Евклид: жизнь и сочинения

Спроситесвоего коллегу,или знакомого,или ученика:«Какая древняякнига оказаланаибольшеевлияние наразвитие европейскойцивилизации?».Не думаю, чтоответы будутотличатьсябольшим разнообразием,но вряд ли кто-нибудьвспомнит о«Началах»Евклида. А ведьименно по этойкниге ( или поеё обработкам) учились всетворцы современнойматематики:Декарт и Ферма,Ньютон и Лейбниц,Колмогорови Понтрягин…Всех не перечислишь.

Нельзясказать, чтов течение многихвеков не появлялисьдругие сводыматематическихзнаний, но всеони забывалисьи вновь вытеснялись«Началами»Евклида. С 1482 г.она издаваласьболее 500 раз насамых различныхязыках.

Можнос уверенностьюутверждать,что все современныетак называемыеточные наукивыросли издревнегреческойнауки, т.е. из«Началах»Евклида – самогодревнего сводаматематическихзнаний, дошедшегодо нашего времени.

Таккто же был Евклид?Исследователь,энциклопедист,методист? Увы,о жизни этогознаменитогоучёного сохранилоськрайне малосведений. Годыего жизни относятк промежуткувремени приблизительномежду 365 и 300 гг.до н.э.

Известно,что Евклид былприглашён вАлександриюцарём Птолемеем IСотером дляорганизацииматематическойшколы и преподавалтам математику.Известно, чтоон учился вплатоновскойАкадемии вАфинах.

Итак,какие же трудыЕвклида намизвестны?

Кроме«Начал» до насдошли, хотя ив сильно искажённомвиде, трактаты«Оптика» и«Катоптрика».В «Оптике»Евклид формулируети доказываетправило «уголпадения равенуглу отражения»,а в «Катоптрике»он выводит,опираясь наэто правило,законы отраженияот выпуклыхи вогнутыхзеркал. В этихтрактатахсодержитсяпервое в историиизложениегеометрическойоптики. Крометого, Евклидупринадлежитсочинение поматематическойастрономии«Явления», емутакже приписываетсясочинение«Сечение канона»по теории музыки.

Вовсех этихпроизведенияхЕвклид сначалапостулируетнекоторыесвойства исследуемыхобъектов ( например,то, что светраспространяетсяпо прямой ) инеобходимыематематическиесведения, азатем на этойоснове дедуктивностроит излагаемуютеорию.

Евклидупринадлежатсочинения оконическихсечениях ( т.е.эллипсе, гиперболе,параболе ) и «Оповерхностныхместах», которыедо нас дошли.

Варабском переводенам известносочинениеЕвклида «Оделении фигур»

Ноглавным трудомЕвклида, несомненно,являются «Начала»( в 13 книгах ). Онсобрал и систематизировалсовременнуюему математику,строго дедуктивноизложив её вэтом объёмномтруде.

Нижеописаны наиболееинтересные,с точки зрениясовременнойматематики,достиженияЕвклида и егопредшественников,изложенныев «Началах».

ТеоремаЕвклида.

Предложение,о котором идётречь, изложенов IXкниге «Начал».Оно формулируетсятак:

множествопростых чиселбесконечно.

Доказательствоочень просто:если бы множествовсех простыхчисел былоконечным, то,перемноживих все и добавивединицу, мыполучили быновое число,которое неделится ни наодно из известныхпростых чисели, следовательно,простое.

АлгоритмЕвклида.

Всем известеналгоритм Евклиданахожденияобщей мерыотрезков. Онсостоит в следующем.

Пустьесть два отрезканеравной длиныA иВ, причём, например,А больше В. Отложимотрезок В наотрезке А столькораз, сколькополучится( рис.1 ).

ТогдаА=n₀B+ C₁,где C₁

Теперьберём отрезкиВ и C₁и повторяемс ними ту жеоперацию: В=n₁C₁+ C₂,где C₂1( рис. 2 ).

А

С₁

В В В

n₀раз

( рис. 1 )

В

С₁ С₁ С₂

n₁ раз.

(рис. 2 )

Повторяяэту операциюмного раз, мылибо когда-нибудьполучим нулевойотрезок-остатокC_m=n_m+1C_m+1+ 0 отрезок C_m+1окажется общеймерой отрезковА и В, либо процессоткладыванияотрезков никогдане закончится.

Впоследнемслучае говорят,что отрезкиА и В несоизмеримы( т.е. не имеютобщей меры ).Числа n₀,n₁,… называются«неполнымичастными».

Еслиобнаруженаобщая меравеличин А и Ви она равнанекоторойвеличине D,то А= λD,B=μDи отношениеА и В есть отношениеλк μ.

Интересно,что Евклидпостроил алгоритмотдельно длячисел ( т.е. натуральныхчисел ) и отдельнодля отрезков( величин ).

Итак,алгоритм Евклидапозволяет нетолько находитьобщую меру (НОД ) двух чисел,сокращать наНОД дроби, нои «округлять»рациональныечисла.

ТеорияотношенийЕвдокса.

В«Началах»изложена другаятеория отношений,созданнаяЕвдоксом. Онаотвечала навопрос: какможно сравниватьотношения чисели что происходитс ними в результатеарифметическихопераций?

Дваотношения a/bи c/dсчитаютсяравными, еслидля любых натуральныхчисел М, Nвыполняютсяусловия:

aM> bN cM >dN,

aM= bN cM = dN,

aM

Такойподход к сравнениюотношений былреволюционнымпрорывом впостроениитеории действительногочисла ( покатолько длярациональныхположительныхчисел ).

Теорияиррациональностей.

Видимо, именноалгоритм Евклидапривёл пифагорейцак установлениюнесоизмеримостистороны и диагоналиквадрата ( т.е.иррациональностичисла √2 ). Этооткрытие существенноповлияло надальнейшееразвитие иматематики,и философии.Оно показало,что ложен основнойпринцип пифагорейцев«всё есть число».Они считали,что всякуювеличину можновыразить числом( натуральным) или отношениемчисел, но оказалось,что диагональквадрата состороной 1 невыражаласьотношениемчисел.

ТеэтетАфинский развилэтот подходи доказал, чтоквадратныекорни из квадратныхчисел рациональны,а из неквадратных– иррациональны.Кроме того,кубическиекорни из кубическихчисел рациональны,а из некубических– иррациональны.

Болеетого, он классифицировалнекоторые типыиррациональностей,которые можнопостроить спомощью циркуляи линейки.

Геометрическаяалгебра.

Важнымдостижениемантичной математикистало созданиетак называемойгеометрическойалгебры, зачаткикоторой имелисьещё у вавилонян.

Мызнаем, что вДревней Грециине было возможностизаписыватьбуквами алгебраическиеформулы и уравнения.Кроме того,большие проблемывозникали приоперациях снатуральнымичислами. Античныематематикиобошли этупроблему, переведявсе алгебраическиевыраженияпервой и второйстепени нагеометрическийязык. Все построениябыли планиметрическими.

Видимо,именно алгебраическимипотребностямиобъясняетсястоль бурноеразвитие планиметриив античности.

Платоновытела.

Впоследней, XIIIкниге «Начал»описываютсяпостроениеи свойстваправильныхмногогранников– тетраэдра,гексаэдра,октаэдра, додекаэдра,икосаэдра.

ИЕвклид не простоописал правильныемногогранники,но и исследовалих свойства.Он нашёл отношениядлин рёбер всехправильныхмногогранниковк диаметруописанной околомногогранникасферы.

Болеетого, он предложилспособы построенияправильныхмногогранников,вписанных всферу данногодиаметра.

Учениео гармонии.

Ещёпифагорейцызнали, что есливысоты звукаотносятся какнебольшие целыечисла, то сочетаниезвуков будетприятным,гармоничным.Так, отношениевысот 1:2 даётмузыкальныйинтервал, называемыйоктавой, отношение2:3 – даёт квинту,3:4 кварту. Длятого чтобыповысить наквинту звук,например,колеблющейсяструны, надоуменьшить еёдлину на 1/3, заставивзвучать оставшиеся2/3 струны, приэтом частотаколебанийструны увеличитсяв 1/(2/3) раза. А дляповышения звукана кварту надоизвлечь звукиз 3/4 струны, т.е.частота колебанийбудет в 4/3 разавыше частотыколебанийосновного тона.Исходя из этого,можно построитьмузыкальнуюшкалу.

Первымточными расчётамимузыкальнойшкалы сталАрхит Тарентский.Евклид продолжилего традициюи изложил учениео гармонии в«Сечении канона»и – частично –в «Началах».

Списокиспользуемойлитературы.

Научно-теоретическийи методическийжурнал «Математикав школе» №4 2001.Издательство«Школа-Пресс».