Реальная база готовых
студенческих работ

Авторам Вопрос-ответ

Узнайте стоимость индивидуальной работы!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Вы нашли то, что искали?

Да, спасибо!

Нет, пока не нашел

Узнайте стоимость индивидуальной работы

Тип задания

Предмет

Ваше имя

это быстро и бесплатно

Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!

Тип задания

Предмет

Ваше имя

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Тип Реферат

Предмет Математика

Просмотров

1208

Размер файла

22 б

Ознакомительный фрагмент работы:

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a₁, a₂, ..., a_n – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через S_n и докажем его в такой форме:

(S_n)ⁿ > a₁a₂... a_n.

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_k ≤ S_n ≤ a_k+1 ≤ ... ≤ a_n–1 ≤ a_n.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b – a

∫

= ln

b – a

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

= ln

b – a

Из (3) и (4)

S_n – a₁

S_n

S_n – a₂

S_n

+ ... +

S_n – a_k

S_n

≤ ln

S_n

a₁

+ ln

S_n

a₁

+ ... + ln

S_n

a_k

(5)

или

kS_n – (a₁ + a₂ + ... + a_k)

S_n

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

a_k+1

S_n

+ ln

a_k+2

S_n

+ ... + ln

a_n

S_n

≤

a_k+1 – S_n

S_n

a_k+2 – S_n

S_n

+ ... +

a_n – S_n

S_n

(7)

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤

(a_k+1 + ... + a_n) – (n – k)S_n

S_n

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

≤ ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

(9)

Поскольку среди чисел a₁, a₂, ..., a_n есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

< ln

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

или

a_k+1a_k+2 ... a_n

(S_n)^n–k

(S_n)^k

a₁a₂... a_k

откуда вытекает (2).

Если же a₁ = a₂ = ... = a_n, то, очевидно,

a₁ + a₂ + ... + a_n

ⁿ



a₁a₂... a_n

Смотреть

Модельное мышление
Реферат, Математика

Смотреть

Конспект лекций по дискретной математике
Реферат, Математика

Смотреть

Комета 103P/Хартли
Реферат, Математика

Смотреть

Первичная статистическая обработка информации
Реферат, Математика

Смотреть

Нет нужной работы в каталоге?

Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.

Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит

Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки

Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа

Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему

К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»

1 000 +

Новых работ ежедневно

Требуются доработки?
Они включены в стоимость работы

Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован

Математика

История

Экономика

159599
рейтинг

3275
работ сдано

1404
отзывов

Математика

Физика

История

156492
рейтинг

6068
работ сдано

2737
отзывов

Химия

Экономика

Биология

105734
рейтинг

2110
работ сдано

1318
отзывов

Высшая математика

Информатика

Геодезия

62710
рейтинг

1046
работ сдано

598
отзывов

Тип работы

ДВГУПС

очень ответственно подошел к работе! Надеюсь на дальнейшее сотрудничество

Технический нефтегазовый институт

Спасибо Оксане, очень быстрое и качественное исполнение работы. Защита прошла на отлично. ...

ГУЗ

Спасибо Большое! Реферат был написан в короткие сроки и очень доступным языком

Последние размещённые задания

Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн

Исследуйте на сходимость числовой знакоположительный ряд

Решение задач, Математика

Срок сдачи к 20 янв.

только что

4 задания

Контрольная, Статистика

Срок сдачи к 18 янв.

только что

Решить 2 задачи по гидравлике, объединить результаты в одну расчётно-графическую работу.

Решение задач, Гидравлика

Срок сдачи к 17 янв.

только что

Выполнить курсовой. Финансы организаций. Р-00271

Курсовая, Экономика

Срок сдачи к 22 янв.

только что

Английский

Решение задач, Английский

Срок сдачи к 15 янв.

1 минуту назад

В данный момент требуется узнать стоимость

Курсовая, Бухгалтерский учет

Срок сдачи к 1 апр.

1 минуту назад

Решить 2 задачи и ответить на вопросы.

Решение задач, Электротехника

Срок сдачи к 17 янв.

2 минуты назад

Выполнить курсовой. Финансы организаций. Р-00271

Курсовая, Финансы

Срок сдачи к 22 янв.

2 минуты назад

8 заданий под вариантами 7,17,27,37,47,57,67,77

Контрольная, Математика

Срок сдачи к 14 янв.

2 минуты назад

Тема в задании нужно сделать курсовую по организации пар Севастополь...

Курсовая, Бухгалтерская и налоговая отчетность

Срок сдачи к 15 янв.

2 минуты назад

Выполнить Индивидуальный проект, Обществознание

Контрольная, Обществознание

Срок сдачи к 18 янв.

4 минуты назад

Сделать 3 призентации

Презентация, SMM в спорте

Срок сдачи к 18 янв.

4 минуты назад

сравнительный анализ мер валютного контроля

Презентация, Таможенное дело

Срок сдачи к 15 янв.

4 минуты назад

Анализ доходов, расходов и финансовых результатов деятельности организации по данным отчета о финансовых результатах

Курсовая, Бухгалтерский учет анализ и аудит

Срок сдачи к 26 янв.

5 минут назад

Тесты,Экзамены

Другое, Все

Срок сдачи к 19 янв.

5 минут назад

Решить контрольную

Контрольная, Биология

Срок сдачи к 30 янв.

5 минут назад

Технологическая (проектно-технологическая) практика

Отчет по практике, Педагогическое образование

Срок сдачи к 16 февр.

6 минут назад

"Контрабанда растений, содержащих наркотические средства, психотропные вещества или их прекурсоры, либо их частей, содержащих наркотические средства"

Презентация, Уголовное право

Срок сдачи к 21 янв.

7 минут назад

Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!

Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.