Векторная алгебра

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов aиb называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a+b=b+a (коммутативность)

(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -aесть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, еслиl>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

(l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)

l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

aa+bb+…gc=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e₁,e₂,e₃ трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.

Числа a₁,a₂,a₃ называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a₁,a₂,a₃}.

Два вектора a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a₁=lb₁,a₂=lb₂,a₃=lb_3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a₁,a₂,a₃} , b={b₁,b₂,b₃} и c={c₁,c₂,c₃} является равенство :

| a₁a₂a₃ |

| b₁b₂b₃| = 0

| c₁c₂c₃ |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃} равны суммам соответствующих координат: a+b={a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l:

lа= {lа₁,la₂, la₃}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла jмежду ними:

(а, b) = | а |*| b | cosj.

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :

a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a₁,a₂,a₃} и b={b₁,b₂,b₃}

может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a₁,a₂,a₃} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

, , .

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

cos²a+cos²b+cos²g=1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. _еа вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. _е (a+b)= Пр. _еa+ Пр. _еb (аддитивность),

Пр. _еa = Пр. _еla (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

bb

cc

aa

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:

aVb=| a || b |*sinj

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aVb=-bVa (антикоммутативность),

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a₁,a₂} {b₁,b₂}, то :

aVb=a₁b₁-a₂b_2.