Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М_р = 2^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М₂=3, М₃=7, М₅=31, М₇=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М₁₁=2047=23 ^.89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М₂, М₃, М₅, М₇, М₁₃, М₁₇, М₁₉, М₃₁. То, что М₃₁- простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М₁₂₇=170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М₆₁=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М₈₉и М₁₀₇- простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М₅₂₁, М₆₀₇, М₁₂₇₉, М₂₂₀₃, М₂₂₈₁, М₃₂₁₇, М₄₂₅₃, М₄₄₂₃, М₂₆₈₉, М₉₉₄₁, М₁₁₂₁₃ - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М₂₁₆₀₉₁ имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.

Евклид доказал, что если р и 2^р-1 - простые числа, то число 4)Р_р=2^р-1(2^р-1)=2^р-1М_рявляется совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2^р-1,М_р,2М_р, ... ,2^р-1М_р.

Их сумма S_p=(1+2+ ... +2^р-1)(М_р+1)=(2^р-1) ^. 2^р=2 ^. 2^р-1 М_р. Вычитая из S само число Р_р , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р_р равна этому числу, следовательно Р_р - совершенное число.

Числа Р₂=6 и Р₃=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р₅=496 и Р₇=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р₁₃=33550336, Р₁₇=8589869056, Р₁₉=137438691328,Р₃₁=2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р_римеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р_17, Р_19, Р₃₁являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р_17, Р₁₉нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны.Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р_р начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р₂=110, Р₃=11100, Р₅ =111110000, Р₇ =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{р-1 .} М_р, где М_р-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.