О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач

В.Ф.Чаплыгин

Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дают основания сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована. А для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно. И поэтому эти задачи, в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление.

Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные величины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях.

Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, не однозначен и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрические или позаимствованные из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен, то может навести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию.

Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие.

Задача 1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А. Найти площадь квадрата.

В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . Пусть AD=x, тогда DC=. Так как AD2+DC2=AC2, то x2+=9, x2=. Таким образом, площадь квадрата равна .

Задача 2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что и К - точка пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ:АК.

Из подобия треугольников (рис.2) AKB, BKE и ABE следует . Перемножив равенства и , получим .

Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее.

Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом АО=ОD. Три остальные стороны АВ, ВС и СD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b.

Пусть в треугольнике АВО (рис.3)  ВАО= ,  АВО= ,  ВОА= и, следовательно,  + + = . Так как ВО - биссектриса угла СВА, то  СВО= .

Если Р и Q - точки касания, то  APO= DQO (они прямоугольные, ОР=ОQ, AO=OD)   QDO= PAO= . Сумма углов четырехугольника ABCD равна 2 , поэтому  С=2 –2 –2 .

А так как СО - биссектриса, то  DCO= –( + )= . Таким образом, треугольники АОВ и DCO подобны и . Отсюда получаем равенства АО· OD=AB· CD=ab  АО=OD= и AD=2.

А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников.

Задача 4. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана такая точка Е, что =2. Известно, что трапеция AECD обладает следующими свойствами:

1) в нее можно вписать окружность;

2) около нее можно описать окружность.

Найти величину угла BAD.

В силу свойств, которыми обладает трапеция AECD (рис.4), она равнобокая (АЕ=CD) и 2АЕ=ЕС+AD.

Пусть ВС=3а, тогда BE=2a, EC=a  2AE=EC+AD=4a  CD=АЕ=2a.

Таким образом,  BEA - равносторонний   ABC=60   BAD=120 .

Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой.

Задача 5.Сумма углов при основании ВС трапеции ABCD равна . Найти величину , если известно, что =10 и в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Пусть CF  AB (рис.5), тогда CF=AB и в силу условия задачи следует,

что  FCD=.

По теореме косинусов

FD2=FC2+СD2-2FC· СDcos  (AD–BC)2=AB2+СD2– AB· СD. (1)

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD  (AD+BC)2=(AB+СD)2. (2)

Разделив равенство (1) на равенство (2), получим

.

Разделив далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение AD· BC, а правой части - на AB· СD, получим

.

Откуда, положив =t, и учитывая, что =10, имеем t=7.

В этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким.

Весьма поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи.

Задача 6. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника АВС, если LM=a, CM=b.

Пусть АС=х и ВС=у , где х>y (рис.6), тогда х2+у2=4b2, и по свойству биссектрисы  LB=AB= и, следовательно, ML=MB–LB=b–=.

Таким образом, приходим к системе

.

Решая это уравнение относительно ху, находим S ABC= =.

Следует обратить внимание учащихся на то, что из полученной системы уравнений искать значения переменных х и · у совершенно излишне.

Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются трех указанных кругов внешним и внутренним образом.

Пусть e, f, d, k, h - точки касания, радиус окружности с центром в точке О1 равен r, а с центром в точке О2 - R (рис.7). Так как AD=5, АВ=13,

то BE=8, BО1=8+r, AО1=5+r, О1D=4–r.

Из прямоугольного треугольника AO1D (5+r)2=25+(4–r)2, 18r=16, r=.

ВО2=R–8, О2D=12–(R–8)=20–R, О2A=R–5,

и, следовательно, из прямоугольного треугольника АО2D имеем

(R–5)2=(20–R)2+25  R==13.

Здесь следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

В заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся достаточно высокой логической культуры.

Задача 8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов.

Если в треугольнике АВС (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ и ВСD, так как  В - общий и  ВАЕ= ВСD, следовательно, АЕ=СD.

Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы AE и CD углов А и С треугольника АВС равны. Докажем, что  А= С. S АВС=S ВАЕ+S ЕАС  АВ· АС· sinА=АВ· АЕ· sin+АЕ· АС· sin  2· АВ· АСcos=(АВ+АС)АЕ  АЕ=.

Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение АВ· АС и обозначив

АВ=с, АС=b, ВС=a, получим , аналогично, биссектриса .

Если допустить, что  А  С, например,  А< С, то сos>cos и а<c  >  AE>CD, получили противоречие.

Приведенные в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах России, в том числе, в Ярославском госуниверситете.

Список литературы

Пойа Д., Как решать задачу, М.: Учпедгиз,1961,207 с.

Смирнов Е.И., Технология наглядно-модельного обучения математике, Ярославль,1997,323с.

Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по математике, Ярославль, 1991,140с.

Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии, Ярославль, 1999,112с.

Сборник задач по математике для поступающих в вузы (под ред. Прилепко А.И.), М.: Высшая школа,1989,271с.

Зафиевский А.В., Вступительные экзамены по математике в 1998году, Ярославль, 1999,36с.

Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.Н., Задачи по элементарной математике, М.: Физматгиз, 1960, 463с.