О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедройШеметков Л.А.

« » 2007 г.

О ω-насыщенных формациях с -разложимым дефектом 1

Курсовая работа

Исполнитель:

Студент группы М-51А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007

Оглавление

1. Введение

2. Основные понятия и обозначения

3. Используемые результаты

4. Основной результат

5 Заключение

Литература

1. Введение

Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом ω-насыщенной формации F понимают длину решетки ω-насыщенных формаций, заключенных между формацией FH и F.

В случае, когда H – формация всех -разложимых групп, H-дефект ω-насыщенной формации F называют ее -разложимым l^ω-дефектом. Доказано, что -разложимый l^ω-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω-насыщенной не -разложимой подформации и некоторой ω-насыщенной -разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.

Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый l^ω-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации ω-насыщенных формаций с заданной структурой ω-насыщенных подформаций.

Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1–3].

В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом 2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между FH и F.

В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. Содной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).

В теории ω-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p-насыщенных и ω-насыщенных формаций с нильпотентным l^ω-дефектом 1. Классификация неразрешимых ω-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную ω-насыщенную подформацию, получена в [7].

Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не -нильпотентной ω-насыщенной формации с -нильпотентноймаксимальной ω-насыщенной подформацией [8].

В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций-разложимого l^ω-дефекта 1.

Основным результатом является

Теорема 1.Пусть F – некоторая ω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -разложимый l^ω-дефект формации F равен 1, когда F=MV^ωH, где M – ω-насыщенная-разложимая подформация формации F, H – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в MV^ω(HX); 2) всякая ω-насыщенная не -разложимая подформация F₁из F имеет видHV^ω(F₁X).

2. Основные понятия и обозначения

Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω 'обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.

Всякую функцию вида f: ω{ω'}{формации групп} называют ω-локальным спутником. Если f –произвольный ω-локальный спутник, то LF_ω(f)={ G | G/G_ωdf(ω') и G/F_p(G)f(p) для всех pω(G)}, где Gωd –наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K)ωØ, F_p(G) – наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .

Если формация F такова, что F=LF_ω(f) для некоторого ω-локального спутника f, то говорят, что F является ω-локальной формацией, а f ее ω-локальный спутник.Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальным спутником.

Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(F_p)=form(G/F_p(G) | GÎX), если p(X), X(F_p)=Ø, если p(X).

Формация F называется ω-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /LF, где LФ(G)∩O_ω(G).

Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда она является ω-насыщенной.

Через l^ω обозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.

Полагают l^ωformFравным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций,которые содержат совокупность групп F.

Для любых двух ω-насыщенных формаций M и H полагают MH=M∩H, а MV^ωH=l^ωform(MH). Всякое множество ω-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций и V^ω, является решеткой. Таковым, например, является множество l^ω всех ω-насыщенных формаций.

Через F/^ωF∩H обозначают решетку ω-насыщенных формаций, заключенных между F∩H и F. Длину решетки F/^ωF∩H обозначают|F:F∩H |^ω и называют H^ω-дефектом ω-насыщенной формации F.

ω-Насыщенная формация F называется минимальной ω-насыщенной не H-формацией, если FH, но все собственные ω-насыщенные подформации из Fсодержатся в H.

Пусть – некоторое непустое множество простых чисел.Группу G называют -специальной, если в ней существует нильпотентная нормальная -холлова подгруппа.Класс всех -специальных групп совпадает с классом N G_'.

Группу G называют -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Класс всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с GG'.

Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и '-замкнута.

3. Используемые результаты

Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.

Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H – формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если p(M), f(p)=h(p), если p(M).

Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая

Лемма 2 [3]. Пусть X – полуформация и AF=formX. Тогда если A – монолитическая группа и AX, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt M.

Лемма 3 [2]. Пусть M и N – нормальные подгруппы группы G, причем MCG(N). Тогда [N](G/M)formG.

Лемма 4 [9]. Пусть F – произвольная ω-насыщенная не -разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация.

Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является

Лемма 5. Пусть F, M, X и H – ω-насыщенные формации, причем F=MVωX. Тогда если m, r и t соответственно Hω-дефекты формаций M, X и F и m, r<, то t m+r.

Лемма 6 [1]. Решетка всех ω-насыщенных формаций lω модулярна.

Лемма 7 [1]. Если F=lωformX и f – минимальный ω-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(ω ') = form(G/Gωd | GX); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все pω; 3) если F=LFω(h) и p – некоторый фиксированный элемент из ω, то F=LFω(f1), где f1(a)=h(a) для всех a(ω{p}){ω’}, f1(p)=form(G | Gh(p)∩ F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFω(G), где g(ω')=F и g(p)=f(p) для всех pω.

Лемма 8 [1]. Пусть fi – такой внутренний ω-локальный спутник формации Fi, что fi(ω')=Fi, где iI. Тогда F=F1VωF2=LFω(f), где f=f1V f2.

Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, когда F=lωformG, где G – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом P, что (G)∩=Ø и либо =(P)∩ω=Ø и P совпадает с -разложимым корадикалом группы G, либо Ø и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если ', то G/P – '-группа, если ={p}, то G/P – p-группа, если же ∩ωØ и ||>1, то G=P – простая неабелева группа; 2) G – группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) – минимальная нормальная подгруппа группы G, H – простая неабелева группа, причем ∩(H)=Ø.

Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M – некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.

Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются ω-насыщенными, то формация F=MH также является ω-насыщенной.

Лемма 12 [1]. Пусть F – ω-насыщенная формация и f – ее ω-локальный спутник. Если G/Op(G)f(p)∩F, то GF.

Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].

Лемма 13. Пусть M, F и H – ω-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M∩H|ω|F:F∩H |ω.

Лемма 14 [3]. Пусть F – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A – монолитическая группа из form XF, то AH(X).

4. Основной результат

В дальнейшем через X будем обозначать формацию всех -разложимых групп, а X-дефект ω-насыщенной формации F называть ее -разложимым lω-дефектом. Заметим, что класс всех -разложимых групп совпадает с классом G’G ∩NG'.

Лемма 15. Пусть H – некоторая формация. Тогда формация NωH является ω-насыщенной.

Доказательство. Пусть F=NωH. Как известно, формация Nω является насыщенной и, следовательно, ω-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел ω. В силу леммы 7 формация Nω имеет такой внутренний ω-локальный спутник n, что n(p)=1 для любого pω и n(ω')=Nω.

Так как для любого pÎω справедливо включение, то применяя лемму 1 заметим, что F – p-локальная формация. Следовательно формация F является ω-локальной или ω-насыщенной. Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть A – простая группа, M и X – некоторые непустые формации. Тогда если AMVX, то AMX.

Доказательство. Предположим, что AMX=F. Тогда в силу леммы 2 в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt M.

Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/)form(H/Ni).

Пусть A – группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N – абелев фактор.

Поэтому CH(M/N)=H. В силу условия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку =CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/

H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Niform(H/Ni). Но ввиду (3) H/NiF=MX. Поскольку M и X – формации, то AMi/NiMX.

Пусть теперь A – простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем AMX. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть -разложимый lω-дефект формации F равен 1. Так как F не является -разложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация H1. По условию M=X∩F – максимальная ω-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVωH1.

Достаточность. Пусть F=MVωH1, где M – ω-насыщенная -разложимая подформация формации F, H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация F. Понятно, что FX. Пусть -разложимые lω-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M – ω-насыщенная -разложимая формация, то m=0. Так как H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, то ее -разложимый lω-дефект r равен 1. В силу леммы 5 для -разложимого lω-дефекта формации F имеет место неравенство tm+r = 0+1 = 1.

Если t = 0, то F – -разложимая формация, что противоречит условию FX. Таким образом, |F:F∩X |ω=1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.

Так как X∩H1 – максимальная ω-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм

(((X∩H1)VωM)VωH1)/ω((X∩H1)VωM)H1/ωH1∩((X∩H1)VωM) =

= H1/ω(X∩H1)Vω(H1∩M) = H1/ωX∩H1.

Следовательно, (X∩H1)VωM – максимальная ω-насыщенная подформация в F.

Тогда, поскольку FX, то всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в (X∩H1)VωM.

Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных ω-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F∩X. Тогда M1 – -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в F существует H2 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 является -разложимой формацией, то H2M1. Значит, F=H2VωM1=H1VωM1.

Из леммы 9 следует, что Hi=lωformGi, где Gi – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)∩=Ø и либо =(Pi)∩ω=Ø и Pi совпадает с -разложимым корадикалом группы Gi, либо Ø и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi – '-группа, если ={pi}, то Gi/Pi – p-группа, если же ∩ωØ и ||>1, то Gi=Pi – простая неабелева группа; (2) Gi – группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=(Pi) – минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi – простая неабелева группа, причем ∩(Hi)=Ø.

По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние ω-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi) | GiHi), если aω∩(Gi), hi(a)=Hi, если a=ω', hi(a)=Ø, если aω(Gi), где i=1,2 и m(a)=form(A/Fa(A) | A M1), если aω∩(M1), m(a)=M1, если a=ω', m(a)=Ø, если aω(M1).

Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой ω-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)V m(p) для всех p ω и f(ω')=HiVM1=form(H1M1)F.

Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т.е. P2 – неабелева ωd-группа. Обозначим через R формацию, равную form(H1M1). Поскольку, по лемме 15, NωR – ω-насыщенная формация и H1M1RNωR, то F=lωform(H1M1) NωR. Но G2F. Следовательно G2NωR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nω.

Пусть G2R 1. Так как R-корадикал – нормальная в G2 подгруппа и P2 – единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2GR. Тогда получаем, что P2 – неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.

Следовательно, G2R=1. Поэтому G2R=form(H1M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2H1M1. Тогда, так как G2M1, то G2H1. Поэтому H2=lωformG2H1.

Поскольку H2 – минимальная ω-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.

Пусть группа G2 удовлетворяет условию (2), т.е. G2 является группой Шмидта и P2 – ωd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lωformA=lωform(A/Ф(A)∩Oω(A)), то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, т.е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=(Pi) – минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.

Так как G2/P2F∩X=M1, G2M1, то P2=G2M1. Из того, что M1Np2M1 и P2Np2, следует G2Np2M1.

По лемме 11 формация Np2M1 является ω-насыщенной формацией. Так как H2=lωformG2, то H2Np2M1. Тогда FNp2M1, так как F – наименьшая ω-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1Np2M1. Поскольку, G1/P1M1 и G1M1, то P1=G1M1 Np2, т.е. P1 является p2-группой. Так как G2F, то G2/Fp2(G2)f(p2)=h1(p2)Vm(p2). Но H2G2/P2=G2/Fp2(G2). Поэтому H2h1(p2)Vm(p2).

Ввиду пункта 18.20. [2], леммы 7 и замечания 1 [1] формация X всех -разложимых групп имеет такой максимальный внутренний ω-локальный спутник x, что x(p)=Np, если p∩ω и x(p)=G’ если pω.

Так как m(p2) – внутренний спутник формации M1X, то H2 h1(p2)V m(p2)h1(p2)V x(p2). Заметим также, что h1(p2)=form(G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2∩ω. Таким образом, H2formH1Vx(p2) = formH1VNp2 = form(formH1Np2). Применяя лемму 16, получаем, что H2formH1Np2.

Заметим, что G1 удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 является простой группой. Поскольку H2 – q2-группа и q2p2, то H2H1.

Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2H2H1G1/Fp2(G1)h1(p2)H1. Применяя лемму 12, получаем, что G2H1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Пусть теперь для группы G2 выполняется условие(3), т.е. G2=[P2]H2, где P2=CG(P2) – минимальная нормальная подгруппа группы G2, H2 – простая неабелева группа, причем ∩(H2)=Ø.

Рассуждая аналогично случаю (2) получаем, что P1 является p2-группой и H2h1(p2)VNp2 = formH1VNp2 = form(formH1Np2). Но H2 – простая неабелева группа. Значит, в силу леммы 16 получаем H2formH1Np2 и H2formH1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Пусть теперь P2 – ω'-группа. Заметим, что если P2 – неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, P2 – абелева p2-группа.

Рассмотрим формацию H=H1VωH2. Поскольку формация H1 содержится в формации H и -разложимый lω-дефект формации H1 равен 1, то по лемме 13 получаем, что |H:H∩X |ω1. С другой стороны, так как HF и -разложимый lω-дефект формации F равен 1, то по лемме 13, |H:H∩X |ω1. Значит, -разложимый lω-дефект формации H равен 1. Поэтому в H существует -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация L. Понятно, что L=H∩X. Тогда H=LVωH1=LVωH2. Поскольку P2 является абелевой p2-группой и единственной минимальной нормальной подгруппой в G2 такой, что G2/P2L=H∩X, то G2L=P2. Это означает, что G2Np2L. Следовательно, H2Np2L. Кроме того, LNp2L. А так как по лемме 11 формация Np2L является ω-насыщенной формацией и H=LVωH2, то HNp2L. Поэтому H=LVωH1Np2L и G1Np2L. Таким образом, аналогично получаем, что P1 является p2-группой.

Рассмотрим решетку HVωX/ωX. Ввиду леммы 6 HVωX/ωXH/ωX∩H=H/ωL.

Таким образом, X является максимальной ω-насыщенной подформацией в HVωX. Тогда H1VωX=HVωX=H2VωX. Значит G1H2VωX. Следовательно, G1lωform(H2X)=lωform({G2}X)Nωform({G2}X).

Так как P1 – p2-группа и p2ω', то G1form({G2}X). По условию P2=GX. Поэтому P2Ф(G2). Но G1X. Значит, G1form({G2}X)X. Поскольку для любой группы A из {G2}X, подгруппа AX не содержит фраттиниевых A-главных факторов, то по лемме 14 получаем G1H({G2}X). Так как G1X и G2/P2X, то G1G2. Следовательно, H1=H2. Противоречие.

Таким образом, в формации F нет минимальных ω-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1.

Пусть теперь F1 – произвольная не -разложимая ω-насыщенная подформация из F. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что H1F1. Следовательно, применяя лемму 4, получаем F1=F1∩F=F1∩(H1VωM)=H1Vω(F1∩M). Теорема доказана.

Приведем некоторые следствия доказанной теоремы.

Если ω={p}, а – множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. В том и только том случае p-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную p-насыщенную подформацию, когда F= MVpH, где M – p-насыщенная нильпотентная формация, H – минимальная p-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая p-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVp( H∩N ); 2) всякая p-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVp(F1∩N).

Если – множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает

Следствие 2. В том и только том случае ω-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную ω-насыщенную подформацию, когда F= MVωH, где M – ω-насыщенная нильпотентная формация, H – минимальная ω-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая ω-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVω(H∩N); 2) всякая ω-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVω(F1∩N).

Если ω и равны множеству всех простых чисел, то из теоремы 1 получаем

Следствие 3 [4]. В точности тогда нильпотентный дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M – нильпотентная локальная формация, H – минимальная локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нильпотентная подформация из F входит в MVl(H∩N); 2) всякая ненильпотентная локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1∩N).

Если ω – множество всех простых чисел, из теоремы 1 вытекает

Следствие 4. В точности тогда -разложимый дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M – -разложимая локальная формация, H – минимальная локальная не -разложимая формация, при этом: 1) всякая -разложимая подформация из F входит в MVl(H∩X); 2) всякая не -разложимая локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1∩X).

5 Заключение

В данной работе получено описание не -разложимых ω-насыщенных формаций с -разложимой максимальной ω-насыщенной подформацией. Результаты работы, являются новыми и связаны с исследованием структурного строения и классификацией частично насыщенных формаций конечных групп. В доказательствах используются методы абстрактной теории групп, общей теории решеток, а также методы теории формаций конечных групп. Результаты работы и методы исследования могут быть использованы при изучении внутреннего строения частично насыщенных формаций.

Литература

1 Скиба, А.Н. Кратно ω-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков // Матем. Труды. –1999. –Т.2, №2. – С. 114–147.

2 Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. – М.: Наука, 1989. – 256 с.

3 Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. – Мн.: Беларуская навука, 1997. –240 c.

4 Скиба, А.Н. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 / А.Н.Скиба, Е.А. Таргонский // Математ. заметки. –1987. –Т.41, .№ 4. – С. 490–499.

5 Джехад, Дж. Классификация p-локальных формаций длины 3: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Дж. Джехад; Гом. гос. ун-т им.Ф.Скорины. – Гомель, 1996. – 15 с.

6 Жевнова, Н.Г. ω-Локальные формации с дополняемыми подформациями: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Н.Г. Жевнова; Гом. гос. ун-т им. Ф.Скорины. – Гомель, 1997. – 17 с.

7 Сафонов, В.Г. О приводимых ω-насыщенных формациях с разрешимым дефектом 2 / В.Г. Сафонов, И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 2005. – №5(32). – С. 162–165.

8 Сафонов, В.Г. Частично насыщенные формации с -нильпотентным дефектом 1 / В.Г. Сафонов, А.И. Рябченко // Вестн. Мозырьского гос. пед. ун-та. – 2005. – № 2(13). – С. 16–20.

9 Сафонова, И.Н. О существовании Hω-критических формаций / И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. – 1999. – №1. – С. 118–126.

10 Сафонова, И.Н. К теории критических ω-насыщенных формаций конечных групп / И.Н. Сафонова // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С. –2004. – №11. – С. 9–14.