Линейные уравнения и их свойства

Тема 1. Система линейных уравнений

В общем случае система линейных уравнений с неизвестными имеет вид

(1)

Через обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность чисел , которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы

.

Если , то матрица является квадратной и ее определитель называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:

Здесь - определитель системы, определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой го столбца столбцом ее свободных членов.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Найдем определитель системы

=

Далее вычислим определитель , заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов

Аналогично находим определители :

Отсюда по формулам Крамера находим решение системы

Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов

Полученную матрицу называют расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:

Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

Перестановка строк матрицы.

Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.

Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная содержится только в первом уравнении, неизвестная - только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений

(2)

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

(3)

Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить

(в этом случае упрощаются последующие вычисления).

~ (4)

Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную только в первом уравнении

~ . (5)

Так как в матрице (5) , то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11):

~ ~ (6)

Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)

Отсюда из третьего уравнения получаем . Подставляя найденное значение во второе уравнение, определяем неизвестную :

Наконец, после подстановки найденных значений в первое уравнение, находим неизвестную : Таким образом, решение системы единственное:

Пример 3. Решить систему уравнений

(7)

Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)

~ ~

~~ ~

~ ~ .

Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными

Неизвестную перенесем в правые части уравнений

Отсюда определяем

Задавая переменной произвольное значение , найдем бесконечное множество решений системы

Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид . Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству

Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.

Таблица 1

Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.

Решение. Пусть - ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные

Решим ее методом Гаусса.

~ ~

Отсюда находим , т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.

Задача для контрольной работы

Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.

Таблица 2

Тема 2. Векторная алгебра

Упорядоченную совокупность вещественных чисел в виде называют мерным вектором. Число называют ой компонентой вектора . Для векторов вводят следующие линейные операции.

Суммой двух векторов одинаковой размерности называют такой вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Пример 1.

,

Произведением вектора на число называют вектор , компоненты которого равны произведению числа на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Пример 2.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора

Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам, называется векторным (линейным) пространством и обозначается символом .

Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа

.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что их линейная комбинация является нулевым вектором

(1)

В противном случае, т.е. когда равенство (1) справедливо лишь при векторы называются линейно независимыми. Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один их них является линейной комбинацией остальных.

Векторное пространство называется мерным, а число размерностью пространства, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Совокупность линейно независимых векторов мерного пространства называется базисом этого пространства. Пусть векторы образуют произвольный базис мерного пространства . Тогда любой вектор пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса

. (2)

Равенство (2) называют разложением вектора по базису , а числа координатами вектора относительно этого базиса.

Пример 3. Показать, что векторы , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов . Поэтому векторы образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

(3)

Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.

~ ~ ~

~~ ~ ~

~~ .

Отсюда получаем единственное нулевое решение , т.е. векторы являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора по базису из условия выполнения векторного равенства

,

которое для соответствующих координат запишется

Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных решим по формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора в базисе :

В итоге имеем

Задача для контрольной работы

Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.

Таблица 3

Тема 3. Случайные события

Задача 1. На складе имеется 12 единиц товара, полученных от поставщика №1, 20 единиц - от поставщика №2 и 18 единиц - от поставщика №3. Вся продукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единица товара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; от поставщика №2 - 0,6; от поставщика №3 - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что взятая единица товара окажется отличного качества. Возможны следующие предположения: - взятая единица товара получена от поставщика №1, - от поставщика №2, - от поставщика №3.

Так как всего на складе 50 единиц товара (12+20+18), то вероятность того, что взятая наудачу единица товара получена от поставщика №1 12/50, от поставщика №2 - 20/50, от поставщика №3 -18/50.

Из постановки задачи известна вероятность того, что единица товара окажется отличного качества при условии, что она получена от поставщика №1: , от поставщика №2 - от поставщика №3 -

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности

.

Задача 2. Продукция, выпускаемая на предприятии партиями, попадает для проверки ее на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что партия продукции попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная партия будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная партия при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту партию проверял первый контролер.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что годная партия продукции признана стандартной. Можно сделать два предположения:

партию проверил первый контролер (гипотеза В1);

партию проверил второй контролер (гипотеза В2).

Искомую вероятность того, что партию проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

- (вероятность того, что партия попадет к первому контролеру);

- (вероятность того, что партия попадет ко второму контролеру);

- (вероятность того, что годная партия будет признана первым контролером стандартной);

- (вероятность того, что годная партия будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

Задачи для контрольной работы

Таблица 4

Тема 4. Случайные величины

Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры и .

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.

4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения до .

5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью .

Параметры (в млн. руб), приводятся в таблице 5.

Таблица 5

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:

2.Найдем параметр . Функция распределения обладает следующим свойством:=1. Вычислим предел

=.

Отсюда =1.

Далее определим параметр . Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от до . Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем

Таким образом, =.

3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что =) как несобственный интеграл:

.

Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть .

Тогда

.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:

По формуле

определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл

также методом интегрирования по частям. Пусть . Тогда

,

.

Последний интеграл уже найден при вычислении , поэтому можно записать:

.

Отсюда окончательно получаем:

.

После подстановки численных значений параметров, находим

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения

При получаем

Подставляя численные значения параметров, имеем:

Величина , определяемая равенством , называется квантилем порядка . В задаче требуется найти . Запишем необходимое равенство: или . Логарифмируя последнее равенство , найдем

.

При =0,5 получаем:

Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).

Задача для контрольной работы

Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры и .

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.

4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения до .

5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью .

Параметры для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.

Таблица 6

Тема 5. Математическая статистика

Задача. При оценке свойств картофеля было обследовано 10 проб и получены следующие значения содержания крахмала :

Таблица 7

Требуется:

1. Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , среднее квадратическое отклонение , исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение для величины .

2. Полагая, что изменчивость величины описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения содержания крахмала с заданной надежностью , а также вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до .

3. Проверить на уровне значимости нулевую гипотезу :при конкурирующей гипотезе : .

Задачу решить для следующих значений параметров , , .

Решение.1.Выборочное среднее при объеме выборки n=10 находится по формуле

.

Подставляя в формулу значения из таблицы 7, получим

=5,5 (%).

Для вычисления выборочной дисперсии используется формула

.

Составим следующую вспомогательную таблицу, куда внесем отклонения и их квадраты .

Таблица 8

По данным таблицы 8 определим выборочное среднее

Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:

Исправленную дисперсию находят для малых значений n (n<30) по значению :

Исправленное стандартное отклонение вычисляют путем извлечения квадратного корня из

:

Для оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где =2,26 находим по таблице ([2], приложение 3) по заданным n=10 и =0,95.

Вычислим

Тогда

или

Оценкой среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы

при

при

где находят по таблице ([2], приложение 4) по заданным значениям n=10 и =0,95. В данном случае и используется первая формула:

или

Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до воспользуемся точечными оценками параметров нормального распределения и в формуле:

.

Учитывая нечетность функции Лапласа , имеем ([2], приложение 2)

3. Для того, чтобы при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу : о равенстве неизвестной генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе : , надо вычислить наблюдаемое значение статистического критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку . Если справедливо неравенство , то оснований отвергнуть нулевую гипотезу не имеется. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Найдем наблюдаемое значение критерия

В таблице критических точек распределения Стьюдента ([2], приложение 6) по значению =0,05 и числу степеней свободы k = n-1 =9 находим =2,26. Так как выполняется неравенство , то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя =5,5 значимо отличается от генеральной средней =5,0. Заметим, что если бы проверялась нулевая гипотеза для =5,3, то наблюдаемое значение критерия было бы =1,65 и нулевую гипотезу не было бы оснований отвергать и незначимо отличалась бы от .

Задача для контрольной работы

При анализе производительности труда (тыс. руб) на одного работника за отчетный период было обследовано десять магазинов торга.

Требуется:

1. Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , среднее квадратическое отклонение , исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

2. Полагая, что изменчивость величины описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения производительности труда с заданной надежностью , а также вероятность того, что величина производительности труда в выбранном наудачу магазине окажется в пределе от до .

3. Проверить на уровне значимости нулевую гипотезу :при конкурирующей гипотезе : .

Выработка на одного работника (тыс. руб) и параметры для различных вариантов заданий приводятся в таблице 9.

Таблица 9

Правила выполнения и оформления контрольной работы

1. Выбор вариантов осуществляется в соответствии с последней цифрой учебного шифра студента (например, если последняя цифра «3», то выполняется вариант номер 3, если - «0», то - вариант номер 10).

2. Контрольная работа пишется чернилами любого цвета (кроме красного) в тонкой тетради, для замечаний рецензента оставляются поля. На обложке тетради указывают фамилию, имя, отчество студента, номер студенческой группы, учебный шифр (серия и номер зачетной книжки), название кафедры, наименование дисциплины и номер контрольной работы, а также домашний адрес.

3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач. Условия задач выписывать обязательно. Если несколько задач имеют общую формулировку, то при переписывании общие условия заменяют конкретными данными.

4. Решения задач требуется оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы. В конце работы приводится список использованной литературы, указывается дата выполнения работы и ставится подпись исполнителя.

Литература

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,1977.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1975.

Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, 1997.

Талызин В.А. Контрольная работа по высшей математике. Казань: КИ МГУК, 1998.