Всё сдал! - помощь студентам онлайн Всё сдал! - помощь студентам онлайн

Реальная база готовых
студенческих работ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Вы нашли то, что искали?

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

0%

Нет, пока не нашел

0%

Узнайте стоимость индивидуальной работы

это быстро и бесплатно

Получите скидку

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!


Построение матрицы достижимости

Тип Реферат
Предмет Математика
Просмотров
1180
Размер файла
394 б
Поделиться

Ознакомительный фрагмент работы:

Построение матрицы достижимости

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Курсовая работа

по Дискретной математике

на тему: Построение матрицы достижимости

Уфа 2006 г.


Введение

Цель работы:

Разработать программу на языке TURBOPASCAL, осуществляющую вычисление матрицы достижимости.

Постановка задачи:

Составить программу определения матрицы достижимости. Теоретически объяснить принцип вычисления матрицы достижимости. Представить текст программы с комментариями, а также показать ее схематически (в виде блок – схем). Проверить правильность работы программы, тем самым показать результаты тестирования. В итоге сделать выводы по проделанной работе.


Матрицы достижимости и связности

Пусть A(D) – матрица смежности ориентированного псевдографа D=(V,X) (или псевдографа G=(V,X)), где V={v1,…, vn}. Обозначим через Ak=[a(k)ij] k-ю степень матрицы смежности A(D).

Утверждение. Элемент a(k)ij матрицы Ak ориентированного псевдографа D=(V,X) (псевдографа G=(V,X)) равен числу всех путей (маршрутов) длины k из vi в vj.

Доказательство:

Для k=1 очевидно в силу построения матрицы A(D).

Пусть это справедливо для n=k-1. Т.е. в матрице Ak-1 в i-той строке на l-том месте стоит число, означающее кол-во маршрутов из vi в vl длины k−1. Столбец под номером j матрицы A содержит числа, означающие кол-во дуг (ребер) из vl в vj (l-номер строки). Тогда скалярное произведение i-той строки матрицы Ak-1 на j-тый столбец матрицы A равен сумме произведений. Каждое произведение означает кол-во путей из vi в vj, проходящих через vl на предпоследнем шаге. В сумме получается общее кол-во.

Утверждение. Для того, чтобы n-вершинный орграф D с матрицей смежности A=A(D) имел хотя бы один контур, - чтобы матрица K=A2+A3+… An имела ненулевые диагональные элементы (следствие предыдущего).

Пусть ρ-отношение достижимости на множестве V всех вершин (неориентированного) графа G. (либо v=w, либо существует маршрут, соединяющий v и w).

Тогда

1) ρ-отношение эквивалентности;

2) vρw - вершины v,w принадлежат одной компоненте связности;

3) для любого класса эквивалентности V1 псевдограф G1, порожденный множеством V1, является компонентой связности псевдографа G. Для орграфа: Пусть 1-отношение достижимости на множестве V всех вершин ориентированного псевдографа D. Пусть ρ2-отношение двусторонней достижимости на множестве V. (ρ2=ρ1∩ρ1-1). Тогда

1) ρ1 - рефлексивно, транзитивно;

2) ρ2 – эквивалентность на V;

3) vρ2w - когда вершины v,w принадлежат одной компоненте сильной связности;

4) для любого класса эквивалентности V1 ориент. псевдограф D1, порожденный множеством V1, является компонентой связности ор. псевдографа G.

Число компонент связности орграфа D обозначается P(D). (для неор. - P(G).

Определение. Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с с инцидентными ей ребрами (дугами).

Определение. Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется точкой сочленения.

Утверждение. Если D' – орграф, полученный в результате удаления нескольких вершин из орграфа D, то A(D') получается из A(D) в результате удаления строк и столбцов, соответствующих удаленным вершинам. (Для неор. графа то же самое).

Определение. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица T(D)=[tij] порядка n, элементы которой равны

- tij=1, если vj достижима изvi,

- tij=0, в противном случае.

Определение. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D)=[sij] порядка n, элементы которой равны

- sij=1, если vj достижима изvi и viдостижима изvj,

- sij=0, в противном случае.

Определение. Матрицей связности графа G называется квадратная матрица S(G)=[sij] порядка n, элементы которой равны

- sij=1, если существует маршрут, соединяющий vj и vi,

- sij=0, в противном случае.

Утверждение

Пусть G=(V,X) – граф, V={v1,…, vn}, A(G) – его матрица смежности. Тогда

S(G)=sign[E+A+A2+A3+… An-1] (E- единичнаяматрицапорядка n). (Следует из предыдущего).

Алгоритм выделения компонент сильной связности

1. Присваиваем p=1, S1=S(D).

2. Включаем в множество вершин Vp компоненты сильной связности Dp вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- кол-во компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу Sp+1, присваиваем p:=p+1 и переходим к п. 2.

Текст программы (с комментариями)

PROGRAMG_r_a_p_h;

Uses CRT;

const MaxNodes = 5; { Количество вершин в графе }

type NodePtr = 1..MaxNodes;

Element = 0..1;

AdjMatrix = Array [NodePtr,NodePtr] of Element;

var Adj : AdjMatrix; { Матрицасмежностей }

Path: AdjMatrix; { Матрицадостижимости }

i,j : NodePtr;

PROCEDURE P_r_o_d (A,B: AdjMatrix; var C: AdjMatrix);

{ Матрица C получает значение булевского }

{ произведения матриц A и B }

var Val : Element;

i,j,k: Integer;

BEGIN

For i:=1 to MaxNodes do

For j:=1 to MaxNodes do begin

Val:=0;

For k:=1 to MaxNodes do

Val:=Val OR (A[i,k] AND B[k,j]);

C[i,j]:=Val end

END;

PROCEDURE T_r_a_n_s_C_l_o_s_e (Adj: AdjMatrix; var Path: AdjMatrix);

{ Вычислени матрицы достижимости Path по }

{ заданной матрицы смежностей Adj }

var i,j,k : NodePtr;

NewProd: AdjMatrix;

AdjProd: AdjMatrix; BEGIN

AdjProd:=Adj; Path:=Adj;

For i:=1 to MaxNodes-1 do begin

P_r_o_d (AdjProd,Adj,NewProd);

For j:=1 to MaxNodes do For k:=1 to MaxNodes do

Path[j,k]:=Path[j,k] OR NewProd[j,k];

AdjProd:=NewProd

end

END;

BEGIN

clrscr;

{ Ввод матрицы смежностей заданного графа }

WriteLn ('Вводите элементы матрицы смежностей по строкам:');

For i:=1 to MaxNodes do

For j:=1 to MaxNodes do begin

Write ('‚Введите Adj[',i,',',j, ']: '); ReadLn (Adj[i,j]) end;

{ Вычисление и вывод матрицы достижимости }

T_r_a_n_s_C_l_o_s_e (Adj,Path);

WriteLn ('Матрицадостижимости: ');

For i:=1 to MaxNodes do begin For j:=1 to MaxNodes do if i=j then Path[i,j]:=1; end;

For i:=1 to MaxNodes do begin For j:=1 to MaxNodes do Write (Path[i,j],' '); WriteLn end;

readkey;

END.


Блок – схемы программы



Подпрограмма, где матрица С получает значение булевского произведения матриц А и В.


Подпрограмма для вычисления матрицы достижимости Path по заданной матрицы смежности Adj.


Результаты тестирования программы

Тест 1

Вводите элементы матрицы смежностей по строкам:

Введите Adj[1,1]: 0

Введите Adj[1,2]: 0

Введите Adj[1,3]: 1

Введите Adj[1,4]: 0

Введите Adj[1,5]: 0

Введите Adj[2,1]: 0

Введите Adj[2,2]: 0

Введите Adj[2,3]: 0

Введите Adj[2,4]: 0

Введите Adj[2,5]: 0

Введите Adj[3,1]: 0

Введите Adj[3,2]: 1

Введите Adj[3,3]: 0

Введите Adj[3,4]: 1

Введите Adj[3,5]: 1

Введите Adj[4,1]: 0

Введите Adj[4,2]: 1

Введите Adj[4,3]: 0

Введите Adj[4,4]: 0

Введите Adj[4,5]: 0

Введите Adj[5,1]: 1

Введите Adj[5,2]: 0

Введите Adj[5,3]: 0

Введите Adj[5,4]: 1

Введите Adj[5,5]: 0


Матрица достижимости:

1 1 1 1 1

0 1 0 0 0

1 1 1 1 1

0 1 0 1 0

1 1 1 1 1

Тест 2

Вводите элементы матрицы смежностей по стро-кам:

Введите Adj[1,1]: 0

Введите Adj[1,2]: 1

Введите Adj[1,3]: 0

Введите Adj[1,4]: 1

Введите Adj[1,5]: 0

Введите Adj[2,1]: 0

Введите Adj[2,2]: 0

Введите Adj[2,3]: 0

Введите Adj[2,4]: 0

Введите Adj[2,5]: 0

Введите Adj[3,1]: 1

Введите Adj[3,2]: 1

Введите Adj[3,3]: 0

Введите Adj[3,4]: 0

Введите Adj[3,5]: 0

Введите Adj[4,1]: 0

Введите Adj[4,2]: 0

Введите Adj[4,3]: 1

Введите Adj[4,4]: 0

Введите Adj[4,5]: 0

Введите Adj[5,1]: 1

Введите Adj[5,2]: 0

Введите Adj[5,3]: 0

Введите Adj[5,4]: 1

Введите Adj[5,5]: 0

Матрица достижимости:

1 1 1 1 0

0 1 0 0 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 0

1 1 1 1 1


Заключение

В результате выполнения курсовой работы была разработана программа для вычисления матрицы достижимости. В работе были решены все поставленные перед нами задачи: теоретическое объяснение принципа вычисления матрицы достижимости; представление текста программы с комментариями, а также представления ее в виде блок – схем; проверка правильности работы программы то есть представление результатов тестирования.

Программа написана на языкеTURBOPASCAL, однако может быть легко переписана на любой из современных языков программирования, так как приведены довольно простые алгоритмы. Были максимально предусмотрены все возможные ошибки, которые могут возникнуть при использовании данной программы.


Список использованной литературы

1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. // Курс дискретной математики. // М.: МАИ, 1992.

2. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. // Дискретная математика для инженера. // М.: Энергоатомиздат, 1988.

3. Кук Д., Бейз Г. // Компьютерная математика. // М. Наука, 1990.

4. Бронштейн Е.М. // Множества и функции. // Методические указания. Уфа: УГАТУ. 1988.

5. Житников В. П. // Конспект лекции по дискретной математике. // Уфа: УГАТУ. 2007.

6. Павловская Т. А. Щупак Ю. А. // Учебник по практическому программированию (Бейсик, С, Паскаль). // Санкт-Петербург. 2005.


Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Бесплатные доработки и консультации

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Гарантируем возврат

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Техподдержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

Строгий отбор экспертов

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +
Новых работ ежедневно
computer

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

avatar
Математика
История
Экономика
icon
149536
рейтинг
icon
3150
работ сдано
icon
1362
отзывов
avatar
Математика
Физика
История
icon
144452
рейтинг
icon
5909
работ сдано
icon
2669
отзывов
avatar
Химия
Экономика
Биология
icon
98694
рейтинг
icon
2055
работ сдано
icon
1281
отзывов
avatar
Высшая математика
Информатика
Геодезия
icon
62710
рейтинг
icon
1046
работ сдано
icon
598
отзывов
Отзывы студентов о нашей работе
57 288 оценок star star star star star
среднее 4.9 из 5
Harbin engineering university
Ирина выполнила все в срок, без проблем и нареканий. Всем советую обращаться к этому испол...
star star star star star
Дальневосточный Федеральный Университет
Прекрасный реферат, препод остался доволен. Работа содержала только нужную инфу, "воды" не...
star star star star star
НИТУ МИСиС
Намного раньше срока выполнения. Реферат выполнен качественно, ссылки на источнике в текст...
star star star star star

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Тест-контрольная по биологии, ~15 вопросов

Онлайн-репетитор, Биология

Срок сдачи к 27 дек.

только что
только что

Подробное описание решения задач.

Решение задач, Статистика

Срок сдачи к 28 дек.

только что

практическая работа

Контрольная, охрана окружающей среды

Срок сдачи к 27 дек.

1 минуту назад

Тест-контрольная по информатике, ~15 вопросов

Контрольная, Тест-контрольная

Срок сдачи к 27 дек.

1 минуту назад

Выберите любую тему в приложенном файле

Реферат, Исскуство 5 класс

Срок сдачи к 27 дек.

1 минуту назад

Практическая работа

Контрольная, Охрана окружающей среды, экология

Срок сдачи к 27 дек.

3 минуты назад

Матанализ

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 30 дек.

4 минуты назад

Срочно

Контрольная, трудовое право

Срок сдачи к 26 дек.

4 минуты назад

Запрограммировать на Паскале с соблюдением условием оформления работы

Контрольная, Вычислительная математика

Срок сдачи к 8 янв.

4 минуты назад

Практическая работа

Контрольная, Охрана окружающей среды, экология

Срок сдачи к 27 дек.

4 минуты назад

Решить лабораторные работы

Лабораторная, Криптографические методы защиты информации, информатикаэ\

Срок сдачи к 8 янв.

4 минуты назад

Сделать плакат

Другое, Графический дизайн

Срок сдачи к 28 дек.

5 минут назад

модели и моделирование

Решение задач, информатика и КТ

Срок сдачи к 26 дек.

6 минут назад

Практическая работа

Контрольная, Охрана окружающей среды, экология

Срок сдачи к 27 дек.

6 минут назад

Решить практическую по высшей математике

Отчет по практике, Высшая математика

Срок сдачи к 27 дек.

6 минут назад

решить 3 задачи по математической логике

Решение задач, Математическая логика

Срок сдачи к 3 янв.

8 минут назад

Решить практические

Контрольная, Охрана окружающей среды, экология

Срок сдачи к 27 дек.

8 минут назад
planes planes
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Свежую базу РГСР», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Вход
Регистрация или
Не нашли, что искали?

Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!

Файлы (при наличии)

    это быстро и бесплатно