Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Двойной интеграл в полярных координатах

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

1705

Размер файла

27 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:

Drj = rj+1 - rj,

Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij$Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

Иследовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = rdjdr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,j) = rf(rcosj, rsinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j=0,

j=p/4, rcosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

157252
рейтинг

6081
работ сдано

2741
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

РАНХиГС

Доработаю сама под требования своего института. В общем работа слабовата конечно, но не кр...

Свгу

Всегда поддерживает связь, работа выполнена очень быстро и качественно! Рекомендую

Реавиз

Спасибо огромное за реферат по биологии. Работа выполнено досрочно и качественно.

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

сделать все 8 практических работ

Практическая работа, Особенности разработки месторождений нефти горизонтальными скважинами

Срок сдачи к 13 нояб.

только что

10 вариант

Лабораторная, Цифровая обработка сигналов

Срок сдачи к 15 нояб.

только что

написать курсовую

Курсовая, Дошкольная дефектология

Срок сдачи к 14 нояб.

3 минуты назад

Тема: Проблемы социализации индивида в современном обществе

Реферат, Социология

Срок сдачи к 28 нояб.

3 минуты назад

Написать курсовую. Основы организационно - технического обеспечения деятельности судов. Д-00795

Курсовая, Юриспруденция

Срок сдачи к 14 нояб.

4 минуты назад

решить контрольное задание №2

Контрольная, исследование полезных ископаемых на обогатимость

Срок сдачи к 17 нояб.

4 минуты назад

Эффективность управления социальными процессами на примере...

Курсовая, Управление социальным развитием персонала

Срок сдачи к 13 нояб.

4 минуты назад

Сделать чертеж в компас

Чертёж, Проектирование нестандартного оборудования

Срок сдачи к 13 нояб.

4 минуты назад

Дз

Чертёж, Компьютерная графика

Срок сдачи к 13 нояб.

6 минут назад

Дз

Чертёж, Компьютерная графика

Срок сдачи к 13 нояб.

6 минут назад

Написать доклад. Сравнительное право. Д-00796

Доклад, Право

Срок сдачи к 19 нояб.

6 минут назад

Выполнить 3 РГР

РГР, Теоретическая механика

Срок сдачи к 16 нояб.

6 минут назад

Шаблон есть в документах

Курсовая, Дневник питания калиперометния

Срок сдачи к 13 нояб.

7 минут назад

Выполнить практическую. Средства механизации строительства. Д-00797

Практическая работа, Строительство

Срок сдачи к 14 нояб.

8 минут назад

Выполнить практическую. Средства механизации строительства. Д-00797

Практическая работа, Транспорт

Срок сдачи к 14 нояб.

8 минут назад

рабочая тетрадь по экономике

Контрольная, Экономика

Срок сдачи к 19 нояб.

8 минут назад

Способы защиты трудовых прав работника в Российской Федерации: сравнительный анализ и критерии эффективности

Курсовая, Юриспруденция

Срок сдачи к 1 дек.

10 минут назад

Презентация +текст

Другое, Финансовое право, право

Срок сдачи к 26 нояб.

12 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.