимуму), основные ограничения имеют вид равенства (для приведения к равенствам в случае знака надо в правую часть каждогo такого k-го неравенства добавить искусственную переменную u_k, а в случае знака , u_k надо отнять ее из правой части основных ограничений), присутствуют ограничения не отрицательности переменных (если их нет для некоей переменной х_k, то их можно ввести путем замены всех вхождений этой

переменной комбинацией x¹_k- х²_k = х_k, где х¹_k и х²_k). При этом для решения задачи линейного программирования необходимо иметь базис, т.е. набор переменных х_i, в количестве, равным числу основных ограничений, причем чтобы каждая из этих переменных присутствовала лишь в одном основном oграничении и имела свой множитель а_ij = 1. Если таких переменных нет, то они искусственно добавляются в основные ограничения и получают индексы х_m+1, x_m+2 и т.д. Считается при этом, что они удовлетворяют условиям не отрицательности переменных. Заметим, что если базисные переменные (все) образуются в результате приведения задачи к каноническому виду, то целевая функция задачи остается без изменений, а если переменные добавляются искусственно к основным ограничениям, имеющим вид равенств, то из целевой функции вычитается их сумма, умноженная на М, т.е. (так называемый модифицированный симплекс-метод). Мы не будем рассматривать задачи, относящиеся к модифицированному симплекс-методу. Для практической рабо-ты по нахождению решения задачи линейного программирования (по варианту простого симплекс-метода)будут использоваться алгоритм итерационного (многошагового) процесса нахождения решения и два типа оперативных оце-нок, позволяющих делать переходы от одного шага к другому, а также показы-вающих, когда итерационный процесс остановится и результат будет найден.

Первая оценка - это дельта-оценка, для переменной х_jона имеет вид:

(1.4)

Здесь выражение i B означает, что в качестве коэффициентов целевой функ-ции, представленных в сумме выражения (1.4), используются коэффициенты переменных, входящих в базис на данном шаге итерационного процесса. Пере-менными а_ij являются множители матрицы коэффициентов А при основных ог-раничениях, рассчитанные на данном шаге итерационного процесса. Дельта-оценки рассчитываются по всем переменным х_i, имеющимся в задаче. Следует отметить; что дельта-оценки базисных переменных равны нулю. После нахож-дения дельта-оценок из них выбирается наибольшая по модулю отрицательная оценка, переменная х_k, ей соответствующая, будет вводиться в базис. Другой важной оценкой является тетта-оценка, имеющая вид:

(1.5)

Т.е. по номеру k, найденному по дельта-оценке, мы получаем выход на пере-менную х_kи элементы столбца Х^B делим на соответствующие (только положи

тельные) элементы столбца матрицы А, соответствующего переменой x_k. Из полученных результатов выбираем минимальный, он и будет тетта-оценкой, а_i-й элемент столбца B, лежащий в одной строке с тетта-оценкой, будет выво-диться из базиса, заменяясь элементом x_k, полученным по дельта-оценке. Для осуществления такой замены нужно в i-ой строке k - гo столбца матрицы А сде-лать единицу, а в остальных элементах k-гостолбца сделать нули. Такое преоб-разование и будет одним шагом итерационного процесса. Для осуществления такого преобразования используется метод Гаусса. В соответствии с ним i-я строка всей матрицы А, а также i-я координата Х^B делятся на a_ik (получаем единицу в i-ой строке вводимого в базис элемента). Затем вся i-я строка (если i не единица), а также i-я координата Х^Bумножаются на элемент (-а_1k). После этого производится поэлементное суммирование чисел в соответствующих столбцах 1-ой и i-ой строк, суммируются также Х^B₁, и (-а_1k)*Х^B_i;. Аналогичные действия производятся для всех остальных строк кроме i-ой (базисной) строки. В результате получается, что в i-ой строке k-го элемента стоит 1, а во всех ос-тальных его строках находится 0. Таким образом осуществляется шаг итерационального алгоритма, Шаги алгоритма симплекс-метода продолжаются до тех пор, пока не будет получен один из следующих результатов.
• Все небазисные дельта-оценки больше нуля — найдено решение задачи ли-

нейного программирования, оно представляет из себя вектор компонент х;, значения которых либо равны нулю, либо равны элементам столбца Х, та-в

кие компоненты стоят на базисных местах (скажем, если базис образуют пе-ременные х₂, x₄, х₅, то ненулевые компоненты стоят в векторе решения зада-чи линейного программирования на 2-м, 4-м и 5-м местах).

• Имеются небазисные дельта-оценки, равные нулю, тогда делается вывод о том, что задача линейного программирования имеет бесчисленное множество решений (представляемое лучом или отрезком). Подробно рассматривать случаи такого типа, а также отличия между решениями в виде луча и отрезка мы не будем.

• Возможен вариант получения столбца отрицательных элементов на отрица-тельной рассчитанной дельта-оценке, в такой ситуации нельзя вычислить тетта-оценки. В этом случае делается вывод, что система ограничений задачи линейного программирования несовместна; следовательно, задача линейного программирования не имеет решения.

Решение задачи линейного программирования, если оно единственное, следует

записывать в виде Х* = (..., ..., ...) - вектора решения и значения целевой функ-ции в точке решения L*(Х*). В других случаях (решений много или они отсут-ствуют) следует словесно описать полученную ситуацию. Если решение задачи линейного программирования не будет получено в течение 10-12 итераций симплекс-метода, то следует написать, что решение отсутствует в связи с неог-рачниченностью функции цели.

Для практического решения задачи линейного программирования симплекс-методом удобно пользоваться таблицей вида (табл. 11.1):

Таблица 1.1

Задание

Необходимо решить задачу линейного программирования.

L(x) = x₁ – 2x₂ + 3x₃

x₁ – 3x₂ 3

2x₁ – x₂ + x₃ 3

-x₁ + 2x₂ – 5x₃ 3

Все x_i 0 i = 1, …3

1. Для начала приведем задачу к каноническому виду:

L(x) = x₁ – 2x₂ + 3x₃

x₁ – 3x₂ + x₄ = 3

2x₁ – x₂ + x₃ + x₅ = 3

-x₁ + 2x₂ – 5x₃ + x₆ = 3

Все x_i 0 i = 1, …6

2. Составляем таблицу симплекс-метода (табл. 1.2). Видно, что базис образуют компаненты x₄, x₅, x₆:

Таким образом, уже на втором шаге расчетов (вычислений дельта-оценок) получено, что все небазисные дельта оценки положительны, а это означает, что данная задача имеет единственное решение:

3. Решение задачи запишем в виде:

X* = (0, 0, 3, 3 ,0, 3), L*(X*) = 9.