это быстро и бесплатно
Оформите заказ сейчас и получите скидку 100 руб.!
Ознакомительный фрагмент работы:
Курсовая работа
"Исследование точности численного дифференцирования"
Екатеринбург 2009 г.
1. Подробное описание задачи и метод ее решения
Исследуйте два метода численного дифференцирования:
где xi – узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается, что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
Исследование проведите на примерах:
Относительную погрешность определяйте относительно максимального значения функции на интервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значений аналитически вычисленной производной.
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
При численном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией. При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Задание требует исследовать 2 метода. Оба метода можно применять для всех функций, приведенных в задании, исходя из области определения этих функций.
На самом деле, метод решения данной задачи довольно тривиален, так как все формулы приведены в условии задачи.
Входные данные: номер функции, номер метода, точность (шаг), левое значение, правое значение. Для функции у=cos2mxнужно выбрать параметр m из предложенных.
Выходные данные: аргумент, значение функции при заданном параметре, значение первой производной, абсолютная погрешность, относительная погрешность.
1) y=cos2mx, для m=1 [0, 3.14]
выберем шаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1
параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0,3 | 0,912668 | -0,531369 | 0,0596719 | 0,59104 |
0,6 | 0,681179 | -0,877115 | 0,25217 | 1,12928 |
0,9 | 0,386399 | -0,91646 | 0,650194 | 1,56665 |
1,2 | 0,131303 | -0,635659 | 1,22842 | 1,86408 |
1,5 | 0,00500375 | -0,132804 | 1,86219 | 1,99499 |
1,8 | 0,0516208 | 0,416443 | 2,36414 | 1,9477 |
2,1 | 0,25487 | 0,820214 | 2,54663 | 1,72642 |
2,4 | 0,543749 | 0,937461 | 2,28839 | 1,35093 |
2,7 | 0,817346 | 0,727226 | 1,58199 | 0,85476 |
3 | 0,980085 | 0,26295 | 0,54519 | 0,28224 |
Метод 2
параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0,3 | 0,912668 | -0,562306 | 0,0287348 | 0,59104 |
0,6 | 0,681179 | -0,928182 | 0,201103 | 1,12928 |
0,9 | 0,386399 | -0,969817 | 0,596837 | 1,56665 |
1,2 | 0,131303 | -0,672668 | 1,19141 | 1,86408 |
1,5 | 0,00500375 | -0,140536 | 1,85445 | 1,99499 |
1,8 | 0,0516208 | 0,440689 | 2,38838 | 1,9477 |
2,1 | 0,25487 | 0,867969 | 2,59439 | 1,72642 |
2,4 | 0,543749 | 0,992042 | 2,34297 | 1,35093 |
2,7 | 0,817346 | 0,769566 | 1,62433 | 0,85476 |
3 | 0,980085 | 0,278259 | 0,560499 | 0,28224 |
Графики
Для первого графика выберем шаг = 0,05, для большей точности построения
численный дифференцирование абсолютный погрешность
Рисунок 1. Значение функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 2. Значение первой производной функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 3. Абсолютная погрешность функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 4. Относительная погрешность функции y=cos2mx при m=1
2) y=cos2mx, для m=12 [0, 3.14]
выберем шаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1
параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0,3 | 0,804176 | -1,04985 | 1,93489 | 0,885041 |
0,6 | 0,370091 | -1,27735 | 0,309983 | 1,58734 |
0,9 | 0,037764 | -0,50431 | 2,46618 | 1,96187 |
1,2 | 0,067505 | 0,663757 | 2,59507 | 1,93132 |
1,5 | 0,436018 | 1,31191 | 0,190069 | 1,50197 |
1,8 | 0,854648 | 0,932442 | 1,69494 | 0,762501 |
2,1 | 0,995483 | -0,177401 | 0,0429848 | 0,134416 |
2,4 | 0,748207 | -1,14829 | 2,15186 | 1,00358 |
2,7 | 0,306512 | -1,21972 | 0,445798 | 1,66552 |
3 | 0,016375 | -0,335752 | 2,31931 | 1,98356 |
Метод 2
параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0,3 | 0,804176 | -1,04985 | 1,93489 | 0,885041 |
0,6 | 0,370091 | -1,27735 | 0,309983 | 1,58734 |
0,9 | 0,037764 | -0,50431 | 2,46618 | 1,96187 |
1,2 | 0,067505 | 0,663757 | 2,59507 | 1,93132 |
1,5 | 0,436018 | 1,31191 | 0,190069 | 1,50197 |
1,8 | 0,854648 | 0,932442 | 1,69494 | 0,762501 |
2,1 | 0,995483 | -0,177401 | 0,0429848 | 0,134416 |
2,4 | 0,748207 | -1,14829 | 2,15186 | 1,00358 |
2,7 | 0,306512 | -1,21972 | 0,445798 | 1,66552 |
3 | 0,016375 | -0,335752 | 2,31931 | 1,98356 |
Графики
Для первых двух графиков выберем шаг = 0,05
Рисунок 5. Значение функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 6. Значение первой производной функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 7. Абсолютная погрешность функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 8. Относительная погрешность функции y=cos2mx при m=12
3) y= [0. 01,1]
выберем шаг=0,05 на интервале [0. 5,1], графики при этих данных наиболее наглядные данные.
Метод 1
параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
0,5 | 4 | -16,3249 | 0,324865 | 4 |
0,55 | 3,30579 | -12,2222 | 0,201185 | 3,00526 |
0,6 | 2,77778 | -9,38921 | 0,129953 | 2,31481 |
0,65 | 2,36686 | -7,36961 | 0,0869563 | 1,82066 |
0,7 | 2,04082 | -5,89086 | 0,0599575 | 1,45773 |
0,75 | 1,77778 | -4,78316 | 0,0424225 | 1,18519 |
0,8 | 1360531 | -3,93695 | 0,0306973 | 0,976562 |
0,85 | 1,38408 | -3,27932 | 0,022655 | 0,814166 |
0,9 | 1,23457 | -2,7605 | 0,0170138 | 0,685871 |
0,95 | 1,10803 | -2,34568 | 0,0129775 | 0,583175 |
1 | 1 | -2,01004 | 0,0100376 | 0,5 |
Метод 2
параметр | значение функции | производная | абсолютная | относительная |
0,5 | 4 | -15,9794 | 0,0205506 | 4 |
0,55 | 3,30579 | -12,0106 | 0,01042 | 3,00526 |
0,6 | 2,77778 | -9,25364 | 0,0056158 | 2,31481 |
0,65 | 2,36686 | -7,27947 | 0,0031844 | 1,82066 |
0,7 | 2,04082 | -5,82902 | 0,00188505 | 1,45773 |
0,75 | 1,77778 | -4,73958 | 0,00115782 | 1,18519 |
0,8 | 1360531 | -3,90552 | 0,000734272 | 0,976562 |
0,85 | 1,38408 | -3,25619 | 0,000478899 | 0,814166 |
0,9 | 1,23457 | -2,74316 | 0,000320172 | 0,685871 |
0,95 | 1,10803 | -2,33248 | 0,000218821 | 0,583175 |
1 | 1 | -1,99985 | 0,000152533 | 0,5 |
В конце работы программы получен текстовый файл, содержащий аргумент функции, значение функции, значение первой производной, абсолютную и относительную погрешность. По этим данным построены графики зависимости аргумента от значения функции, производной, абсолютной и относительной погрешности. Каждый график содержит кривые, полученные вычислениями двумя различными методами, графики примерно совпадают, но все же есть некоторые погрешности.
Приложение
Исследуйте два метода численного дифференцирования:
где xi – узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается, что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
Исследование проведите на примерах:
Относительную погрешность определяйте относительно максимального значения функции на интервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значений аналитически вычисленной производной. Данная программа предназначена для исследования метода численного дифференцирования двумя способами.
Программа была отлажена и проверена на вычислительной установке PC c процессором AMD Turion(tm) X2 Dual Core Mobile RM-76 2.30 Гц, работающей под управлением операционной системы Windows 7 Ultimate, ОЗУ 4 Гб. На других вычислительных установках программа не проверялась.
Для выполнения программы выбрана вычислительная установка типа PC с процессором Pentium III (или быстрее) и 256 Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой из следующих операционных систем: Windows NT и выше.
Для компиляции исходного кода в исполняемый файлнеобходим компилятор MSVisualStudio версии 2005 и выше, совместимость с другими компиляторами не гарантируется.
Программа derivation предназначена для исследования метода численного дифференцирования двумя способами.
Данная программа написана на языке С++, реализована в компиляторе MicrosoftVisualStudio 2005.
Для выполнения программы достаточно вычислительной установки типа PC с процессором Pentium III (или быстрее) и 256 Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой из следующих операционных систем: Windows NT и выше.
Программа derivation предназначена для исследования метода численного дифференцирования двумя способами.
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
Программа состоит из нескольких функций, рассмотрим их подробнее.
Описание функции first_function
Данная функция вычисляет значение y=cos2mxи возвращает.
Описание функции first_derivation_real
Данная функция вычисляет аналитическое значение производной первой функции.
Описание функции Rus
Данная функция предназначена для русификации программы
Описание функции second_function
Данная функция вычисляет значение y=
Описание функции second_derivation_real
Данная функция вычисляет аналитическое значение производной второй функции.
Описание функции first_derivation
Данная функция производит дифференцирование первым способом
Описание функции second_derivation
Данная функция производит дифференцирование вторым способом
pFunc func – указатель на функци., которую надо продифферинцировать
Описание функции WriteToFile
Данная функция записывает полученные значения в файл и вывод в консоли
Описание функции compute_derivation
Данная функция вычисляет производную
Описание функции _finite
Данная функция проверяет на конечность число.
Описание функции main
Данная функция служит для ввода исходных данных, объединения всех предыдущих функций, вычисления абсолютных и относительных погрешностей.
Для выполнения программы достаточно вычислительной установки типа PC с процессором Pentium III (или быстрее) и 256 Мбайт оперативной памяти, оснащенной любой из следующих операционных систем: Windows NT и выше.
Для запуска программы derivationнеобходимо открыть директорию, в которой находится программа, и использовать (двойной или одиночный клик, в зависимости от настроек ОС) для запуска файл derivation.exe. После чего должна запуститься данная программа.
#include«main.h»
using namespace std;
char bufRus[256];
ofstream *_out;
// Переводвюникод
char* Rus (const char* text)
{
CharToOem (text, bufRus);
return bufRus;
}
// параметр m для первой функции
int param4func = 1;
double first_function (double x)
{
//cos^2 (m*x)
return cos (param4func*x)*cos (param4func*x);
}
// аналитическое значение производной первой функции
double first_derivation_real (double x)
{ // -2 * sin (m*x)
return -2 * sin (param4func*x);
}
// втораяфункция
double second_function (double x)
{
// 1/x^2
return 1/(x*x);
}
// аналитическое значение производной второй функции
double second_derivation_real (double x)
{ // -2 * 1/x^3
return -2 * 1/(x*x*x);
}
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе. Там эксперты помогают с учебой без посредников Разместите задание – сайт бесплатно отправит его исполнителя, и они предложат цены.
Цены ниже, чем в агентствах и у конкурентов
Вы работаете с экспертами напрямую. Поэтому стоимость работ приятно вас удивит
Бесплатные доработки и консультации
Исполнитель внесет нужные правки в работу по вашему требованию без доплат. Корректировки в максимально короткие сроки
Гарантируем возврат
Если работа вас не устроит – мы вернем 100% суммы заказа
Техподдержка 7 дней в неделю
Наши менеджеры всегда на связи и оперативно решат любую проблему
Строгий отбор экспертов
К работе допускаются только проверенные специалисты с высшим образованием. Проверяем диплом на оценки «хорошо» и «отлично»
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн
профилактика развития сахарного диабета 2 типа (оценка основных...
Курсовая, медицина, сахарный диабет профилактика
Срок сдачи к 5 дек.
Тема: виды и функции проектирования сервисных услуг
Реферат, Проектирование процессами предоставления услуг
Срок сдачи к 7 нояб.
Коучинг для взаимодействия с семьями...
Другое, Дошкольное образование и воспитание
Срок сдачи к 6 нояб.
1. Предположите форму психопатологии по индивидуальному
Контрольная, Психология
Срок сдачи к 6 нояб.
Отчет или дневник по практике
Отчет по практике, Менеджер по продажам, менеджмент, торговое дело
Срок сдачи к 7 нояб.
Методические особенности преподавания скульптуры на уроках ИЗО посредством анималистического жанра
Диплом, Скульптура, педагогика, искусство
Срок сдачи к 30 нояб.
Тема : "легкий способ перестать откладывать дела на потом"- Нейл Фьоре
Доклад, Персональный Менеджмент государственного и муниципального служащего
Срок сдачи к 2 дек.
Тема: проектирование иформационных систем «Ресторан»
Курсовая, Разработка информационных систем
Срок сдачи к 10 дек.
Отчет по практике «Предоставление турагентских услуг»Описание...
Отчет по практике, туризм
Срок сдачи к 15 нояб.
Заполните форму и узнайте цену на индивидуальную работу!