Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

Лекция №1. СистемаMathcad

Назначение и состав системы. Входной языки язык реализации системы. Основные объекты входного языка системы Mathcad

В последнее времяширокое распространение получили пакеты математических программ (илиматематические системы), которые можно использовать для различных вычислений ивычерчивания графиков (Mathematica, Derive, Statistica, MathCAD, MathLAB и др.). В этих системах процессвычислений сильно автоматизирован, что позволяет экономить время и большевнимания уделять физическому смыслу получаемого результата. Выбор системызависит от характера решаемых задач, от вкуса, от практики.

Система MathCAD -разработка фирмы MathSoft. Примерно каждый год появляетсяновая версия этой системы. В настоящий момент известна версия Mathcad 12.

Назначение системы: MathCAD - это интегрированная системапрограммирования, ориентированная на проведение математических иинженерно-технических расчетов. MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель, символьныйпроцессор и графический процессор.

Вид окна системы MathCAD аналогичен окнам приложений ОСсемейства Windows (Word, Exelи др.).

1. Интерфейспользователя в системе MathCAD. Интерфейс пользователя состоит из:

1.    строки заголовка

2.    строки главного меню

3.    из строки состояния

которая включается командойView/Status Bar, и на которой отображаетсяследующая информация (слева направо): контекстно-зависимая подсказка оготовящемся действии, режим вычислений (AUTO (автоматический) или Calc 9 (ручной)), режим Gaps Lock (CAP),режим Num Lock (NUM,), номер страницы, на которой находится курсор (Page 1);

4.    из панелей Standard, Formatting, Math, Controls, Recources:

На каждой из панелейимеется характерная вешка перемещения в виде выпуклой вертикальной черты вначале каждой панели. С помощью нее можно переносить панели в любое место окнаредактирования или "прилепить" ее к любой стороне окна.

Настройка составапанелей инструментов.Установить курсор над нужной панелью и правой кнопкой вызвать контекстное меню,из которого выбрать пункт Customize (Настроить), появится диалоговое окно. В левой панели этого окнарасположены еще не добавленные пиктограммы, в правой – добавленные. По команде Add пиктограмма переходит в правоеокно, а по команде Removeпиктограмма возвращается в левую панель.

Пиктограммы панели  дублируют основные команды главного меню. На панели  собраныкоманды, предназначенные для форматирования текста, такие как изменение стиля ишрифта текста, выравнивание, создание списков.

Панель служит для вставки вдокумент стандартных элементов управления интерфейса пользователя (флажков,переключателей, полей ввода и т.п.).

Панель служит для вызоваресурсов MathCAD (примеров, учебников, но только наанглийском языке).

Наибольший интерес длянас в системе MathCAD представляет математическая панель. Онасодержит перемещаемые палитры математических знаков, которые служат для вводапрактически всех известных математических символов и шаблонов операторов ифункций

1.  – служит для ввода арифметическихопераций и часто используемых простых функций. Эта палитра фактически дублируетобычный калькулятор.

2  – содержит команды для построениясеми типов графиков.

3.  - для создания векторов и матрици некоторые операции для работы с ними.

4.  - для вставки операторовуправления вычислениями и для ыставки пользовательских операторов..

5.  - эта палитра содержит операциивысшей математики (производные, интегралы, пределы и др.),а также знак бесконечности.

6.  - для вставки операций сравненияи логических операций Not, And, Or

7.  - инструменты программированиясистемы MathCAD.

8.  - палитра для набора греческихсимволов.

9.  - содержит ключевые слова,управляющие символьными вычислениями.

10  эта панель вместе спанелью  содержитключевые слова, используемые при символьных вычислениях. Здесь расположеныкоманды, задающие тип символьной переменной.

2. Документ всистеме MathCAD.Состоит из блоков, т.е. отдельных частей. В документе блоки имеют точкупривязки, расположенную слева

Блоки м.б. трех типов -текстовые, вычислительные, графические. Текстовые блоки играют рольнеисполняемых комментариев. Они служат лишь для повышения наглядностидокумента. Вычислительные блоки состоят из исполняемых математическихвыражений, например, формул, уравнений, равенств неравенств и т.д. Графическиеблоки также являются исполняемыми.

Блоки можно перемещатьпо документу и располагать в удобной для пользователя форме, но дляправильного функционирования системы имеет большое значение правильныйпорядок расположения блоков. Например, если в некотором блоке содержатсяоперации, требующие данных из другого блока, то этот другой блок обязательнодолжен выполняться первым и располагаться перед использующим его блоком. Инаяситуация приведет к появлению ошибки. Сигнал ошибки имеет вид надписи, откоторой отходит черта, указывающая место ошибки:

.

При манипуляциях сблоками на экране могут оставаться нежелательные искажения. Для их устраненияследует использовать команду Refresch (обновить) меню View.

В документе MathCad эффективно решена проблема сквознойпередачи данных от одного блока к другому, например, от одногоматематического выражения к другому, от него к таблицам, от таблиц к графикам ит.д. Поэтому изменение в любой формуле или в задании входных данных тут жеведет к пересчету задачи по всей цепи взаимодействия блоков (это не относится,однако к символьным операциям, реализуемым с помощью команд меню).

Размеры блоковустанавливаются автоматически в зависимости от числа входящих в них знаков, либо от заданныхразмеров графиков. Обычно границы блоков не видны, но можно установить подсвеченныйрежим показа блоков (команда View Regions) Блоки не должны налагаться другна друга .Если такое произошло, то надо воспользоваться командой разделенияперекрывающихся областей в документе (Formatt/Separate Regions), предварительно выделив этиперекрывающиеся области.

Сразу после запускасистема готова к созданию документа с необходимыми пользователю вычислениями.Соответствующее новому документу окно редактирования получает название Untitled: N , где N – порядковый номер документа.  При сохранении на диск документсистемы MathCad записывается в файл с расширением.mcd.

Окно редактированиясодержит (даже когда очищено) два важных объекта – курсор ввода в виде красного крестика и вертикальную линию, отделяющуютекущую страницу от соседней (справа) . Если документ большой, то внекотором месте будет наблюдаться и прерывистая горизонтальная линия разделастраниц .Эти линии раздела показывают, каким образом будет осуществляться разбиение настраницы при распечатке документа на принтере. Изменить параметры страницыможно с помощью команды File/Page Setup. Вокне редактирования документа можно включить линейку с помощью команды View/Ruler . Масштаб документа можноизменить по команде View/Zoom.

3. Основныеобъекты входного языка системы MathCAD.

Фактически документы MathCad представляют собой программу, написанную на визуально-ориентированномязыке программирования. Визуально- ориентированные языки программированиязадают программу не в виде малопонятных кодов, а в виде визуально понятныхобъектов. Язык программирования MathCad ориентирован на математические вычисления и потомупрактически не отличается от обычного языка математических статей, отчетов икниг.

Входной язык MathCad относится к интерпретируемомутипу. Это значит, что, когда система опознает какой-либо объект, она немедленноисполняет указанные в блоке операции.

Визуально-ориентированныйязык общения системы MathCad надо отличать от языка реализации системы, т.е. обычного языкапрограммирования высокого уровня, на котором написана система. Языкомреализации системы MathCadявляется один из самых мощных языков высокого уровня – С++.

По существу входнойязык системы – промежуточное звено между скрытым от пользователя языкомдокумента и языком реализации системы. По мере того как пользователь создает(средствами текстового, формульного, символьного и графического редакторов) вокне редактирования объекты (тексты, формулы, таблицы и графики), система самасоставляет программу на некотором промежуточном языке связи. Эта программахранится в оперативной памяти до тех пор, пока не будет записана на диск в видефайла с расширением .mcd.Однако от пользователя не требуется знание языков программирования (реализациии связи), достаточно освоить приближенный к естественному математическому языкувходной язык системы.

К основным объектамвходного языка системы MathCAD можно отнести: алфавит,константы, переменные, операторы, функции.

Алфавит – строчные и прописные латинские буквы, цифры от 0 до9, греческие буквы. Следует отметить, что MathCAD различает строчные и прописныебуквы (X и x – разные переменные) и различает шрифт (X и X – тоже разные переменные). Также в алфавит входятсимвол бесконечности ¥,штрих ¢(набирается с помощью клавиш ctrl/F7), символ подчеркивания _, символ процента, нижнийиндекс (набирается с помощью клавиши «.», индекс в определении имени переменныхи функций, например К₂ , не надо путать с числовым индексомвекторной переменной). Имя переменной или функции в системе MathCAD может быть любой длины, но:

-    имена не должныначинаться с цифры, символа подчеркивания, штриха или процента;

-    символбесконечности может быть только первым в имени;

-    все буквы вимени должны иметь один стиль и шрифт;

-    имена не могутсовпадать с именами встроенных функций, констант и размерностей, например, sin или TOL. Тем не менее, допускается их переопределение, нотогда одноименная встроенная функция не будет использоваться по первоначальномуназначению;

-    MathCAD не различает имен переменных ифункций: если сначала определить функцию f(x),а потом переменную f, то воставшейся части документа будет утерян доступ к функции f(x);

-    в некоторыхслучаях желательно использовать имена переменных и функций, содержащие символыоператоров MathCAD или другие символы, которые нельзявставлять в имена непосредственно, для этого надо набрать комбинацию клавиш Ctrl/Shift/J,которая позволит вставить пару квадратных скобок с местозаполнителем внутри . Имя, составленное из любыхсимволов и заключенное в эти квадратные скобки, MathCAD будет воспринимать корректно .

Константы – это числа и предварительно определенные системные константы:

.

Эти значениясистемных констант устанавливаются после загрузки системы.

- погрешность дляусловий ограничения при решении оптимизационных задач с применением функций Find, Minerr, Maximize, Minimize;

- ширина столбца,используемая при записи файлов функцией WRITEPRN;

- число значащих цифрпри записи файлов функцией WRITEPRN.

Формат вывода системныхконстант можноизменить. Для этого достаточно дважды щелкнуть по числу в блоке выводарезультата, при этом появится диалоговое окно, в котором надо будет установитьчисло знаков после запятой. Таким же образом можно изменить формат вывода любыхдругих результатов вычислений. По умолчанию формат вывода имеет тризнака после запятой.

Значения некоторыхсистемных констант можно изменить с помощью команды / в диалоговом окне, либо этизначения можно переопределить через оператор присваивания .

Переменные – это объект, числовое значение которого можетменяться по ходу выполнения документа. Для присваивания переменной числаили результата выражения используется знак локального присваивания , который можнонабрать с клавиатуры (клавиша «двоеточие» на латинском шрифте), с палитры  и с палитры . Знак присваивания в системе MathCAD означает, что действие происходитсправа налево (а не слева направо). Если при оформлении документа необходимо,чтобы присваивание выглядело на экране как знак равенства без двоеточия, топравой кнопкой надо вызвать контекстное меню и в диалоговом окне вместо пункта“Default” выбрать пункт “Equal”.

Знак обычногоравенства  (который применяется в системе MathCAD в основном для вывода результата) можноиспользовать только для первого присваивания.

При локальномприсваивании надо обязательно соблюдать правильное расположение блоков.Но иногда в документах возникает необходимость использовать значение некоторойпеременной выше на листе, чем расположен оператор присваивания . В таких случаях вместолокального присваивания используется знак глобального присваивания , который можнонабрать либо с клавиатуры (клавиша «волнистая черта»), либо с палитры . Если в документе используетсяглобальное присваивание, то MathCAD проводит вычисления в следующей последовательности: вычисляютсясверху вниз все блоки с оператором глобального присваивания, а затем снова ссамого начала документа вычисляются сверху вниз все оставшиеся блоки. Этоозначает, что в блоках с оператором глобального присваивания нельзя использоватьрезультат вычислений из обычного блока.

В отличие от языковпрограммирования система MathCAD не требует точного задания типов переменных: целочисленные,вещественные, комплексные, текстовые, логические. Тип переменной автоматическиопределяется присвоенным ей значением: . В нижней строке показанрезультат вывода соответствующей переменной. Целые переменные поясненийне требуют.

Вещественная переменная может быть набрана икак десятичное число с любым количеством десятичных цифр после точки , и вэкспоненциальной форме, для чего после ввода числа надо напечатать символ умноженияи ввести 10 в нужной степени .

При вводе комплексныхпеременных мнимая единица набирается с палитры , либо с клавиатуры как. Если простонабрать как ,то она будет восприниматься как простая переменная. Форму представления мнимойединицы можно изменить . Для этого дважды щелкнуть в окневывода с мнимой единицей и в диалоговом окне сделать соответствующий выбор

Текстовая переменная заключается в кавычки.Значением логической переменной может быть 0 (что соответствует «лжи»)или 1 (что соответствует «истине»).

В MathCAD есть и специальный тип переменных,именуемых ранжированными или циклическими переменными, которыезадаются следующим образом:

Ранжированнаяпеременная, так же как и массив, хранит целый набор значений, но, в отличие от массивов,невозможно получить доступ к отдельному элементу этой переменной. С помощьюранжированных переменных можно задать значения всех элементов матрицы иливывести график по точкам

.

Верхняя граница ранжированной переменнойнеобязательно должна быть элементом последовательности, это число просто ограничиваетпоследовательность сверху (или снизу для убывающей последовательности).

Массивы. Большим преимуществом системы MathCAD является возможность оперироватьне только скалярными величинами, но и с массивами. MathCAD поддерживает два вида массивов – одномерные(векторы) и двумерные (матрицы). Элементы массивов характеризуются числовымииндексами, которые вставляется с помощью клавиши “[”, либо командой  с панели . Обычнонумерация идет с нуля. Нумерация задается значением системной переменной ORIGIN, которая по умолчанию равна нулю. V₀- первый элемент вектора, M _{0, 0}- первый элемент матрицы. Можнообратиться не только к элементу массива, но и к его колонке, например, M^<0>- первая колонка матрицы. Элементамимассива могут быть числа, константы, переменные, математические выражения идаже другие массивы. Соответственно массивы могут быть численными исимвольными. Основные операции для работы с векторами и матрицами собранына панели .

Существует несколькоспособов создания массивов. Самый простой и наглядный способ созданияматрицы с помощью команды Insert/Matrix . При вызове этой командыпоявляется диалоговое окно, в котором надо задать число строк и число колонокматрицы (вектор - это матрица с одной колонкой). Появится шаблон матрицы, вчерные квадратики которого надо ввести значения элементов матрицы.

Добавление в уже созданную матрицу строк илистолбцов производится точно так же. Для этого надо выделить элемент матрицы, правееи ниже которого будет осуществлена вставка столбцов и (или) строк

Для того, чтобы удалитьстроки и столбцы из матрицы, надо установить курсор на элемент матрицы, которыйнаходится в самом левом столбце из тех, которые нужно удалить и всамой верхней строке из тех, которые нужно удалить

Также матрицу можносоздать через определение его элементов

Развернуть вложенныемассивы можно, установив, флажок  (Разворачивать вложенные массивы)в окне

Есть и другие способысоздания матриц – создание матрицы с помощью таблицы ввода, создание матрицыпутем импорта данных.

Функции. В системе MatCAD различают встроенные функции (функции, заранее введенныеразработчиком системы) и пользовательские функции (созданныепользователем).

Встроенные функции. Вставляются с помощью команды Insert/Function  или набором с

клавиатуры. При этомследует помнить, что имена встроенных функций чувствительны к регистру,их следует вводить в точности, как они приведены в системе. Параметрывстроенных функций заключаются в скобки. В качестве параметра м.б. константа,переменная или математическое выражение, при этом константа, переменная,выражение должны быть определены ранее

Функции пользователя. В MathCAD, как и в языках программирования,есть возможность задания функций пользователя. Имена функцийпользователя подчиняются тем же правилам, что и имена переменных. Длязадания функции пользователя нужно ввести имя, а затем в круглыхскобках через запятую ввести все аргументы. Для аргументов можноиспользовать любые имена, подчиняющиеся тем же правилам, что и именапеременных. Далее, как обычно, надо ввести оператор присваивания и после него –выражение, зависящее от введенных аргументов. Все переменные, присутствующиесправа в выражении определения функции, либо должны входить в список аргументовфункции, либо должны быть определены ранее. В противном случае будет выведеносообщение об ошибке, причем имя неопределенной переменной будет выделенокрасным цветом

Операторы. Каждый оператор в MathCAD обозначает некотороематематическое действие в виде символа. Каждый оператор действует наодно или два числа (переменную или функцию), которые называются операндами.Если в момент вставки оператора одного или обоих операндов не хватает, тонедостающие операнды будут отображены в виде местозаполнителей. Математическиепалитры содержат сгруппированные по смыслу математические операторы:

1.        Операторы,обозначающие арифметические действия, называются арифметическими и вводятся спалитры .

2.        Операторы,которые вставляются с палитры  (Вычисления), называютсявычислительными операторами (дифференцирование, интегрирование, суммирование,вычисление произведения, пределы).

3.        Логическиеоператоры – вводятся с палитры .

4.        Матричныеоператоры – предназначены для совершения различных действий над векторами иматрицами, вводятся с палитры .

5.        Операторывыражения – сгруппированы на панели (Evaluation – Выражения) (оператор численноговывода ,оператор локального присваивания , оператор глобальногоприсваивания , оператор символьного вывода).

6.        Операторыпользователя. Запросы взыскательного пользователя могут не исчерпыватьсянабором встроенных операторов MathCAD. Для вставки в документы заранее созданных операторов пользователяприменяется панель. Оператор пользователя можетиметь абсолютно любое имя. Присваивать оператору некоторое действие следуетточно так же, как функции пользователя. Создание бинарного оператора выглядитслед. образом:

.

Унарный операторпользователя создается аналогично

Вывод результатов вычислений и значений переменныхосуществляется с помощью

знака обычногоравенства .В различных задачах выводить результаты вычислений требуется в различном виде:как десятичную или простую дробь, десятичную дробь в обычной или экспоненциальнойформе. Формат вывода задается командой Forma/Result. После вызова этой команды (двойнойщелчок на нужном блоке) появляется диалоговое окно Result Format:

В списке Format слева можно выбрать один из пятиразличных форматов отображения числа, а с помощью полей и флажков справа можнонастроить выбранный формат.

General – это используемый по умолчаниюформат результатов вычислений. Число представляется в виде десятичной дроби. Количествознаков после запятой задается в поле . Если установлен флажок , то дробьбудет при необходимости дополнена нулями до количества знаков, указанных выше . Поле  задаетграницу перехода ET (Exponential threshold) к экспоненциальной форме (такуюформу числа приобретают, если их значение больше 10^ET и меньше 10^-ET). При установленном флажке  вэкспоненциальной форме записи используются только порядки, кратные трем . Это являетсястандартной инженерной формой записи, поскольку для физических величин всистеме CИ со степенями, кратными трем,связаны различные стандартные приставки: кило-, мега-, милли- и др.

Decimal – формат вывода результата в видедесятичной дроби без экспоненты.

Scientific – в этом формате результат всегдавыводится в экспоненциальной форме.

Engineering – также используется толькоэкспоненциальная форма записи дробей, но при этом используются только порядки,кратные трем.

Fraction – в этом формате результатвыводится в виде простой дроби

В диалоговом окне Result Format также можно изменять представлениемашинного нуля для комплексных чисел CT (Complex threshold) (если Re(Z)/Im(Z)> 10^CT, то Z выводится

как реальное, еслинаоборот, то как мнимое) и значение машинного нуля ZT (Zero threshold)

.

Формат вывода может бытьглобальным и локальным. Чтобы установить локальный формат, можно сделатьдвойной щелчок по блоку, при этом появится диалоговое окно Result Format. Данный блок будет иметь локальныйформат, а все остальные - глобальный.

Управление процессом вычислений. После запуска MathCAD находится в режиме автоматическихвычислений. Это означает, что при внесении каких-либо изменений в документ,все видимые в данный момент формульные блоки и графики пересчитываются истроятся заново. В некоторых случаях такой режим работы может быть нежелательным,например, если в документе есть сложные вычисления, требуется обработка большихобъемов данных или выполняются операции, занимающие много времени. В такихслучаях работать с документом оказывается очень неудобно, и возникаетнеобходимость запретить автоматическое вычисление либо всего документа,либо для блоков, содержащих наиболее сложные вычисления.

Для того чтобыотключить/включить режим автоматического вычисления для всего документа, надовыбрать команду меню //. При отключенном режимеавтоматического вычисления, для того чтобы пересчитать все блоки в документеможно выбрать команду меню //. Для того чтобы пересчитать невесь документ, а лишь тот блок, в котором находится курсор, следует выбратькоманду меню // (если курсор находится всвободном месте рабочей области документа, то пересчитаны будут все блоки,которые в данный момент видны на экране).

Для того чтобы временноотключить вычисление одного блока, можно воспользоваться командой контекстногоменю . После выбора этой команды MathCAD при просчете документа вообще небудет «обращать внимания» на данный блок и производить вычисления так, какбудто его удалили. Для того чтобы возобновить вычисление «отключенного» блока,нужно выбрать команду контекстного меню .

Прервать вычисление можно клавишей <Esc>. При этом оставшаяся частьформул будет подсвечена красным цветом.

Единицы измерения физических величин. При проведении физико-техническихрасчетов почти всегда имеют дело не просто с абстрактными числами, а снекоторыми физическими величинами. Для того чтобы число в выражениирассматривалось как некоторая физическая величина, нужно ввести единицыизмерения следующим образом: после введенного числа ввести знак умножения,выбрать команду /, в диалоговом окне  в списках  и  выбратьнужную единицу измерения . Над размерными переменными можнопроизводить любые корректные с физической точки зрения расчеты . Нельзяскладывать переменные разной размерности, будет получено сообщение об ошибке . Но позволяетсяскладывать, например, амперы с кило амперами .

Для любого результатавычислений есть возможность изменить его единицы измерения. Еслищелкнуть на формульном блоке, содержащем результаты вычислений, то справа от единицизмерения результата появится черный квадратик – поле ввода единиц измерения, ккоторым необходимо привести результат. Если введенные здесь единицы измеренияне будут соответствовать единицам результата, то MathCAD автоматически допишет нужный коэффициент. В MathCAD по умолчанию все результатывычислений представлены в системе СИ. Однако систему измерений можно изменить спомощью команды / и диалогового окна .

4. Текстовыйредакторслужит для ввода и редактирования текстов. Именно тексты делают документы MathCad документами в общепринятом смыслеэтого слова.

В простейшем случае дляввода текста достаточно ввести символ " на английском регистре. Нередкопользователь начинает набор текстов, забыв установить кавычки. MathCad воспринимает такой набор как вводматематического выражения. Однако, нажав клавишу Пробел, можно тут же превратитьнабранный фрагмент в текстовый. Признаком текстового блока являются черныеквадратики на правой и нижней границах блока, а курсор в текстовом блоке приобретает вид краснойвертикальной черты .

Текст может состоять изслов, математических выражений и формул, спец. знаков. Русский текст вводится спомощью любого кириллического шрифта Courier, Times New Roman Cyr, Arial Cyr). Также для работы с текстомпредусмотрены команды меню Format/Text иFormat/Paragraph. Можно создать текстовую область(текст начинается на позиции курсора), создать текстовый параграф (текстначинается первой строкой на позиции курсора), форматировать текст (панельформатирования), внедрять в текст математические формулы (команда Insert/Math Region , при этом надо находится втекстовом блоке), проверять орфографию (Check Spelling) для англоязычных текстов,изменять размер шрифта, начертание, цвет текста и т.д. Т.е. для текстовыхблоков используются типовые средства редактирования (как в любых текстовыхредакторах).

5. Графическийпроцессор служит для создания графиков. Это очень удобно для выводарезультатов математических расчетов в графической форме. Графики могутразмещаться в любом логически дозволенном месте документа, т.е. после техвычислительных блоков системы, которые готовят исходные данные для построенияграфиков.

После включенияграфического процессора для двухмерного графика на экране появляется шаблонбудущего графика в виде прямоугольной рамки с маленькими прямоугольниками, расположеннымивдоль осей x и y .

Крайние задают пределыизменения переменных (пределы проставляются системой автоматически, но можно ихизменять - для этого в диалоговом окне Formatting флажок "autoscale" надо отключить), а в средние надоввести имена аргумента и функции. После нажатия Enter график будет построен. Для форматирования графикадостаточно сделать двойной щелчок по полю графика, при этом появится диалоговоеокно Formatting.

Если строятся графикинескольких функций в одном шаблоне, то имена функций следует разделятьзапятыми.

6. Вычислитель(формульныйредактор) обладает поистине уникальными возможностями. Он обеспечиваетвычисления по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенныхматематических формул, позволяет вычислять ряды, суммы и произведения,интегралы и производные, работать с комплексными числами, производитьсимвольные преобразования, решать линейные и нелинейные уравнения, проводитьминимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции. В вычислительвходят и такие мощные средства, как линейная и сплайн-интерполяция, прямое иобратное быстрое преобразование Фурье.

Для запуска формульногоредактора достаточно установить указатель мыши в любом свободном месте окнадокумента, щелкнуть левой кнопкой и начинать ввод. Поместить формулу в документможно, просто начиная вводить символы, числа  или операторы . Во всех этих случаяхна месте курсора ввода создается математическая область (регион) с формулой,содержащей и линии ввода. В области формульного блока курсор ввода превращаетсяв синий уголок, указывающий направление и место ввода. Клавиша Insert меняет направление охвата курсором  объекта. Длярасширения охваченной уголком области (вплоть до полного охвата выражения)нужно пользоваться клавишей Пробел .

Перемещать линииввода внутриформульного блока можно также с помощью клавиш со стрелками или щелкаяв нужном месте мышью.

Большинство операцийредактирования формул реализованы естественным образом, однако некоторые из нихнесколько отличаются от общепринятых, что связано с особенностью MathCAD как вычислительной системы, например,вставка операторов. Операторы могут быть унарными (действующими на одиноперанд)и бинарными(действующими на два операнда) . При вставке нового оператора вдокумент MathCAD определяет, сколько операндов ему требуется. Если в точке вставкиоператора один или оба операнда отсутствуют, MathCAD автоматически помещает рядом соператором один или два местозаполнителя. То выражение в формуле,которое выделено линиями ввода в момент вставки оператора, становитсяего первым операндом

.

Как видно, MathCAD сам расставляет, если необходимо,скобки, чтобы часть формулы, отмеченная линиями ввода, стала первым операндом. Местозаполнители(черный квадратик – для символа и прямоугольная рамка – для оператора)появляются внутри незавершенных формул . Символ в черный квадратиквводится обычным образом, а чтобы в прямоугольную рамку ввести оператор,например +, необходимо курсор расположить перед этой прямоугольной рамкой  .

Вопросы

1.     Назначениесистемы MathCAD. Какие еще пакеты математическихпрограмм вы знаете?

2.     Интерфейспользователя в системе MathCAD.

3.     Документ всистеме MathCAD(заголовок, расширение присохранении на диск, типы и расположение блоков, точка привязки блока, размерыблоков, сквозная передача данных в документе).

4.     Объясните, чтотакое входной язык системы MathCAD и язык реализации системы MathCAD?

5.     Перечислитеосновные объекты входного языка системы MathCAD. Расскажите об алфавите языка и овстроенных и пользовательских функциях системы MathCAD. Что такое определение функции иобращение к функции?

6.     Константы ипеременные в системе MathCAD? Как задаются типы данных в MathCAD? Что такое глобальное и локальное присваивание переменныхв документе MathCAD? Как вставляется мнимая единицадля комплексных чисел? Что такое ранжированная переменная и как она задается?

7.     Как задаютсямассивы в MathCADе? Как можно добавлять строки истолбцы в готовые матрицы? Как удаляются строки и столбцы из матриц?

8.     Перечислитеоператоры входного языка системы MathCAD?

9.     Какосуществляется вывод результатов в системе MathCAD? Как можно настроить формат выводарезультатов? Как осуществляется управление процессом вычислений в системе MathCAD?

10.    Как работать с единицами измеренийфизических величин в системе MathCAD?

11.    Подробно охарактеризуйте текстовые,графические и математические блоки.

Лекция №2. Задачи линейной алгебры ирешение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

В задачах линейной алгебры практическивсегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Панельоператоров с матрицами находится на панели Math.

Операторы ,  вам уже знакомы. Напомним только,что оператор  вычисляет только детерминантматрицы, а модуль вектора, который равен квадратному корню из суммы квадратовего элементов, вычисляется с помощью оператора , который расположен на панели Calculator. К сожалению, по внешнему виду они не отличаются.

При попытке вычислить модуль вектора спанели Matrix будет ошибочное состояние. Точно также будетошибочное состояние при попытке вычислить детерминант матрицы с панели Calculator.

Рассмотрим неизвестные вам до сих пороператоры панели Matrix.

Скалярное произведение векторов определяется как скаляр,равный сумме попарных произведений соответствующих элементов (идентиченобычному оператору умножения). Векторы должны иметь одинаковый размер. Дляобозначения скалярного произведения используется символ «точка». Векторное произведениедвух векторов u и v с углом qмежду ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярноплоскости векторов u и v. Векторное произведение векторов применимо толькодля трехкомпонентных векторов. Обозначают векторное произведение символом х,который можно ввести нажатием кнопки на панели Matrix/

  - сумма элементоввектора.

- оператор векторизации. Онпозволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива(т.е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программирование циклов.Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующийэлемент другого вектора. Непосредственно такой операции в MathCAD нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации. Операторвекторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинаковогоразмера.

Для решения задач линейной алгебры в MathCAD встроены матричные функции. Их можно разделить на три основные группы:

-    функции определения (генерации)матриц и операции с блоками матриц;

-    функции вычисления различных числовыххарактеристик матриц;

-    функции, реализующие численныеалгоритмы решения задач линейной алгебры.

Из каждой группы приведем по несколько,наиболее часто используемых функций.

Первая группа:

1.   matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m x n, элементкоторой, расположенный в i-ой строке и j-ом столбцеравен значению f(i, j) функции f(x, y);

2.   diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главнойдиагонали которой хранятся в векторе v;

3.   identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

4.   augment(A, B) –объединяет матрицы Aи B; матрица B располагается справа отматрицы A, при этом матрицы должны иметь одинаковое числострок;

5.   stack(A, B) – объединяет матрицы A и B,матрица В располагается внизу под матрицей А, при этом матрицы должны иметьодинаковое число столбцов;

6.   submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блокомматрицы А, расположенным в строках с ir по jr и встолбцах с ic по jc, причем ir £ jr, ic £ jc.

Вторая группа:

1.   last(v) – вычисляет номер последнего элемента вектора V;

2.   length(v) – вычисляет количество элементов вектора V;

3.   min(v), max(v) – вычисляет минимальное и максимальное значениявектора V;

4.   Re(v) – создает вектор из реальных частей комплексныхэлементов вектора V;

5.   Im(v) - создает вектор из мнимых частей комплексныхэлементов вектора V;

6.   sort(V) – сортировка элементов вектора Vпо возрастанию;

7.   reverse (sort(v)) – сортировка элементов вектора Vпо убыванию;

8.   csort (A,n) – сортировка элементов n – гостолбца матрицы А по возрастанию (перестановкой строк);

9.   rsort (A,n) – сортировка элементов n – ойстроки матрица А по возрастанию (перестановкой столбцов);

10. rows(A) – вычисляет число строк в матрице А;

11. cols(A) – вычисляет число столбцов в матрице А;

12. max(A), min(A) – определяет максимальное и минимальное значенияматрицы А;

13. tr(A) – вычисляет след квадратной матрицы А (следматрицы равен сумме ее диагональных элементов по главной диагонали);

14. mean(A) – среднее значение элементов матрица А.

Действие функций второй группы ясно изих названия, поэтому примеры для них приводить не будем.

Третья группа:

1.   rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду сединичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строкамиматрицы: перестановка строк, умножение строки на число, сложение строк);

2.   rank(A) – вычисляет ранг матрицы А (количестволинейно-независимых строк или это число ненулевых строк ступенчатой матрицы rref(A));

3.   eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратнойматрицы А;

4.   eigenvecs (A) – вычисление собственных векторов квадратнойматрицы А, значением функции является матрица, столбцы которой есть собственныевекторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядкуследования собственных значений, вычисленных с помощью функции eigenvals(A);

5.   eigenvec(A,e) – вычисление собственного вектора матрицы А,отвечающего собственному значению e;

6.   normi(A) – max – норма, или ¥ - норма (infinity norm). влинейной алгебре используются различные матричные нормы, которые ставят всоответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику;

7.   lsolve (A,b) – решение системы линейных алгебраическихуравнений вида .

Функции третьей группы реализуют, какправило, довольно сложные вычислительные алгоритмы. Приведем примеры наиспользование функций rref и функций для вычисления собственных значений исобственных векторов матрицы. Задача поиска собственных значений исобственных векторов матрицы очень часто встречается в вычислительной практике.

В самом простом виде задача насобственные значения матрицы формулируется следующим образом: требуется найтитакие значения l, чтобы матричноеуравнение имелорешение. В таком случае число l называютсобственным числом матрицы А, а n- компонентный вектор Х,приводящий уравнение с заданным lв тождество – собственным вектором. В вышеприведенном примере собственныевектора матрицы А получены в матрице MS. Проверка проведена дляпервого столбца матрицы MS и соответствующего ему собственного числа l₀=5.439.

Решение систем линейныхалгебраических уравнений. Этотвопрос является центральным в вычислительной линейной алгебре.

В математике рассматриваются системылинейных уравнений двух видов - однородные и неоднородные.

Неоднородная система уравнений в матричном виде записываетсяследующим образом: . Здесь А – матрица коэффициентовсистемы, В – вектор свободных членов, Х – вектор неизвестных системы.

Неоднородная система имеет одноединственное решение, если определитель матрицы отличен от нуля.Для нахождения точного решения неоднородных систем линейных уравнений влинейной алгебре используются три основных метода:

-   метод обратной матрицы, он вам уже известен;

-   метод исключений Гаусса;

-         метод Крамера.

Неоднородная система линейных уравненийв случае равенства ее определителя нулю имеет множество решений,если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, либо неимеет решения, если это условие не выполняется. Решить такие системы в MatCADe можно методом Гаусса.

В выше приведенном примере получилисистему из трех уравнений с пятью неизвестными, поэтому решение системы будетиметь два свободных параметра (x4, x5).

Однородная система линейных алгебраических уравнений можетбыть представлена в виде , т.е. правая часть уравненияпредставляет вектор из нулевых элементов. Как известно, для того чтобыоднородная система линейных уравнений имела решение, определительсоответствующей матрицы должен равняться нулю. Это означает, чтоколичество независимых уравнений в системе (т.е. ранг матрицы) меньше, чемколичество неизвестных (т.е. порядок матрицы): rank(A)< n. Но вначале нужно выделить в системе эти самыенезависимые уравнения. Это делается с помощью функции rref, которая с помощью метода исключений Гаусса приводит матрицу кступенчатому виду.

Дифференциальные уравнения являютсяосновой огромного количества расчетных задач из самых различных областей наукии техники.

В MathCAD нетсредств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточнохорошо представлены численные методы их решения. Дифференциальные уравнения –это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е.числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (илисистемы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Еслив уравнения входят производные только по одной переменной, то они называютсяобыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случаеговорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить(иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определитьнеизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенноедифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение,если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничныеусловия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ спомощью MathCAD:

-         задачи Коши, для которых определены начальные условия наискомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервалаинтегрирования уравнения;

-         краевые задачи, для которых заданы определенныесоотношения сразу на обеих границах интервала. Из дифференциальных уравнений вчастных производных есть возможность решать только уравнения с двумянезависимыми переменными: одномерные параболические игиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии,волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения(уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нетуниверсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть околодвадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий иметодов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)

ОДУ первого порядка называется уравнение

F(x,y,y’)=0

F – известная функция трех переменных;

x – независимая переменная на интервалеинтегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

y’ – ее производная.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, еслиона при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x,y(x),y’(x))=0

График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциальногоуравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будетмножество. При известных начальных условиях y(x₀)= y₀решение y(x) будетединственным. Вычислительный процессор MathCADможет работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительнопроизводной y’=f(x,y)

ОДУ высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнениемn-го порядка называется уравнение вида

F(x,y,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0

F – известная функция n+2 переменных;

x – независимая переменная на интервалеинтегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

n – порядок уравнения.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, еслиона при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x, y(x), y’(x),y’’(x),…, y⁽ⁿ⁾(x))=0

Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид

Y⁽ⁿ⁾ =f(x,y, y’, …, y^(n-1))

Если не заданы начальные условия, тодифференциальное уравнение n – го порядкаимеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y(x₀)= y₀, y’(x₀)= y_0,1, y’’(x₀)= y_0,2, …, y^(n-1)(x₀)= y_0,n-1 решение становится единственным (задача Коши).

Задача Коши для дифференциальногоуравнения n – го порядка может быть сведена к задаче Коши длянормальной системы n дифференциальных уравнений 1го порядка, которая в векторной форме имеет вид

Y’ = F(x,Y), Y(x₀) = Y₀

Y(x₀) = Y₀ – вектор начальных условий;

F(x, Y)= (y₂, y₃, …, y_n, f(x,y₁, … , y_n) – вектор правых частей;

Y = (y₂, y₃, …, y_n) – вектор искомого решения.

Эта система получается в результатеследующей замены:

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Оба способа обладаютодинаковыми возможностями, но при использовании блока решения запись уравненийболее привычна и наглядна, однако отдельная функция может быть использована всоставе других функций и программ. Рассмотрим оба варианта решения.

Вычислительный блок Given/Odesolve

Ниже приведены два примера для решениядифференциальных уравнений первого и второго порядка с использованиемвычислительного блока решения Given/Odesolve.

Вычислительный блок для решения одногоОДУ состоит из трех частей:

-   ключевое слово given;

-   ОДУ и начальные условия, записанные с помощьюлогического равенства;

-   встроенная функция Odesolve(x,b) относительно независимой переменной xна интервале [a, b]; b – верхняя граница отрезкаинтегрирования. Допустимо и даже предпочтительнее задание функции Odesolve(a, b, step) с тремя параметрами, где step –внутренний параметр численного метода, определяющий количество шагов; чембольше step, тем с лучшей точностью будет получен результат, нотем больше времени будет затрачено на его поиск.

Функция Odesolveвозвращает решение задачи в виде функции. Эта функция не имеет символьногопредставления и может только вернуть численное значение решения уравнения влюбой точке интервала интегрирования.

Функция Odesolveиспользует для решения дифференциальных уравнений наиболее популярный алгоритмРунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методамвычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ заисключением жестких систем. Если щелчком правой кнопки мыши на блоке формул сфункцией Odesolve вызвать контекстное меню, то можно изменить методвычисления решения, выбрав один из трех вариантов: Fixed –метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования (этот метод используетсяпо умолчанию), Adaptive – также метод Рунге-Кутта, но с переменным шагом,изменяемым в зависимости от скорости изменения функции решения, Stiff – метод, адаптированный для решения жестких уравнений и систем(используется так называемый метод PADAUS).

Альтернативный метод решения ОДУ заключается в использовании одной извстроенных функций: rkfixed, Rkadapt, или Bulstoer. Все они решают задачуКоши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, нокаждая из них использует для этого свой метод. Для простых систем неиграет большой роли, какой метод использовать – все равно получите решениедостаточно быстро и с высокой точностью. Но для сложных или специфическихсистем бывает, что некоторые методы вообще не могут датьудовлетворительного решения за приемлемое время. Именно для таких сложных, ноне редких случаев в MathCAD и введено несколько различных методов решениясистем ДУ.

-   rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самыйпростой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичениспользованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.

-   Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования. Величина шагаадаптируется к скорости изменения функции решения. Данный метод позволяетэффективно находить решения уравнений, в случае если оно содержит как плавные,так и быстро меняющиеся участки. Там, где решение меняется слабо, шагивыбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. Врезультате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов,чем для rkfixed. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Adaptive.

-   Bulstoer – метод Булирша – Штера. Этот метод более эффективен, чем методРунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

Имена функций Rkadapt и Bulstoer начинаются с прописной буквы. В MathCAD длянекоторых имен функций неважно, с какой буквы они записаны, но дляперечисленных функций это принципиально, т.к. в MathCADтакже существуют функции с такими же именами, только записанные с маленькойбуквы – rkadap, bulstoer. Эти функции используются в тех случаях, когдаважным является решение задачи в конечной точке интервала интегрирования.

Выше приведены примеры решения тех жедифференциальных уравнений первого и второго порядка, которые были решены сиспользованием вычислительного блока Given/Odesolve.

Применение встроенных функций вдокументах MathCAD выглядит сходным образом, т.е. функции Rkadapt и Bulstoer имеют тот же синтаксис, что и выше приведеннаяфункция rkfixed. Назначение аргументов в этих встроенных функцияхследующее:

-    y – вектор начальных значений неизвестных функций,входящих в систему. В случае одного уравнения и одной неизвестной функции – этопросто число.

-    а – начало отрезка, на которомищется решение системы (отрезка интегрирования). Именно в этой точке значениянеизвестных функций принимаются равными элементам вектора y.

-    b – конец отрезка интегрирования.

-    n – количество частей, на которые разбивается отрезок[a, b] при решении системы. Чем больше это число, темточнее получается решение, но расчет занимает больше времени.

-    F(x,y) – векторная функция, элементы которой содержатправые части уравнений системы в нормальной форме (когда левые части –первые производные от соответствующих функций, а в правых частях производныеотсутствуют). Аргументами этой функции являются вектор y, элементыкоторого соответствуют различным неизвестным функциям системы, и скалярныйаргумент x , соответствующий независимой переменной в системе.В случае одного уравнения функция F может быть скалярнойфункцией, зависящей от двух скалярных переменных x и y.

Возвращаемым значением всехвышеперечисленных встроенных функций является матрица. Первый столбец этойматрицы – это точки, на которые разбивается отрезок [a, b],а остальные столбцы – это значения функций системы в этих точках. Если варгументе функции rkfixed было указано количество частей n= 100, то матрица будет содержать 101 строку вместе с начальной.

Решение систем обыкновенныхдифференциальных уравнений.

Для численного интегрирования систем ОДУв MathCAD также имеется выбор – либо использоватьвычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer.

При решении систем ОДУ MathCAD требует, чтобы система ОДУ была представлена в нормальной форме (когдалевые части – первые производные от соответствующих функций, а в правых частяхпроизводные отсутствуют):

где Y и Y’ – соответствующие неизвестные векторные функции переменной t, а F – вектор правыхчастей системы уравнений первого порядка. Именно векторное представлениеиспользуется для ввода системы ОДУ в среде MathCAD.

Если в систему ОДУ входят и уравнениявысших порядков, то оно тоже сводится к системе уравнений первого порядка,как было показано выше. При этом количество нулевых условий для вычислительногоблока Given/Odesolve, а также размер вектора начальных условий yи размер вектора правых частей F(x,y) для встроенных функций rkfixed, Rkadapt и Bulstoer должны быть равны сумме порядков всех уравнений.

Вначале покажем решение систем ОДУпервого порядка с использованием вычислительного блока Given/Odesolve

Функция Odesolve длясистемы ОДУ имеет несколько иной, по сравнению с одним уравнением, синтаксис.Теперь она возвращает вектор функций, составляющих решение системы. Поэтому в качествепервого аргумента функции нужно ввести вектор, состоящий из имен функций,использованных при вводе системы. Второй и третий аргументы то же самое, что ив задаче с одним ОДУ.

Решение системы ОДУ показано на графикеслева. Как известно, решения ОДУ часто удобнее изображать не в таком виде, а вфазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждойиз найденных функций (как показано на рисунке справа). При этом аргумент входитв них лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ такой график – фазовыйпортрет системы – является кривой на фазовой плоскости. В общем случае,если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N– мерным. При N > 3 наглядность теряется, и для визуализациифазового портрета приходится строить его различные проекции.

Рассмотрим решение этой же системы ОДУпервого порядка с использованием встроенной функции rkfixed.

Полученное решение полностьюсоответствует вышеприведенному решению с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. Следует отметить, что начальные условия здесьзадаются в виде вектора y, а функциям x(t) и y(t) соответствуютэлементы этого вектора y₁ и y₂. Вектор начальных условий y и вектор правых частей F имеют размерравный двум, т.к. система состоит из двух уравнений первого порядка. Длясистемы ОДУ, состоящей из двух уравнений второго порядка, размер этих векторовбудет равен четырем

Вопросы

1.     Поясните работу команд панели Matrix – скалярное и векторное произведение, детерминант матрицы, суммаэлементов вектора, операция векторизации.

2.     Перечислите три основные группыматричных функций. Расскажите о матричных функциях, возвращающих числовыехарактеристики. Приведите примеры.

3.     Матричные функции, реализующиегенерацию матриц и операции работы с блоками матриц.

4.     Перечислите матричные функции,реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры. Объясните, какработают функции rref и rank.

5.     Какие функции вычисляютсобственные вектора и собственные числа квадратной матрицы?

6.     Решение в системе MathCAD неоднородных систем линейных уравнений, когда определитель матрицы неравен нулю. Три способа.

7.     Как осуществляется в системе MathCAD решение неоднородных систем линейных уравнений, когда определительравен нулю и при условии, что ранг матрицы системы равен рангу расширеннойматрицы системы?

8.     Как осуществляется в системе MathCAD решение однородных систем линейных уравнений, когда определительматрицы равен нулю (т.е. ранг матрицы должен быть меньше порядка матрицы)?

9.     Какие дифференциальные уравненияназываются ОДУ первого порядка? Высшего порядка? Что такое нормальная форма ОДУпервого и высшего порядка? К чему сводятся ОДУ высшего порядка при решении?

10.   Можно ли решить дифференциальныеуравнения в MathCADе символьно?

11.   Как решаются ОДУ с помощьювычислительного блока Given/Odesolve? Какой метод решения реализует функция Odesolve? Как можно изменить метод решения для этой функции?

12.   Как решаются ОДУ с помощьювстроенной функции rkfixed? Чем функция rkfixed отличаетсяот функции Rkadapt?

13.   Как осуществляется решениесистемы ОДУ с помощью вычислительного блока Given/Odesolve? Приведите примеры.

14.   Как осуществляется решениесистемы ОДУ с помощью функции rkfixed? Приведите примеры.