Срок был очень сжатый, но Анна справилась даже раньше. Спасибо огромное!
Полина
РАНХиГС
Узнайте стоимость индивидуальной работы
это быстро и бесплатно
Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!
Двойной интеграл в полярных координатах
Тип
Реферат
Предмет
Математика
Просмотров
1579
Размер файла
27 б
Поделиться
Ознакомительный фрагмент работы:
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij$Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.
Иследовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = rdjdr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(rcosj, rsinj)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, rcosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем
Похожие работы
Нет нужной работы в каталоге?
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников 
Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Гарантируем возврат
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»
1 000 +
Новых работ ежедневно
Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы 
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован 
Иванна
Математика
История
Экономика
159599
рейтинг
рейтинг
3275
работ сдано
работ сдано
1404
отзывов
отзывов
Ludmila
Математика
Физика
История
156492
рейтинг
рейтинг
6068
работ сдано
работ сдано
2737
отзывов
отзывов
Svetlana
Химия
Экономика
Биология
105734
рейтинг
рейтинг
2110
работ сдано
работ сдано
1318
отзывов
отзывов
Константин Николаевич
Высшая математика
Информатика
Геодезия
62710
рейтинг
рейтинг
1046
работ сдано
работ сдано
598
отзывов
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
64 096 оценок
среднее 4.9 из 5
Полина
РАНХиГС
Срок был очень сжатый, но Анна справилась даже раньше. Спасибо огромное!
Алёна
СПБГТИ
Спасибо большое Маргарите. Очень отзывчивая девушка, на все замечания реагирует молниеносно)
Татьяна
СПбУТУиЭ
Спасибо огромное! Работу нужно было сдать срочно, максимум на следующий день. Ольга выполн...
Спасибо большое Маргарите. Очень отзывчивая девушка, на все замечания реагирует молниеносно)
Алёна
СПБГТИ
Спасибо огромное! Работу нужно было сдать срочно, максимум на следующий день. Ольга выполнила работу качественно с высокой степенью оригинальности за пару часов. Работа принята без замечаний на 5 из 5ти.
Татьяна
СПбУТУиЭ
Последние размещённые задания
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн 
1 минуту назад
4 минуты назад
Расчет параметров участка электроэнергетической системы
Решение задач, Электрические системы, электроника, электротехника
Срок сдачи к 8 янв.
4 минуты назад
Доклад на тему "личность в теории деятельности а. н. леонтьева" + презентация
Доклад, Психология личности
Срок сдачи к 27 дек.
4 минуты назад
5 минут назад
Заполнить журнал регистрации хозяйственных операций малого предприятия, проставив в нем корреспонденцию счетов
Другое, Финансовый учет и анализ
Срок сдачи к 4 янв.
6 минут назад
7 минут назад
7 минут назад
7 минут назад
8 минут назад
9 минут назад
9 минут назад
9-11 страниц. правовые основы военной реформы в ссср в 20-е гг
Реферат, История государства и права России
Срок сдачи к 26 дек.
10 минут назад
10 минут назад
12 минут назад
12 минут назад
12 минут назад
12 минут назад
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!
Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.
«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами
Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:
Мы ВКонтакте 
Трейлер о сайте
Принимаем к оплате
© 2011—2025 Всё сдал!