Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

1281

Размер файла

22 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a₁, a₂, ..., a_n – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через S_n и докажем его в такой форме:

(S_n)ⁿ > a₁a₂... a_n.

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_k ≤ S_n ≤ a_k+1 ≤ ... ≤ a_n–1 ≤ a_n.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b – a

∫

= ln

b – a

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

= ln

b – a

Из (3) и (4)

S_n – a₁

S_n

S_n – a₂

S_n

+ ... +

S_n – a_k

S_n

≤ ln

S_n

a₁

+ ln

S_n

a₁

+ ... + ln

S_n

a_k

(5)

или

kS_n – (a₁ + a₂ + ... + a_k)

S_n

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

a_k+1

S_n

+ ln

a_k+2

S_n

+ ... + ln

a_n

S_n

≤

a_k+1 – S_n

S_n

a_k+2 – S_n

S_n

+ ... +

a_n – S_n

S_n

(7)

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤

(a_k+1 + ... + a_n) – (n – k)S_n

S_n

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(9)

Поскольку среди чисел a₁, a₂, ..., a_n есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

< ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

откуда вытекает (2).

Если же a₁ = a₂ = ... = a_n, то, очевидно,

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

157252
рейтинг

6079
работ сдано

2741
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

Синергия

работа выполнена отлично, спасибо большое за выдержанные сроки, очень рекомендую, ответств...

Гжельский Государственный Университет

Юлия Юрьевна выполнила все очень быстро и качественно. Никаких нареканий)

ИМ.ВИТТЕ

Работа выполнена досрочно. Замечаний не было. Спасибо! Обязательно буду обращаться еще!

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Практическое задание по дисциплине «Предпринимательские и финансовые риски»

Презентация, Управление персоналом

Срок сдачи к 30 авг.

только что

решить 14 задач по предмету сопротивление материалов

Курсовая, Сопротивление материалов

Срок сдачи к 23 сент.

5 минут назад

Подберите тему для научного диссертационного исследования

Другое, Менеджмент

Срок сдачи к 26 авг.

5 минут назад

Сделать реферат

Реферат, Промышленная экология

Срок сдачи к 26 авг.

5 минут назад

Тема: Связь уровня самооценки и склонности к прокрастинации у студентов

Курсовая, Психология

Срок сдачи к 18 сент.

6 минут назад

Курсовая по предмету «Документоведение»

Курсовая, Документоведение

Срок сдачи к 15 сент.

6 минут назад

Сделать дневник

Контрольная, Фармакология

Срок сдачи к 30 авг.

6 минут назад

Комплексная контрольная по Геологии

Контрольная, Геология

Срок сдачи к 1 сент.

8 минут назад

С делать аналогично только мой вариант, выделил район

Курсовая, Основы проектной деятельности

Срок сдачи к 1 сент.

10 минут назад

Основы предпринимательской деятельности

Контрольная, Основы предпринимательской деятельности

Срок сдачи к 30 авг.

11 минут назад

Итоговое задание по дисциплине «Информационнокоммуникационные технологии. Часть 1»

Контрольная, информационно-коммуникационные технологии

Срок сдачи к 25 авг.

11 минут назад

Разработка практического задания на формирование умений

Контрольная, информационно-коммуникационные технологии

Срок сдачи к 25 авг.

11 минут назад

Технологические операционные карты сварки

Другое, Сварочное производство

Срок сдачи к 26 авг.

11 минут назад

Кейс-задание «Экскурсия по историческому музею»

Контрольная, История России

Срок сдачи к 25 авг.

11 минут назад

Кейс-задание «Многообразие культур: диалог прошлого и настоящего»

Контрольная, Основы русской государственности

Срок сдачи к 25 авг.

11 минут назад

Практическое задание (Проблемная ситуация)

Контрольная, Экономическая теория

Срок сдачи к 25 авг.

11 минут назад

Написать курсовую

Курсовая, Инструментальные средства моделирования информационных систем

Срок сдачи к 31 авг.

11 минут назад

Л. И. Петражицкий: психология и право

Курсовая, История политических и правовых учений

Срок сдачи к 1 сент.

11 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.