Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y(x) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения.

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y"(x₀) можно выразить через производную функции f(x,y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y₁=y₀ + h [β f(x₀,y₀) + α f(x₀ + γh, y₀ + δh)], (3)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h:

y₁=y₀ +( α+ β) h f(x₀,y₀) + αh²[γ f_x(x₀, y₀) + δ f_y(x₀, y₀)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ=0,5, α δ =0,5 f(x₀,y₀).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через параметры α, получим

y₁=y₀ +h[(1 - α) f(x₀,y₀) + α f(x₀+, y₀+f(x₀, y₀)], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x₀,y₀) в (4) подставить (x₁,y₁), получим формулу для вычисления y₂ – приближенного значения искомой функции в точке x₂.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x₀,X] на n частей, т.е. с переменным шагом

x₀, x₁, …,x_n; h_i = x_i+1 – x_i, x_n = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

y_i+1=y_i +h_i f(x_i +, y_i+f(x_i, y_i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n-1.

и α =0,5:

y_i+1=y_i + [f(x_i , y_i) + f(x_i+ h_i, y_i+ h_i f(x_i , y_i))], (6.2)

i = 0, 1,…, n-1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

y_i+1=y_i +(k₁+ 2k₂+ 2k₃+ k₄),

k₁=f(x_i, y_i), k₂= f(x_i +, y_i+k₁), (7)

k₃= f(x_i +, y_i+k₂), k₄= f(x_i +h, y_i+hk₃).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y(x; h) – приближенное значение решения в точке x, полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h, а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R(h) значения y(x; h) можно оценить, используя приближенное значение y(x; 2h) решения в точке x, полученное с шагом 2h:

(8)

где p=2 для формул (6.1) и (6.2) и p=4 для (7).

Уточненное решение пишем в виде

. (9)

В алгоритмах с автоматическим выбором шага предварительно задают погрешность в виде положительного параметра ε, и на каждом этапе вычисления следующего значения y_i+1 подбирают такой шаг h, при котором выполняется неравенство

, (10)

Метод Рунге-Кутта применим и к задаче Коши для системы m дифференциальных уравнений первого порядка с m неизвестными функциями

x (x₀, X), (11)

y₁(x₀)=y_1,0, y₂(x₀)=y_2,0,…, y_m(x₀)=y_m,0 . (12)

Приведем для задачи (11), (12) расчетные формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Пусть требуется найти систему m функций y₁(x), y₂(x),…, y_m(x), удовлетворяющих в интервале (x₀, X) дифференциальным уравнениям (11), а в точке x₀ – начальным условиям (12). Предположим, что отрезок [x₀, X] разбит на N частей:

x_i= x₀+ i h_i,

Тогда каждую l-ю функцию y_l(x) можно приближенно вычислять в точках x_i+1 по формулам Рунге-Кутта

K_l,1=f_l(x_i, y_1,i, y_2,i,…,y_m,i), i=1, 2, …, m,

K_l,2=f_l(x_i + , y_1,i + K_1,1, y_2,i + K_2,1,…,y_m,i + K_m,1), i=1, 2, …, m,

K_l,3=f_l(x_i + , y_1,i + K_1,2, y_2,i + K_2,2,…,y_m,i + K_m,2), i=1, 2, …, m, (13)

K_l,4=f_l(x_i + h, y_1,i + hK_1,3, y_2,i + hK_2,3,…,y_m,i + hK_m,3), i=1, 2, …, m,

Y_l,i+1 = y_l,i +( K_l,1 + 2 K_l,2 + 2 K_l,3 + K_l,4), i=1, 2, …, m,

Здесь через y_l,i обозначается приближенное значение функции y_l(x) в точке x_i .

Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты K_l,i в следующем порядке:

K_1,1, K_2,1,…, K_m,1,

K_1,2, K_2,2,…, K_m,2,

K_1,3, K_2,3,…, K_m,3,

K_1,4, K_2,4,…, K_m,4,

и лишь затем приближенные значения функций y_1,i+1, y_2,i+1,…, y_m,i+1.

Задачи Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y', …, y^(n-1)), x (x₀, X), (14)

y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y_1,0, …, y^(n-1)(x₀)=y_n-1,0 (15)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

z₀= y, z₁= y',…, z_n-1= y^(n-1). (16)

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций z_l переписываются в виде

z₀(x₀)= y₀, z₁(x₀)= y_1,0,…, z_n-1(x₀)= y_п-1,0. (18)

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_l,i+1= z_l,i +(K_l,1+ 2K_l,2+ 2K_l,3+ K_l,4), (19)

i=0, 1, …, N, l=0, 1, …, n-1.

Для вычисления коэффициентов K_l,1, K_l,2, K_l,3 и K_l,4 имеем следующие формулы:

K_0,1=z_1,i,

K_1,1=z_2,i,

…………

K_n-1,1= f(x_i, z_0,i, z_1,i,…, z_n-1,i,),

K_0,2= z_1,i+ K_1,1,

K_1,2= z_2,i+ K_2,1,

…………………

K_n-1,2= f(x_i+ , z_0,i+ K_0,1, z_1,i+ K_1,1,…, z_n-1,i+ K_n-1,1),

K_0,3= z_1,i+ K_1,2,

K_1,3= z_2,i+ K_2,2,

……………………

K_n-1,3= f(x_i+ , z_0,i+ K_0,2, z_1,i+ K_1,2,…, z_n-1,i+ K_n-1,2),

K_0,4= z_1,i+ hK_1,3,

K_1,4= z_2,i+ hK_2,3,

……………………

K_n-1,4= f(x_i+ h, z_0,i+ hK_0,2, z_1,i+ hK_1,2,…, z_n-1,i+ hK_n-1,2).

Задания лабораторной работы 1

1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.

2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)

3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.

Задача №1. Решить задачу Коши на отрезке [x₀,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.

Варианты заданий в табл.1.

Табл.1.

Задача №2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.

Табл.2.

Задача №3.

Найти методом Рунге-Кутта с точностью ε = 10^-8 решение задачи Коши y'(x)=2x(1+y²), y(0)=0 в точке x=1.

(Точным решением является функция y(x)=tg(x²))

Задача №4.

Решить методом Эйлера на отрезке [1, 2] задачу Коши

y'(x)= , y(1)=0.

(Точным решением данной задачи является функция y(x)=tg(ln).

Контрольные вопросы:

1. Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?

2. Какие методы решения задач для дифференциальных уравнений вы знаете?

3. В каком случае решение дифференциального уравнения единственно?

4. Рассказать правило Рунге для оценки погрешности.