Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

1205

Размер файла

22 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a₁, a₂, ..., a_n – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через S_n и докажем его в такой форме:

(S_n)ⁿ > a₁a₂... a_n.

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_k ≤ S_n ≤ a_k+1 ≤ ... ≤ a_n–1 ≤ a_n.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b – a

∫

= ln

b – a

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

= ln

b – a

Из (3) и (4)

S_n – a₁

S_n

S_n – a₂

S_n

+ ... +

S_n – a_k

S_n

≤ ln

S_n

a₁

+ ln

S_n

a₁

+ ... + ln

S_n

a_k

(5)

или

kS_n – (a₁ + a₂ + ... + a_k)

S_n

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

a_k+1

S_n

+ ln

a_k+2

S_n

+ ... + ln

a_n

S_n

≤

a_k+1 – S_n

S_n

a_k+2 – S_n

S_n

+ ... +

a_n – S_n

S_n

(7)

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤

(a_k+1 + ... + a_n) – (n – k)S_n

S_n

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(9)

Поскольку среди чисел a₁, a₂, ..., a_n есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

< ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

откуда вытекает (2).

Если же a₁ = a₂ = ... = a_n, то, очевидно,

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

156492
рейтинг

6068
работ сдано

2737
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

им. С.Ю.Витте

Работа выполнена досрочно, содержание по существу, маленький недочет был исправлен. Спасибо!

БПТ

Обращался к Елене Александровне второй раз Всё очень здорово и оперативно сделанно, без за...

"КрасГАУ"

Заказываю в первый раз у Евгения , и остался максимально доволен , всё чётко !)

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Решение задач по предмету «Математика»

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 29 дек.

1 минуту назад

Отчет с выполнением заданий

Решение задач, Отчет, бух учет

Срок сдачи к 25 дек.

4 минуты назад

Расчет параметров участка электроэнергетической системы

Решение задач, Электрические системы, электроника, электротехника

Срок сдачи к 8 янв.

4 минуты назад

Доклад на тему "личность в теории деятельности а. н. леонтьева" + презентация

Доклад, Психология личности

Срок сдачи к 27 дек.

4 минуты назад

Сделать курсач по методике

Курсовая, Электротехника

Срок сдачи к 26 дек.

5 минут назад

Заполнить журнал регистрации хозяйственных операций малого предприятия, проставив в нем корреспонденцию счетов

Другое, Финансовый учет и анализ

Срок сдачи к 4 янв.

6 минут назад

Психология безопасности труда

Реферат, Русский язык и культура речи

Срок сдачи к 29 дек.

7 минут назад

Сделать реферат и презентацию

Презентация, Биомеханика

Срок сдачи к 25 дек.

7 минут назад

написать курсовую работу по уголовному праву

Курсовая, Уголовное право

Срок сдачи к 25 дек.

7 минут назад

Начертить 12 чертежей

Чертеж, Начертательная геометрия

Срок сдачи к 9 янв.

8 минут назад

Феномен успеха и успешность в профессиональном развитии

Реферат, Психология

Срок сдачи к 28 дек.

9 минут назад

В файле прикреплен пример выполнения задания

Контрольная, Криминология

Срок сдачи к 27 дек.

9 минут назад

9-11 страниц. правовые основы военной реформы в ссср в 20-е гг

Реферат, История государства и права России

Срок сдачи к 26 дек.

10 минут назад

Выполнить реферат. История Англии. Е-01554

Реферат, Английский язык

Срок сдачи к 26 дек.

10 минут назад

Составить Проект массового взрыва

Контрольная, Взрывное дело, горное дело

Срок сдачи к 8 янв.

12 минут назад

Термодинамика

Решение задач, Термодинамика

Срок сдачи к 26 дек.

12 минут назад

Нужен реферат, объем 15-20 страниц

Реферат, Безопасность в техносфере

Срок сдачи к 5 янв.

12 минут назад

Выполнить реферат. История Англии. Е-01554

Реферат, История

Срок сдачи к 26 дек.

12 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.