Логические основы схемотехники

2. ЛИТЕРАТУРА

2.1 Основная литература

1. Опадчий Ю.Ф. и др. Аналоговая и цифровая электроника. – М.: Радио и связь, 2002. – 768 с.

2. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники: Учеб. пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 488 с.

3. Ермаков А. Е. Схемотехника ЭВМ. Учебное пособие. -М.: РГОТУПС, 1997. – 352 с.

4. Семененко В.А., Скуратович Э.К. Арифметико-логические основы компьютерной схемотехники. Учебное пособие для высшей школы (Серия "Gaudeamus"). – М.: Академ. проект, 2004. – 144 с.

5. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. BHV-Санкт-Петербург, 2004. – 528 с.

6. Новиков Ю.В. Основы цифровой схемотехники: Базовые элементы и схемы. Методы проектирования. М., Мир. – 2001. – 379 с.

7. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO-CAP. – М.: Издательство «СОЛОН», 1997. – 373 с.

2.2 Дополнительная литература

1. Прянишников В.А. Электроника: Курс лекций. – СПб.: КОРОНА принт, 1998. – 400 с.

2. Гусев В.Г., Гусев М.Ю. Электроника. – М.: Высш.шк. 1991. – 495 с.

3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство – М.: Мир. 1982. – 512 с.

4. Гершунский Б.С. Основы электроники и микроэлектроники: Учебник для вузов – Киев: Высща школа, 1989. – 424 с.

5. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. В трех томах. - М. Мир, 1993.

Тема. Логические основы схемотехники

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение “6 — четное число” следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение “Рим — столица Франции” тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения “ученик десятого класса” и “информатика — интересный предмет”. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “интересный предмет”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа “в городе A более миллиона жителей”, “у него голубые глаза” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание “площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км” в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний “Петров — врач”, “Петров — шахматист” при помощи связки “и” можно получить составное высказывание “Петров — врач и шахматист”, понимаемое как “Петров — врач, хорошо играющий в шахматы”.

При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Петров — врач или шахматист”, понимаемое в алгебре логики как “Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно”.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “истина” или “ложь”, обозначаемые, соответственно, “1” и “0”

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

(1) Операция, выражаемая словом “не”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. “Луна — спутник Земли” (А); “Луна — не спутник Земли” ().

(2) Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться знаком &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание

“10 делится на 2 и 5 больше 3”

истинно, а высказывания

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 не больше 3”

ложны.

(3) Операция, выражаемая связкой “или” (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание

“10 не делится на 2 или 5 не больше 3”

ложно, а высказывания

“10 делится на 2 или 5 больше 3”,
“10 делится на 2 или 5 не больше 3”,
“10 не делится на 2 или 5 больше 3”

истинны.

(4) Операция, выражаемая связками “если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ^. Высказывание А ^ В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А ^ В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А ^В истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “если ..., то” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

“если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы”,
“если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин”.

(5) Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ~ . Высказывание А ~ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”,
“23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3”

истинны, а высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”,
“21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3”

ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А ~ В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” (), “пингвины не живут в Антарктиде” (). Образованные из высказываний А, В составные высказывания A~B и ~ истинны, а высказывания A~ и ~B — ложны.

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А -> В = v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А <-> В = (v В) • (v А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация.

Логические формулы

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

1. Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы.

2. Если А и В — формулы, то , (А • В), (А v В), (А ^ B), (А ~ В) — формулы.

3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

В качестве примера рассмотрим высказывание “если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог”. Это высказывание формализуется в виде (A v B) ^ C; такая же формула соответствует высказыванию “если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика”.

Как показывает анализ формулы (A v B) ^ C , при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение “истина”, а при некоторых других сочетаниях — значение “ложь” (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула Аv, соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А•, которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В “одновременно”, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “=”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.