Обернені тригонометричні функції Тригонометричні рівняння і нерівності

Реферат

Н а Т Е М У:

“Обернені тригонометричні функції.

Тригонометричні рівняння і нерівності”

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

ПЛАН

1. Обернені тригонометричні функції

2. Тригонометричні рівняння

3. Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIIIкласу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо­вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IXкласі було введено означення числової функції як відоб­раження підмножини Dмножини R на деяку підмножину Е мно­жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто­рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо­вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо­вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно­го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sinx. З курсу алгебри VIIIкласу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х²свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ­ція у = sinxмає безліч проміжків зро­стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].

Отже, функція у = sinх, якщо x, оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не­перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

Графік функції у = arcsinxучні також можуть побу­дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра­фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsinстоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про­міжку , причому arcsin0 = 0, arcsin1 = , arcsin(-1) = -.

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsinx. За означенням арксинуса маємо:

,

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin(-х) і -arcsinх, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х))= -х,

sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.

Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,

arcsin (-х) = -arcsinx.

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsinxвідносно початку координат.

Обчислюючи значення функції arcsinза таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе­них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:

0,9063 sin 65°00';

65° 00' 1,1345 рад;

arcsin 0,9063 1,1345,

оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли­цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.

Якщо треба знайти arcsin0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:

0,68 sin 42⁰

42⁰ 0,73;

arcsin 0,683 0,73

Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне­ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову

arccos(-х) = - arccosх.

Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.

Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.

1) Чи існує arccos1,5?

2 ) Чи правильні рівності: arcsinх = , arccosх = -; arccosх = ?

3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin(2х- 3).

4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg1,7?

5) Обчисліть sin; .

Детальніше розглянути властивості обернених тригонометрич­них функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:

arccos (-х) = -arccos x,

arcctg (-х) = — arcctgx;

розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.

У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували називати:

1) рівняння, в якому змінна входить лише під знак тригономет­ричної функції (в такому разі рівняння виду sinх+х=0 не на­лежить до тригонометричних; його пропонували називати трансцен­дентним) .

2) рівняння, в якому змінна входить під знак тригонометричної функції.

З цього приводу слід погодитись з думкою С. І. Новосьолова, який вважав, що розходження в означеннях тригонометричного рівняння не є принциповими. Важливо одне - немає загального методу розв'язування тригонометричних рівнянь. Слід наголосити на принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгеб­раїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв'яз­ків, або мають їх безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.

Розв'язування тригонометричних нерівностей

Розв'язуючи тригонометричні нерівності, учні закріплюють свої знання про властивості тригонометричних функцій, набувають на­вичок теоретико-множинних та логічних міркувань. Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності, як правило, зводиться до розв'язування найпростіших нерівностей виду

Найпростіші тригонометричні нерівності, як і алгебраїчні, при­родно розв'язувати графічним способом (див. навчальний посібник [2]), з'ясувавши насамперед, в чому полягає графічний спосіб розв'я­зування нерівності з однією змінною.

Зауважимо, що порівняно з іншими способами розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей графічний спосіб по­ряд з перевагами має деякий недолік: щоразу потрібно будувати, хоч і схематично, графіки тригонометричних функцій. Тому корис­но показати учням, як такі нерівності розв'язуються за допомогою одиничного кола.

Література.

Алгебра і початки аналізу 10-11 клас

Методика викладання алгебри та початків аналізу