Кривые и поверхности второго порядка 2

Конспект по математике.

Тема: Кривые и поверхности второго порядка.

Выполнила

Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение (2)

Доказательство. Пусть - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (1)

(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и .

Сфера(частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение (13.2)

Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F₁и F_2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F₁и F_2. Отрезки F₁М и F₂М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F₁М + F₂М = 2а.

Расстояние F₁и F₂ между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F₁,F_2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r₁ и r₂расстояния от точки М до фокусов (r₁ = F₁М, r₂ = F₂М). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r₁ + r₂ = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r₁ и r₂ их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F₁ F₂ = 2с и так как фокусы F₁и F₂ распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r₁ и r₂, получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а²х² — 2а²сх + а²с² + а²у² = а⁴ — 2а²сх + с²х² ,

откуда

(а²—с²)х² + а²у² = а²(а²—с²).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с, следовательно, а²—с²>0 и величина b—вещественна.

b² = a²—c²,

тогда

b²x² + a²y² = a²b² ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c² = a²—b²; поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен­триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε², тем меньше, следова­тельно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=aи ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо­угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следова­тельно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас­положенные симметрично относи­тельно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то . Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эл­липса; аналогично, левая ди­ректриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х² + у² = R².

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, на­зываемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F₁ и F₂, а расстояние между ними—через 2с.

Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F₁и F₂. Отрезки F₁М и F₂М (так же, как и дли­ны этих отрезков) называ­ются фокальными радиусамиточки М и обозначаются че­рез r₁ и r₂(r₁= F₁М, r₂= F₂М). По определению гиперболы разность фокаль­ных радиусов ее точки М есть по­стоянная величина; эту постоян­ную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁и F₂. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F₁М и F₂М через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r₁— r₂= ±2а.

Так как F₁F₂=2с и так как фокусы F₁и F₂ располо­жены на оси Ох симметрично относительно на­чала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внима­ние находим:

, .

Заменяя r₁ и r₂,получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c²x² – 2a²cx + a⁴ = a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² ,

откуда

(c² – a²)x² – a²y² = a²(c² – a²) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

с>a, следовательно, с²—а²>0и величинаb—вещественна.

b²= с²—а²,

тогда

b²x² — a²y² = a²b² ,

или

.

Уравнение

,

определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо­угольных коорди­нат, есть урав­нение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет бук­вой ε, получим:

.

Так как для гиперболы с>a, то ε>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заме­тив, что c² = a²+b², находим:

;

отсюда

и .

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением , а от­ношение в свою очередь оп­ределяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы ха­рактеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньшеε²—1, тем меньше, следо­вательно, отношение ; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем бо­лее вытянут ее ос­новной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней ги­перболы a=bи ε=√2.

Рассмотрим какую-ни­будь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

.

Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, кото­рая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гипер­болы.

Уравнения директрис в вы­бранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы усло­вимся называть левой, вто­рую —правой.

Так как для гиперболы ε >1, то .

Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гипер­болы; ана­логично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фо­ку­сом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой ди­ректрисой (пред­полагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до ди­ректрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.

Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r рас­стояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до дирек­трисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда

r=d.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выраже­ниями через те­кущие координаты х, у.

Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв этово внимание, находим:

.

Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты отсюда, получаем:

число положительное; это следует из того, что М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть , откуда .

Заменяя r и d, найдем

Это и есть уравнение рассматриваемой параболы, так как ему удовлетворяют коорди­наты точки

М (х; у), когда точка М лежит на данной параболе.

Возведем обе части равенства в квадрат; получим:

или

у²=2рх.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение у²=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй сте­пени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Эллипсоид

a, b, c — полуоси

Однополостный гиперболоид

c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси

Двухполостный гиперболоид

c — действительная полуось,

a и b — мнимые полуоси

Конус

Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Эллиптический цилиндр

a и b — полуоси

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр

p — фокальный параметр