Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Двойной интеграл в полярных координатах

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

1646

Размер файла

27 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

Drj = rj+1 - rj,

Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij$Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

Иследовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = rdjdr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,j) = rf(rcosj, rsinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j=0,

j=p/4, rcosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

157252
рейтинг

6079
работ сдано

2741
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

ЛГПУ

Спасибо огромное за выполненную работу,все очень качественно и быстро)))

Финансовый университет при правительстве рф

Великолепно выполнения работа по трейдингу. Инвестиционный портфель. Преподаватель отмети...

Московский городской педагогический университет

реферат написан в соответствии со всеми критериями, у преподавателя вопросов не возникло, ...

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Театрализованная деятельность как средство развития общения старших дошкольников со сверстниками.

Диплом, Педагогика и психология

Срок сдачи к 1 окт.

1 минуту назад

трассировка печатной платы, размещение всех компонентов на ней

Отчет по практике, электроника

Срок сдачи к 3 авг.

11 минут назад

Закрыть шестой семестр под ключ

Курсовая, Психология

Срок сдачи к 30 нояб.

11 минут назад

Сделать курсовую с рисунками на А3, далее см

Курсовая, Теория механизмов и машин (ТММ), механика

Срок сдачи к 1 сент.

11 минут назад

Написать отчет по практике.

Отчет по практике, Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Срок сдачи к 17 авг.

11 минут назад

Глубокая доработка курсовой по социологии: «Студенческая молодёжь в цифровой среде: освоение и практики использования»

Курсовая, Социология

Срок сдачи к 5 авг.

11 минут назад

Опека и попечительство

Курсовая, Гражданское право

Срок сдачи к 9 авг.

11 минут назад

Здравствуйте! Мне нужно написать статью в журнале Scopus Q2 под этим...

Статья, Нефтегазовое дело

Срок сдачи к 9 авг.

11 минут назад

Написать курсовую. Юриспруденция. М-09628

Курсовая, Право

Срок сдачи к 12 авг.

11 минут назад

Многоканальная система передачи информации

Курсовая, Сигналы Электросвязи

Срок сдачи к 24 авг.

11 минут назад

dfgdfhf jghjgyhjghkghjgh

Реферат, История

Срок сдачи к 28 авг.

11 минут назад

Контрольная по базам данных (ответ в ворде + БД в Access)

Контрольная, Базы данных и экспертные системы

Срок сдачи к 6 авг.

11 минут назад

Экзамен будет 12.08 в 06:00 по Москве

Решение задач, Высшая математика

Срок сдачи к 12 авг.

11 минут назад

Курсовик

Курсовая, Бизнес планирование

Срок сдачи к 7 авг.

11 минут назад

Расчет несимметричных трехфазных электрических цепей

Решение задач, Электроника и электротехника

Срок сдачи к 20 авг.

11 минут назад

Тема: Пути совершенствованиясистемы налогообложения предприятия малого бизнеса.

Диплом, Экономика: Налоги И Налогообложения.

Срок сдачи к 1 сент.

11 минут назад

диплом Стилистический синтаксис английской прозы в аспекте перевода с...

Диплом, Лингвистика

Срок сдачи к 31 дек.

11 минут назад

Создать таблицу Excel с созданием правил для ячеек

Другое, Информатика

Срок сдачи к 14 авг.

11 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.